Transcript Teoria dei campi

Teoria dei Campi
In fisica di fondamentale importanza sono i campi. Sono trattati il
campo gravitazionale, il campo termico, il campo nei fluidi dal
punto di vista statico e dinamico, il campo elettromagnetico. Lo
studio può avvenire:
1. mediante una funzione del posto e del tempo, il campo
termico è descritto mediante la funzione temperatura
dipendente dalla posizione .
2. mediante più funzioni ad esempio un vettore funzione del
posto e del tempo, il campo magnetico mediante tre funzioni.
Il campo fluidodinamico mediante le funzioni densità,
temperatura e il vettore velocità. Complessivamente
occorrono cinque variabili, tre per la velocità più le variabili
densità e temperatura
Il campo elettromagnetico mediante due vettori dipendenti
dal posto e dal tempo, complessivamente mediante sei
funzioni.
Per lo studio si sono introdotte le funzioni e vettori particolari del
campo, che trattate opportunamente hanno permesso di introdurre
il concetto di vettore gradiente, di vettore rotore, di funzione
divergenza, di funzione laplaciana.
Queste entità hanno permesso una classificazione dei campi in
categorie:
1. Campi armonici
2. Campi lamellari
3. Campi solenoidali
1
Prima di addentrarci nello studio delle funzioni, che permettono di
descrivere i campi, è necessario introdurre il concetto di campo
dal punto di vista fisico.
Sperimentalmente possiamo verificare che due masse si
attraggono, se le cariche sono di segno opposto anche esse si
attraggono, se le sono dello stesso segno si respingono, una
calamita attira, dei pezzi di ferro, un corpo messo a contatto con
una sorgente più calda si riscalda, una sorgente sonora mette in
vibrazione l’aria circostante etc.
Possiamo dire che in ognuna di queste circostanze si è avuta una
modifica della proprietà dello spazio, in seguito al verificarsi del
fenomeno considerato.
Lo stato fisico dello spazio o della materia determina il tipo di
campo considerato. Nasce il problema di come descrivere questo
stato fisico dello spazio mediante opportune grandezze fisiche.
Si scelgono così le grandezze da considerare ad esempio: per il
campo elettrico considereremo il vettore campo elettrico E,
funzione del posto e del tempo, per lo studio del moto di un fluido
in un tubo, considereremo le grandezze densità, velocità e
temperatura, funzione dello posto e del tempo, per lo studio del
campo termico considereremo la grandezza temperatura funzione
del posto.
Una volta definite le grandezze da considerare per quel tipo di
campo possiamo a questo creare il modello matematico del
campo.
Ad esempio, per il campo gravitazionale possiamo decidere di
considerare la grandezza vettoriale accelerazione, e creare il
modello matematico campo vettoriale, possiamo decidere invece
di considerare la grandezza potenziale gravitazionale, creando un
modello di campo scalare, possiamo ancora considerare che il
tempo non una variabile indipendente e creare un nuovo modello
detto da Einstein tensoriale.
1
Modelli Matematici
Campo Fisico
Campo gravitazionale
Campo vettoriale
Campo Scalare
Campo tensoriale
Modelli matematici possibili
Per lo studio di un campo è sempre necessario trovare la relazione
tra causa ed effetto.
Causa( sorgenti)
Effetto
Funzioni
Legge del campo
Le cause da addebitarsi alle sorgenti di perturbazione generano il
campo e provocano l’effetto, che è possibile rappresentare
mediante particolari funzioni.
1
Possibili sorgenti
1.
2.
3.
4.
5.
cariche elettriche
masse magnetiche
correnti elettriche
masse
forze
Se le sorgenti non variano nel tempo, né in intensità, né in
posizione, allora il campo creato dalla sorgente è detto statico.
Le grandezze che descrivono il campo sono solo variazioni
spaziali.
Se invece queste sorgenti variano nel tempo in modo periodico
e non variano di posizione il campo creato è detto campo
stazionario.
Se invece le sorgenti variano nel tempo o in intensità o in
posizione il campo è detto variabile. Le grandezze che
descrivono il campo variano sia spazialmente che
temporalmente.
Il problema che si pone è il seguente: nota la distribuzione e
l’intensità delle sorgenti determinare il campo la funzione
scalare o la funzione vettoriale.
Le relazioni sono le così dette leggi del campo, il campo
elettromagnetico è descritto dalle leggi di Maxwell, il campo
termico dalle legge di Fourier, il campo gravitazionale dalle
leggi di Newton.
Le relazioni sono le leggi tra la densità delle sorgenti e le
variazioni delle funzioni che descrivono il campo.
1
Forma Ionica
Densità delle
sorgenti
Variazione
della
funzione
Legge del campo
Variazione
della
funzione
Legge del campo
Densità
Densità
delle delle
sorgenti
sorgenti
Siccome le variazioni delle grandezze sono esprimibili
nell’intorno di un punto, in un dato istante di tempo, questo
mediante i differenziali ne consegue che la relazione matematica è
una equazione differenziale.
Forma globale
La legge può essere espressa in forma globale se una certa quantità
valutata su un volume finito o su una superficie chiusa abbia un
certo valore.
Forma locale
La legge può essere espressa per un volumetto infinitesimo intorno
ad un punto P in questo caso si dice che la legge è espressa in forma
locale essa può esprimersi in forma differenziale.
1
Formulazione Ionica
Formulazione
Globale
Formulazione differenziale
Condizioni al contorno
Condizioni di
compatibilità dei dati al
contorno
Normalmente conviene esprimere la legge
In forma differenziale per arrivare alla soluzione
1
Tipi di campo
Campo scalare
Un campo è detto scalare se in ogni punto della regione e in ogni istante di
tempo è definito un numero, reale o complesso. Il numero indica la misura della
grandezza una volta che è stato scelto un sistema di riferimento. Il campo
scalare è definito da una funzione del posto e del tempo e prende il nome di
potenziale.
V = f (P,t)
Sono campi scalari reali: Il campo del potenziale gravitazionale, il campo del
potenziale elettrico,il campo delle densità, il campo delle pressioni, il campo
termico, il campo delle concentrazioni, il campo delle densità di probabilità della
meccanica ondulatoria.
Sono campi scalari complessi: il campo idrocinetico complesso della
idromeccanica piana, il campo delle ampiezza di probabilità della meccanica
ondulatoria.
Le superfici in un generico istante t in cui la funzione ha lo stesso valore è detta
superficie equipotenziale.
Superfici
equipotenziali
In un campo reale esistono una serie di superfici equipotenziali dette famiglie.
1
Campo vettoriale
Se in ogni punto, di una regione di spazio, è possibile definire un vettore allora
quella regione di spazio è sede di un campo vettoriale.


