Transcript questi esercizi

1. Dire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di R2 . In caso affermativo fornirne una base.
a) (x, y) t.c. x2 + y 2 = 1
b) (x, y) t.c. x2 + y 2 = 0
c) (x, y) t.c. x2 + y 2 − x − y = 0
d) {(x, y) t.c. x + y + 1 = 0}
e) {(x, y) t.c. x + 2y = 0}
f) {(x, y) t.c. x = 0}
g) {(x, y) t.c. y = 0}
h) {(x, y) t.c. x > 0}
i) {(x, y) t.c. x ≥ 0}
j) {(x, y) t.c. x 6= 0}
k) {(x, y) t.c. x 6= y + 1}
l) {(x, y) t.c. x = 0} ∪ {(x, y) t.c. y = 0}
m) {(1, −1)}
2. Dire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di R3 . In caso affermativo fornirne una base.
a) {(x, y, z) t.c. x = y = 0}
b) {(x, y, z) t.c. y = z + 1}
c) V1 = {(x, y, z) t.c. y + z = 0}
d) V2 = {(x, y, z) t.c. x + 2y − 3z = 0}


 
 
 
x
3
2


e) (x, y, z) t.c. y  = t 0 + s −1 , t, s ∈ R


z
1
0
(Intendi: tutte le terne (x, y, z) che possono essere cosı̀ scritte al variare di t e s in R)
f) V1 ∩ V2
g) V1 ∪ V2
h) {(x, y, z) t.c. z = 2x = −2y}


 
 
 
4
x
−2








i) (x, y, z) t.c. y = t 1 + s −2 , t, s ∈ R


−2
z
1


 
 
   
x
3
2
0


j) (x, y, z) t.c. y  = t 0 + s 0 + 1 , t, s ∈ R


z
0
1
1
3. Per quali valori del parametro k ∈ R il seguente insieme è un sottospazio di R3 ?


 
 
   
x
3
2
8


(x, y, z) t.c. y  = t 0 + s 0 + 0 , t, s ∈ R


z
0
1
k
4. Per quali valori del parametro k ∈ R il seguente insieme è un sottospazio di R3 ?
(x, y, z) t.c. 2x + 3y + 7z = k 2 − 1
Indicheremo con Mn l’insieme della matrici reali quadrate n × n e con Mnm l’insieme della matrici
reali n × m.
5. Mnm è uno spazio vettoriale su R (essendo la somma e il prodotto per scalare quelli noti tra
matrici). Fornire una base per M3 . Che dimensione ha Mnm ?
6. Sia Hom(R2 , R3 ) l’insieme definito da L : R2 → R3 t.c. L è lineare . Esso ha la struttura di
spazio vettoriale sui reali. Che dimensione ha? Quale base possiamo associargli?
7. L’insieme delle matrici 3 × 3 simmetriche è un sottospazio vettoriale di M3 ? Se si, darne una
base.
8. L’insieme delle matrici di M3 tali che la somma di tutte le entrate è nulla è un sottospazio di
M3 ?
9. Sia fissata M ∈ Mn . L’insieme {A ∈ Mn t.c. AM = M A} è un sottospazio di Mn ? Discutere il
caso in cui M è la matrice


