Transcript Esercizi Geometria 1, foglio 2 (ottobre 2016) 1. Dimostrare che i

Esercizi Geometria 1, foglio 2 (ottobre 2016)
1. Dimostrare che i vettori (1, −1, 1), (2, 0, 1) e (1, −1, −1) in R3 sono linearmente
indipendenti, e allora una base di R3 . Trovare le coordinate del vettore (2, 3, 5) rispetto
a questa base, poi le coordinate di un vettore arbitrario (λ1 , λ2 , λ3 ) in R3 .
2. Sia w1 , . . . , wm una base del sottospazio W di V e w1 , . . . , wm , v1 , . . . , vr un
prolungamento a una base di V . Dimostrare che [v1 ], . . . , [vr ] è una base dello spazio
quoziente V /W (definito nel foglio 1, esercizio 3).
3. i) Dimostrare che lo K-spazio vettoriale K[x] di tutti i polinomi con coefficienti nel
campo K non ha una base finita, poi trovare una base numerabile di K[x].
ii) Dimostrare che lo spazio vettoriale R sul campo Q non ha una base finita, e neanche
una base numerabile (usare che Q è numerabile, ma che R non è numerabile).
4. Una matrice quadrata A ∈ M(n × n, R) è simmetrica se A = t A, e anti-simmetrica
se A = −t A.
i) Dimostrare che le matrici simmetriche formano un sottospazio Sym(n × n, R) di
M(n × n, R); trovare una base e la dimensione di questo sottospazio.
ii) La stessa cosa per le matrici anti-simmetriche Alt(n × n, R).
iii) Dimostrare che M(n × n, R) = Sym(n × n, K) ⊕ Alt(n × n, K) (somma diretta).