Un campo vettoriale è descritto dal un vettore v = v ( P, t ) ed indica una
grandezza fisica funzione del posto e del tempo.
Esempi di campi vettoriali : campo delle velocità, campo elettrico, campo
magnetico, campo del vettore flusso di calore, campo degli spostamenti in un
corpo continuo, campo del potenziale vettore magnetico.
Linee di forza
Le linee vettoriali o linee di flusso non sono altro che le linee di inviluppo dei
vettori del campo esse mettono in evidenza la struttura filiforme del campo , in
cui la direzione del vettore , in un dato istante è la tangente alla linea in quel
punto. Se il campo in esame è un campo di forze le linee del campo vengono
dette linee di forza del campo.
Campo stazionario
Se il vettore del campo non dipende dal tempo il campo è detto campo
stazionario
1
Campo Uniforme
Se il vettore del campo in ogni istante ha modulo e direzione costanti il campo è
detto uniforme è il caso del campo elettrico all’interno di un condensatore a
facce piane e parallele indefinito.
+
-
Equazione delle linee di forza


Dato il vettore v = v ( P, t ) per ottenere l’equazione parametrica delle linee

vettoriali si deve imporre la tangenza del vettore v alla linea questo si ottiene

fissando il parallelismo tra v e dP mediante la seguente equazione differenziale.


