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Concetti chiave e regole
La divisione tra polinomi e il teorema del resto
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Per determinare quoziente e resto della divisione tra due polinomi si esegue la regola della divisione tra due polinomi. Se il divisore è della forma ðx aÞ si può applicare la regola di Ruffini.
Il teorema del resto di Ruffini afferma che in una divisione tra un polinomio PðxÞ e un binomio della forma ðx aÞ, il
resto della divisione è dato da PðaÞ
Il teorema di Ruffini afferma che PðxÞ è divisibile per ðx aÞ se e solo se PðaÞ ¼ 0.
La fattorizzazione
Scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di due o più polinomi, possibilmente non ulteriormente scomponibili.
I metodi per eseguire la scomposizione si basano sui seguenti criteri:
l i raccoglimenti a fattor comune parziale o totale
l il riconoscimento di prodotti notevoli
l la regola del trinomio caratteristico
l la regola della somma o differenza di cubi.
l l’individuazione dei divisori della forma x a.
Come eseguire una fattorizzazione
Nella pratica, per scomporre un polinomio conviene tenere presenti, in successione, le seguenti considerazioni:
l controllare se è possibile eseguire un raccoglimento totale o parziale
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riferirsi a regole particolari guardando il numero dei termini del polinomio; se è un:
- binomio
- trinomio
- quadrinomio
- polinomio
di sei termini
differenza di quadrati
x 2 a2 ¼ ðx aÞðx þ aÞ
somma di quadrati
irriducibile
somma di cubi
x 3 þ a3 ¼ ðx þ aÞðx 2 ax þ a2 Þ
differenza di cubi
x 3 a3 ¼ ðx aÞðx 2 þ ax þ a2 Þ
quadrato di un binomio
a2 2ab þ b 2 ¼ ða b Þ
trinomio caratteristico
x 2 þ ða þ bÞx þ ab ¼ ðx þ aÞðx þ b Þ
cubo di un binomio
a3 3a2 b þ 3ab 2 b 3 ¼ ða b Þ
differenza di due quadrati
a2 þ 2ab þ b 2 x 2 ¼ ða þ b Þ x 2 ¼ ða þ b þ x Þða þ b x Þ
2
3
può essere il quadrato di un trinomio
2
2
a2 þ 4b 2 þ 9 þ 4ab 6a 12b ¼ ða þ 2b 3Þ
può essere la differenza dei quadrati di due binomi
a2 þ 2a þ 1 x 2 þ 2xy y 2 ¼
¼ ða2 þ 2a þ 1Þ x 2 2xy þ y 2 ¼
2
¼ ða þ 1Þ ðx y Þ2 ¼
¼ aþ1þx y aþ1xþy
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cercare i divisori della forma x a con il teorema di Ruffini.
M.C.D. e m.c.m. fra polinomi
l
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Il M:C:D: fra due o più polinomi già fattorizzati è il prodotto dei soli fattori comuni con il minimo esponente.
Il m:c:m: fra due o più polinomi già fattorizzati è il prodotto dei fattori comuni e non comuni con il massimo esponente.
La divisione tra polinomi e la scomposizione in fattori
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