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Esempio di sottospazio vettoriale
Marcello Colozzo – http://www.extrabyte.info
Esercizio 1 Nello spazio vettoriale Rn si consideri l’insieme:
Wm = {(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn | x1 = x2 = ... = xm = 0} ,
(1)
dove m ≤ n. Si dimostri che Wm è un sottospazio vettoriale di Rn (n − m)-dimensionale. Discutere
il caso m = n.
Soluzione
Prendiamo ad arbitrio due elementi x, y ∈ Wm :
x = (x1 , x2 , ..., xn ) | x1 = x2 = ... = xm = 0
y = (y1 , y2 , ..., yn ) | y1 = y2 = ... = ym = 0
(2)
Segue
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ) | xk + yk = 0, k = 1, 2, ..., m,
onde
(x + y) ∈ Wm
(3)
λx = (0, 0, ..., 0, λxm+1 , ..., λxn ) =⇒ (λx) ∈ Wm
(4)
Prendiamo ad arbitrio x ∈ W, λ ∈ R:
Quindi
(x + y) ∈ Wm , ∀x, y ∈ Wm
(λx) ∈ Wm , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ Wm
=⇒ Wm è un sottospazio di Rn
(5)
Per determinarne la dimensione, ricerchiamo una base. A tale scopo occorre e basta osservare che
un qualunque vettore x ∈ Wm si scrive come:
x = (0, 0, ..., 0, xm+1 , xm+2 , ..., xn ) +
+ xm+1 (0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)
+ xm+2 (0, 0, ..., 0, 0, 1, ..., 0) +
+ ... + xn (0, 0, ..., 0, 0, 0, ..., 1)
(6)
Segue che una base di Wm è {u1 , u2 , ..., un−m }, dove
u1 = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) ,
u2 = (0, 0, ..., 0, 0, 1, ..., 0)
....
un−m = (0, 0, ..., 0, 0, 0, ..., 1) ,
avendosi:
x = xm+1 u1 + xm+2 u2 + ... + xn un−m =
(7)
n−m
X
xm+k uk
(8)
k=1
La dimensione di Wm è la cardinalità di {u1 , u2 , ..., un−m }:
dim Wm = n − m
(9)
Infine, per n − m è dim Wm = 0 o ciò che è lo stesso, W = {0}. In altri termini, per n = m l’insieme
Wm si riduce al sottospazio nullo di Rn .
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