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Esempio di spazio vettoriale
Marcello Colozzo – http://www.extrabyte.info
Assegnato un intervallo [a, b] ⊂ R, è consuetudine denotare con C ([a, b]) l’insieme delle funzioni
reali continue in [a, b]. Introduciamo in C ([a, b]) le ordinarie operazioni di addizione di funzioni e
di moltiplicazione di uno scalare (elemento di R) per una funzione. Più precisamente, definiamo
“somma di f (x) e g (x)” la funzione:
(f + g) (x) = f (x) + g (x) ,
∀x ∈ [a, b]
(1)
L’elemento neutro 0C([a,b]) rispetto all’addizione è la funzione identicamente nulla, mentre l’elemento
opposto di f (x) è −g (x). L’operazione di moltiplicazione di uno scalare per un elemento di C ([a, b])
è cosı̀ definita:
(λf ) (x) = λf (x) , f (x) ∈ C ([a, b]) , λ ∈ R
(2)
È facile persuadersi che l’insieme C ([a, b]) assieme alle operazioni sopra definite (+, ·), verifica tutti
gli assiomi di spazio vettoriale. Ne concludiamo che (C ([a, b]) , +, −) è uno spazio vettoriale su R.
Osservazione 1 Assegnato un insieme non vuoto V e un campo K, in cui sono definite le leggi di
composizione (+, −) che verificano gli assiomi di spazio vettoriale, si ha che la terna (V, +, ·) è uno
spazio vettoriale K. D’ora in avanti per non appesantire la notazione, indicheremo il predetto spazio
vettoriale semplicemente con il simbolo V .
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