v ( P, t ) ∧ dP(λ ) = 0
Tubo di flusso o tubo vettoriale
Dato un campo vettoriale consideriamo due linee chiuse immerse nel campo le
linee passanti all’interno delle linee chiuse costituiscono un tubo vettoriale.
1
Scomposizione di un campo vettoriale
Per la descrizione geometrica di un campo vettoriale torna comodo separare in ogni
punto l’intensità del vettore dalla direzione, si considera così il modulo del vettore
come un campo scalare avente punto per punto ed i versori dei relativi punti.
Campo dei versori
Campo delle intensità
2
8
4
4.5
8
3.9
8
5.1
2.5
8
1
Concetto di gradiente
Il gradiente rappresenta la variazione della grandezza scalare nella direzione in cui la
variazione, per unità di percorso è massima.
Nel caso del campo termico per descriverlo useremo la grandezza temperatura.
Possiamo effettuare una selezione dei punti del campo che corrispondano ai seguenti
criteri:
1. I valori non varino nel tempo
2. Vi sono punti che hanno la stessa temperatura e questi si trovino su piani
diversi.
Se sono verificati i due criteri diremo che il campo termico è statico ed ammette
superfici che hanno la stessa temperatura dette isoterme.
10°C
20°C
50°C
80°C
2.4m
100°C
Sorgente
1,2m
0,8m
0.4m
0,2m
Dalle isoterme possiamo subito mettere in evidenza la rapidità di variazione della
temperatura considerando la distanza tra le isoterme
Consideriamo ora un punto generico P del suddetto campo termico ed un intorno
di P . Attraverso la superficie di questo intorno transiterà una certa quantità di
calore per unità di tempo. Possiamo osservare che variando l’orientazione della
superficie dell’intorno, varia la quantità di calore che transita attraverso la
suddetta superficie.
1
J=30KCal
P
P
J=1Kcal
J=10Kcal
P
Sperimentalmente possiamo provare a ricercare l’orientazione opportuna per coi è
massima la quantità di calore transitato. La quantità di calore che passa per unità
di tempo e per unità di superficie prende il nome di flusso di calore J ed è
funzione del punto, del campo e dell’istante di tempo.
Dalla legge di Fourier abbiamo che il vettore flusso J è proporzionale alla
variazione di temperatura per unità di percorso nella direzione in cui tale
direzione è massima ed ha verso opposto a quello in cui cresce la temperatura
10°C
40°C
60°C
80°C
100°C
J
0.5m
Sorgente
1m
1,5m
1m
0.5m
In questo caso il gradiente termico è di 20°C per ogni 50cm nella direzione in cui
tale variazione è massima. Se indichiamo Il gradiente con G(P) la legge di Fourier
possiamo scriverla nel seguente modo


J ( P ) = −λG ( P )
2
Il segno meno è dovuto al fatto che il vettore J è orientato verso le superfici a
temperatura minore, il coefficiente λ prende il nome di coefficiente di
conducibilità termica e dipende dal tipo di materiale in funzione del fatto che
conduca più o meno il calore.
Derivata direzionale
Consideriamo un campo scalare con funzione
f=f(P,t)
vogliamo studiare la rapidità di variazione della funzione nell’intorno del punto P
nell’istante di tempo to è rispettata la continuità della funzione nella spazio del
campo.
r
Z
γ
β
P
P0
x
y
α
Y0
X0
Consideriamo la retta r uscente dal punto P e formante gli angoli α asse x, βasse
y , γ asse z . La derivata della funzione secondo la direzione r è data da
∂f
lim f ( P) − f ( P0 )
=
∂r P → P0
Po P
3
Se poniamo PP0 = ε
Z
r
γ
Zp
z
β
P
YP
P0
α
xp
x
y
y0
Y
X0
X
Possiamo a questo punto trovare le coordinate di P nel sistema x,y,z
X=x0 + ε cos α
Y= y0 + ε cos β
Z=zo + ε cos γ
Dove cos α , cos β, cos γ, sono i coseni direttori della retta r.
La funzione nell’istante t0 possiamo scriverla ora come
f(P,t0 )=f(X,Y,Z)= f(x0 + ε cos α, y0 + ε cos β, zo + ε cos γ)
1
Sviluppandola in serie di Taylor nell’intorno di P0
f(x,y,z)=f(x0,y0 , z0) +
∂f
∂f
∂f
ε cos α + ε cos β + ε cos γ + ter min i − in : x 2 , y 2 , z 2
∂z
∂y
∂x
se arrestiamo la serie alle derivate prime.
Se portiamo al primo membro f(X0,Y0 , Z0)
f(x0,y0 , z0)=
∂f
∂f
∂f
ε cos α + ε cos β + ε cos γ
∂z
∂y
∂x
se dividiamo per PP0
f ( P0 )
∂f
∂f
∂f
= ε cos α + ε cos β + ε cos γ
PP0
∂z
∂y
∂x
Considerando le definizione di derivata direzionale
lim f ( P) − f ( P0 )
∂f
=
∂r P → P0
Po P
otteniamo che
∂f ( P )
∂r
=
∂f
∂f
∂f
cos α + cos β + cos γ
∂z
∂y
∂x
Questa formula in sostanza ci permette di calcolare la derivata della funzione in una
data direzione r.
Gradiente
Siccome compaiono i coseni direttori la retta r la possiamo considerare come
generata dai coseni direttori mediante i versori i,j,k.




