Transcript Esercizi di Variabile complessa - 6 1. Sia ϕ(z) = az + b cz + d un

Esercizi di Variabile complessa - 6
1. Sia
ϕ(z) =
az + b
cz + d
un biolomorfismo di P1 (C) tale che ϕ(0) = 0; ϕ(1) = 1 e ϕ(∞) = ∞.
Dimostrare che ϕ(z) ≡ z.
2. Determinare un biolomorfismo ϕ di P1 (C) tale che ϕ(0) = 1; ϕ(1) = 2 e
ϕ(∞) = 0.
3. Determinare un biolomorfismo ϕ di P1 (C) tale che ϕ(0) = 1; ϕ(1) = 2 e
ϕ(∞) = 3.
4. Dimostrare che presi comunque tre punti distinti p1 , p2 e p3 in P1 (C) esiste
ed `e unico un biolomorfismo ϕ di P1 (C) tale che ϕ(0) = p1 ; ϕ(1) = p2 e
ϕ(∞) = p3 .
5. Dimostrare che prese comunque due terne di punti distinti (p1 , p2 , p3 ) e
(q1 , q2 , q3 ) in P1 (C) esiste ed `e unico un biolomorfismo ϕ di P1 (C) tale che
ϕ(pi ) = qi per ogni i = 1, 2, 3.
6. Determinare il biolomorfismo ϕ di P1 (C) tale che ϕ(1) = 1; ϕ(2) = 2 e
ϕ(3) = 4.
7. Sia F un chiuso di uno spazio topologico compatto X. Si supponga che
ogni punto di F sia isolato, cio`e, che per ogni p ∈ F esista un intorno Up
di p in X tale che F ∩ Up = {p}. Dimostrare che F `e costituito da un
numero finito di punti.
8. Sia f : C \ {p1 , . . . , pn } → C una funzione olomorfa con poli di ordine
k1 , . . . , kn nei punti p1 , . . . , pn . Dimostrare che esiste un polinomio non
nullo p(z) tale che f (z) p(z) si estende a una funzione olomorfa su tutto
C.
9. Sia f : C → C una funzione olomorfa tale che per ogni z ∈ C con |z| > R
si abbia |f (z)| ≤ |p(z)| per un qualche fissato polinomio p(z) e un qualche
fissato numero reale positivo R. Dimostrare che f (z) `e un polinomio.
10. Sia f : C \ {p1 , . . . , pn } → C una funzione olomorfa con poli di ordine
k1 , . . . , kn nei punti p1 , . . . , pn e tale che
lim
|z|→+∞
f (z) = 0.
Dimostrare che esistono due polinomi p(z) e q(z), privi di fattori comuni,
tali che f (z) = p(z)/q(z).
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11. Sia f : P1 (C) → P1 (C) un’applicazione olomorfa non costante. Dimostrare che esistono due polinomi p(z) e q(z), privi di fattori comuni, tali
che f sia l’estensione a P1 (C) della funzione olomorfa (sul suo dominio)
ϕ(z) = p(z)/q(z) (Suggerimento: utilizzare un biolomorfismo di P1 (C) per
ricondursi al caso f (∞) = 0).
12. Utilizzare il risultato dell’esercizio 11 e il teorema fondamentale dell’algebra per dmostrare che un biolomorfismo di P1 (C) `e necessariamente della
forma
az + b
ϕ(z) =
cz + d
13. Utilizzare il risultato dell’esercizio 11 per dimostrare che le applicazioni
olomorfe non costanti f : P1 (C) → P1 (C) sono tutte e sole le applicazioni
della forma
f ([z : w]) = [a(z, w) : b(z, w)]
con a(z, w) e b(z, w) polinomi omogenei dello stesso grado nelle variabili
z e w.
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