1 0 0
0
0 0 0
0


(1)
0 0 −2 0 
0 0 0 −1
10. Siano fissate M e N in Mn . L’insieme {A ∈ Mn t.c. N A = M } è un sottospazio di Mn ? Fornire
un esempio di M e N affinché lo sia.
11. Dati due spazi vettoriali V e W su un campo K e data L : V → W lineare, dimostrare che
l’insiemi dei vettori v ∈ V tali che L(v) = 0 è un sottospazio di V . Detto Ker(L) tale sottospazio,
che ruolo svolge L all’interno di Hom(V, W ) se Ker(L) = V ?
1
1
2
3
è un sottospazio di Hom(R2 , R3 )?
=
12. L’insieme L ∈ Hom(R , R ) t.c. L
0
0
0
1
2
3
è un sottospazio di Hom(R2 , R3 )?
=L
13. L’insieme L ∈ Hom(R , R ) t.c. L
1
0
14. Sia F l’insieme delle funzioni R → R continue. Esso ha struttura di spazio vettoriale su R,
definiti somma e prodotto per scalare dalle formule (f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x)
per ogni f, g ∈ F e α ∈ R. Quale è lo zero di questo spazio vettoriale?
Il sottoinsieme di F formato dalle funzioni f che verificano f (2) = 0 è un sottospazio? E l’insieme
delle f che verificano f (2) = 1?
?????????????????
15. Siano dati i sottoinsiemi di R3 U1 = span(e1 ) e U2 = span(e2 , e3 ) dove {e1 , e2 , e3 } è la base
canonica di R3 . Come è fatto U1 + U2 ?
16. Dare una base per span(e1 + e2 + e3 ) + span(e3 ). {e1 , e2 , e3 } è la base canonica di R3 .
17. Fornire una base per lo spazio vettoriale V1 + V2 dell’esercizio 2.
?????????????????
18. Quante applicazioni f : R2 → R2 lineari esistono tali che f (e1 ) = e2 e f (e2 ) = e1 ? {e1 , e2 } è la
base canonica di R2 .
19. Dire se le seguenti funzioni sono lineari. In caso positivo trovare la matrice rappresentativa dopo
aver scelto delle basi per gli spazi di arrivo e partenza.
a) f : R3 → R, f (x, y, z) = sin(xyz)
2
b) f : R3 → R6 , f (r, s, t) = (r, r, s, s, t, t)
c) f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (y, z, x)
d) f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (2x − 3y + z, 0, xy)
e) f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (2x − 3y + z, 0, x + y)
f) f : R3 → R2 , f (x, y, z) = (2x − 3y + z, x + y + 1)
20. La funzione f : Mn → Mn che ad una matrice associa la sua trasposta, ovvero f (A) = At , è
lineare? In caso positivo:
a) Trovarne il nucleo
b) Dire se ammette l’autovalore 1 e in tal caso trovarne l’autospazio
? ? ? rompicapo per i più coraggiosi ? ? ?
21. Siano U e V due sottospazi di uno spazio vettoriale W su K tali che W = U ⊕ V . Dimostrare
che per ogni w ∈ W esistono unici u ∈ U e v ∈ V tali che w = u + v.
Sia LU l’applicazione W → W che al generico w associa il vettore u appena detto. Allo stesso
modo si costruisca LV : W → W che a w associa v. Dimostrare che LU e LV sono lineari, che
LU (LU (w)) = LU (w) ∀w, che LU (LV (w)) = LV (LU (w)) = 0 ∀w e che LU + LV è l’identità in W .
Detta {e1 , e2 , e3 } la base canonica di R3 , si ponga ora W = R3 , U = span(e3 ), V = span(e1 , e2 ).
Decomporre il vettore (1, 2, 3)t nella somma u + v con u ∈ U e v ∈ V . Trovare le matrici
rappresentative di LU e LV rispetto alla base canonica e utilizzarle per verificare le relazioni di
composizione e somma di LU e LV dette prima.
22. La risposta all’esercizio 18 è: ne esiste una e una sola. Trovare la sua matrice rappresentativa
A rispetto alla base canonica di R2 . Scegliere una base per le matrici M2 in cui almeno un
elemento è una matrice simmetrica ma non diagonale, quindi scrivere le coordinate di A e della
sua inversa in questa base.
23. Data una matrice M quadrata, verificare che M + M t è simmetrica.
Sia S il sottoinsieme di Mn formato dalle matrici simmetriche e A quello formato dalle matrici
antisimmetriche. Dimostrare che A e S sono due sottospazi e che Mn = A ⊕ S. Allora data la
generica matrice M n × n esistono uniche due matrici X ∈ S e Y ∈ A tali che M = X + Y .
Dare la formula per trovare X e Y .
Sia s : M2 → M2 l’applicazione che a M ∈ M2 associa s(M ) = (M + M t )/2. Dopo aver dimostrato che è lineare, dire se è invertibile e trovarne il nucleo. Scriverne la matrice rappresentativa
in una base di M2 a scelta quindi trovare l’insieme delle M ∈ M2 tali che
1 0
s(M ) =
0 1
(una volta scelta una base, questo è un sistema lineare nelle coordinate di M ).
3