r = cos αi + cos βj + cos γk
Se definiamo il gradiente come
 ∂f  ∂f  ∂f 
G=
i+
j+ k
∂z
∂x
∂y
1
Possiamo definire la derivata direzionale con prodotto vettoriale tra il gradiente G
ed il vettore r
 
∂f
= G*r
∂r
Poiché
 
∂f
= G * r = G r cosθ abbiamo che il massino si avrà quando θ=0 , cosθ=1
∂r
 
∂f
= G * r = G r cosθ =G r
∂r
Volendo visualizzare graficamente questo concetto possiamo dire che si avrà
massimo quando il vettore G è parallelo alla retta r.
θ
G
r
r
Il vettore G si manifesta quindi come
quello il cui modulo dà la massima
direzione. Questo concetto lo
possiamo esprimere come
G
Direzione
di massima

∂f
G = max
∂r
In sostanza l’operatore gradiente agendo sulla grandezza scalare potenziale mi genera
un vettore. Per indicare ciò si usa il simbolo grad( gradiente)
G(P,t0 )=grad f(P,t0)
1
L’operatore gradiente si ottiene quindi applicando l’operatore grad alla funzione
f(P,t 0). Notare che nelle operazioni che conducono al vettore gradiente non interviene
il tempo ( il fenomeno è congelato in un certo istante di tempo)
Operatore nabla
L’espressione del gradiente in coordinate cartesiane può essere scritta come
Grad f = (
∂  ∂  ∂ 
i+
j+ k
∂z
∂y
∂x
Ponendo ∇= (
) f ( P, t0 )
∂  ∂  ∂ 
i+
j+ k
∂z
∂y
∂x
) definiamo l’operatore nabla ( in greco Arpa)
Grad f = ∇ f(P,t0)
Si dimostra che il vettore gradiente risulta sempre ortogonale alla superficie
equipotenziale passante per quel punto.
10°C
40°C
60°C
80°C
0.5m
∇
100°C
Sorgente
1m
1,5m
1m
0.5m
1
Proprietà del gradiente
Grad
∂
∂f
= gradf
∂t ∂t
Grad (λ f)= λ Grad f
Grad (f+g) = grad f + grad g
Grad (f g) = g grad f + f grad g
Grad F(f)=
∂F
gradf
∂f
Rotore di un vettore
Consideriamo un corpo rigido ruotante intorno ad un’asse con velocità angolare
costante. Ogni punto del corpo possiede velocità periferica diretta lungo la tangente
nel punto alla circonferenza descritta ed ha modulo proporzionale al raggio della
circonferenza
V= ω x r
In questo modo abbiamo generato un campo
vettoriale delle velocità .Calcoliamo la
circolazione tra due punti
O
B
A
La circolazione tra due punti del campo
Se A e B giacciono sulla stessa circonferenza
possiamo calcolare la circolazione tra i due punti
lungo l’arco di circonferenza.
∫
B
Al
 
v xt dl = ∫ (ωr )(rdϑ ) = ωrϑ
2
Consideriamo una seconda circonferenza
O B
A
D
C
∫
B
Al
Consideriamo la linea AC DB e
calcoliamone la circolazione del
vettore velocità.
C
D
B
 
v xt dl = ∫ ω (r + ∆r )(r + ∆r )dϑ + ∫ ω (r + ∆r )(r + ∆r )dϑ + ∫ ω (r + ∆r )(r + ∆r )dϑ = ω (r + ∆r )2ϑ
A
C
D
=0
=0
La circolazione tra A e B dipende dalla linea che li congiunge
Calcoliamo la circolazione tra ACDBA
ϑ
O
r
∆r
L’area racchiusa dalla linea è paria
Area =
1
1
1
(r + ∆r )ϑ (r + ∆r ) − (rϑ )r = ϑ[(r + ∆r ) 2 − r 2
2
2
2
3
La circolazione lungo la linea chiusa è proporzionale all’area racchiusa dalla linea
stessa possiamo scrivere C= 2ω A
Questa relazione vale comunque sia fatta la linea chiusa.
Approssimando una generica linea
chiusa mediante una spezzata abbiamo
che
CL =C1+C2+…+Cn =2ωAL
Se n ∞
CL=2ωAl
Nasce così l’idea di considerare il
rapporto
Cl
= R a cui si da il nome di rotore
Al
Cl
= R =2ω Se il corpo non ruota ω=0 quindi il rotore R=0
Al
Quindi il concetto di rotore è connesso con la rotazione di un corpo
Se si considera una piana che anzichè giacere nel piano perpendicolare all’asse di
rotazione giace in un piano parallelo è immediato constatare che il rapporto
circolazione / area è nullo, per una linea piana genericamente disposta si può vedere
che il rapporto Circolazione / area è minore di quello che si ottiene per le linee chiuse
del pino normale all’asse.
l’esistenza di una direzione privilegiata suggerisce di definire un vettore che ha tale
direzione come modulo il rapporto
C
relativo alle linne del piano normale a questa
A
direzione


R = 2ω
Da queste considerazioni fisiche nasce il concetto di rotore
Rotore di un vettore
Consideriamo un punto P0 di un campo vettoriale ed un piano
passante per esso. Su questo piano consideriamo una linea
4
chiusa contenente P0 . Fissato un senso di percorrenza della
linea chiusa calcoliamo la circolazione v lungo tale linea
dividendola per l’area racchiusa dalla linea. Facendo
rimpicciolire la linea , tenderà a zero, in generale sia la
circolazione che l’area, mentre il limite del rapporto
dP
P

v
∫ ( P, t0 ) * dP
P0
lim l −−>0
area
= lim l −−>0
Cn
Sn
sarà in generale un numero finito.
Tale limite dipenderà dalla giacitura del piano passante per P0
ed esisterà una giacitura per la quale tale limite in valore
assoluto ha il massimo valore.
Una volta fissato il senso di percorrenza della linea si può
associare ad essa , mediante la regola del cavatappi, un verso
positivo sulla normale al piano contenente la linea.
‘n versore
Moltiplicando il limite del rapporto per il versore n otteniamo il
rotore del vettore v(p,t0)

v
∫ ( P, t0 )dl
R(P,t0) = n
lim l −−>0
area
= lim l −−>0
Cn
Sn
n
5
Una volta fissato il verso di percorrenza della linea la il verso
del vettore circolazione si può determinare mediante la regola
del cavatappi.
R
n


R( P0 , t0 ) = rotv ( P, t0 )
P0
Espressione cartesiana del rotore
Per calcolare il rotore occorre calcolare il limite del rapporto
Circolazione / area per ogni direzione uscente da P0 e poi
cercare quella direzione per la quale il limite è massimo.
Per calcolare il rotore occorre calcolare il limite del rapporto
Circolazione / area per ogni direzione uscente dal punto P0.
Cv = Cx + Cy + Cz
Rn=
Cn C x + C y + C z
=
Sn
Sn
Si dimostra che il rotore di v
∂v y
∂v
∂v
∂v
∂v
∂v

)i + ( X − Z ) j + ( Y − X )k
rotv = ( Z −
∂x
∂y
∂x
∂z
∂z
∂y
Risulta comunque più facile memorizzarlo sotto questa forma.

i

∂
R=
∂x
vx

j
∂
∂y
vy

k
∂
ricordando l’espressione cartesiana del
∂z
vz
prodotto vettoriale
6

i
 
a ∧ b = ax
bx

j
ay
by

k
az
bz
Possiamo considerare il prodotto vettoriale tra l’operatore nabla
e il vettore v.
Rot v = ∇∧v
Proprietà del rotore
Si dimostra che valgono le seguenti proprietà:
∂  ∂

u = rotu
∂t
∂t
 


2. rot (u + v ) = rotu + rotv


3. rot (λu ) = λrotu



4. rot ( fu ) = gradfu + f * rotu
1. rot
Si dimostra che vale la relazione:


v ∧ rotv = 0
se verificata tale relazione il campo è detto lamellare composto.
7
Circolazione di un vettore su una linea chiusa
Tenendo conto della relazione
Rn=
S
S
Cn C x + C y + C z
S
= Rx x + Ry y + Rz Z
=
Sn
Sn
Sn
Sn
Sn
Z
Sx
Sy
y
Sz
X


Scritta R = rotv =
dC
possiamo ricavare la circolazione
dS
 
dC = rotv xn dS
 
Cl = ∫ dC = ∫∫ rotv xn dS
l
S

Flusso = ∫ v xdl =
l
 
∫∫ rotv xndS
S
Teorema di Stokes in un campo vettoriale la circolazione del vettore lungo una linea
chiusa riducibile è uguale al flusso del rotore attraverso una superficie che ha la linea
come contorno.
8
Campi lamellari
Un campo si dice lamellare se la circolazione del vettore lungo ogni linea chiusa
riducibile contenuta nella regione è nulla.
Un campo di forze lamellare si dice anche conservativo. Campi lamellari godono
delle seguenti proprietà:
1. Condizione necessaria e sufficiente affinché il campo sia lamellare è che la
circolazione del vettore lungo una linea congiungente due punti A e B non
dipenda dalla linea
2. Condizione necessaria e sufficiente affinché il campo descritto dal un vettore v
sia lamellare e che sia verificata la condizione:

rotv ( P, t ) = 0
In un campo lamellare calcoliamo la circolazione lungo una linea che congiunge il
punto A al punto P. Poiché tale circolazione non dipende dalla linea abbiamo
P


f ( P, t ) = ∫ v ( P, t ) xt dS
A
Se il campo lamellare è continuo vale la relazione

v ( P, t ) = grad . f ( P, t )
Questa relazione dice che le superfici equipotenziali sono ortogonali alle linee del
campo lamellare
1
Questo grafico rappresenta a tratto pieno le linee vettoriali del campo gravitazionale
g e le linee tratteggiate le superfici equipotenziali del campo.
Divergenza
Consideriamo il moto dell’acqua in un tubo a sezione costante.
Supponiamo che la velocità del fluido in ogni punto non vari
nel tempo: moto stazionario.
Portata
v
La portata del tubo è uguale alla quantità di acqua che passa
nell’unità di tempo P= num. litri/sec . La portata si indica
anche col nome di flusso di acqua.
S
Flusso =
Volume / di / liquido / che / transita S∆L
=
= Sv
tempo
∆t
∆L
Se la velocità non risulta costante nei diversi punti nel tempo la
formula
Flusso=Portata = S v
non può essere più applicata.
In queste circostanze si considera una superficie di forma
qualsiasi che abbia il suo contorno sulla parete interna del tubo.
Si divide l’area in tante areole ∆S i molto piccole in modo che si
possa trascurare la variazione di velocità tra un punto e i
rimanenti punti della stessa areola.
Per ogni areola si diparte un sottile tubo di liquido il cui tubo di
liquido
∆Φi ≈ ∆Si cos α i Vi
Vi
αi
∆ Si
nk
2
Se indichiamo con n k il versore di superficie
∆Φi ≈ Vi X ∆Si nk
Il flusso totale attraverso la superficie
Φ≈
 
v
∑ i xni ∆Si
i =1.. N
se facciamo il limite ∆Si  0
Φ = lim ∆S −>0
∑ v xn ∆S = ∫ v( p) xndS
i =1.. N
i
i
i
S
Consideriamo un volume fisso a forma di cilindroide con le
generatrici formate da linee vettoriali, il flusso attraverso una
base non è in generale uguale a quello attraverso la base opposta
se si suppone il fluido comprimibile.
La differenza fra il flusso entrante e quello uscente rappresenta la
quantità di fluido accumulato nell’unità di tempo.
Se dividiamo la quantità di fluido accumulato per l’intero volume
otterremo la quantità di fluido accumulata nell’unità di tempo e
per unità di volume.
3
Il differenza tra i due flussi diviso il volume dà un indice
dell’accumulo di fluido.
S3
Lim
v0
Φ entrante − Φ uscente
prende il nome di divergenza del
Vvol
vettore velocità.
S1
Se invece di un cilindroide prendiamo un volume generico V la
superficie S che racchiude il volume può dividersi in tre tipi di
zone S1  zona in cui il fluido fuoriesce, zona S2  zona in cui il
fluidoentra, zona S3  zona in cui il fluido non entra e non esce .
S2
flusso / uscente = ∫ vxndS = ∫ ∫ vxndS
S
S1
flusso / entrante = − ∫ vxndS = ∫ ∫ vxndS
S2
S2
Il flusso totale uscente
flusso / totale / uscente = ∫ vxndS − (− ∫ ∫ vxndS )
S2
S2
la superficie chiusa S che contiene il volume risulterà somma di
S1 , S2 e della parte S3 da cui non passa flusso.
Φ Uscente = ∫∫ vxndS
S
facendo il rapporto tra tale flusso ed il volume si può determinare
la divergenza.
4
 
∫∫ v xndS
divergenza=lim
S
V
V0
=div v
Se il flusso attraverso una superficie chiusa non è nullo ciò
significa che nel volume racchiuso dalla superficie si ha una
produzione o un accumulo di flusso.
Se un gas passa in un tubo e il flusso all’entrata è maggiore del
flusso all’uscita significa che il gas si accumula nell’interno a
causa della sua comprimibilità ne consegue che la sua divergenza
è diversa da zero.
Per valutare l’intensità di produzione o di accumulo di flusso si
opera come segue: fissato un punto P si considera una superficie
chiusa che lo contenga, si fa il rapporto tra il flusso attraverso la
superficie ed il volume V racchiuso dalla superficie si effettua il
limite, se tale limite esiste ed è finito e non dipende né dalla
forma né dal modo con cui la superficie tende a zero allora tale
limite viene detto divergenza del vettore.
Φ1 v
Lim Φ 2 − Φ1
= div
∆V → 0 ∆V
P
Φ2
lim ∫∫
S
ϕ ( P) =
V− > 0
v( P, t0 ) xndS
V
Poiché tale limite è un numero, ad ogni punto P del campo
vettoriale e ad un assegnato istante t0 , viene associato un
numero.
Si è definito in tal modo un campo scalare partendo da un campo
vettoriale
ϕ ( P,t)= div v(P,t0)
5
Divergenza in coordinate cartesiane
Z ∆z
∆y
La divergenza si può esprimere per un campo vettoriale qualsiasi
in qualsiasi sistema di riferimento. Per ricavare lo sviluppo in
coordinate cartesiane si sceglie un cubo di spigoli ∆x, ∆y, ∆z
paralleli agli assi x, y, z.
∆x
1
Sia P il vertice del cubo con i valori minimi
A= Ax ax +Ay ay +Az az
y
x
Per poter esprimere ∫ AdS per il cubo bisogna coprire tutte le sei
facce ciascuna con direzione dS.
Ax(x)
‘dS
Dato che le facce sono perpendicolari ai tre assi, una sola
componente di A attraverserà una faccia parallela
Ax(x+∆x)
dS
∫ AdS ≈ − A ( x)∆y∆z
x
Facc. sinistra
∂Ax

≈
+
∆
∆
∆
≈
+
AdS
A
x
x
y
z
A
x
(
)
(
)
∆x]∆y∆z
x
x

∫
∂
x

facc .destra
la somma delle facce
]
∂Ax
∆x∆y∆z
∂x
Applicando lo stesso procedimento alle altre due coppie di facce
e sommando i risultati abbiamo:
 ∂Ax
∫ AdS ≈  ∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az 
∆x∆y∆z
∂z 
6
∫ AdS
lim
div A =
∆V − > 0 ∆V
dividendo per ∆x ∆y ∆z ∆V0
div A =
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
lo stesso discorso si può fare per le coordinate cilindriche e
sferiche
Cilindriche div A =
Sferiche
1 ∂ (rAr ) 1 ∂AΦ ∂Az
+
+
∂z
r ∂r
r ∂Φ
1 ∂ (r 2 Ar )
1 ∂ ( A sen ϑ )
1 ∂AΦ
div A = 2
+
+
r
∂r
r sen ϑ
∂ϑ
r sen ϑ ∂Φ
7