Transcript compito ga 14-10-16

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Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Esame di Geometria ed Algebra - 14.10.16
prof. M.R. Celentani
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1. Sia 't : R2 ! R2 un’applicazione lineare così de…nita:
't (e1 ) = te1 + 2e2 ; '(e2 ) = e1 + (t + 1)e2
e ft = 't 't
i) scrivere le matrici A't associata a 't e Aft associata ad ft ;
ii) determinare K erf 2 ;
iii) nel caso in cui t = 0, determinare la funzione inversa f0 1 ;
iv) nel caso in cui t = 0 determinare gli autovalori con la loro molteplicità algebrica e geometrica e
un autospazio.
2. Sia V = M3;2 (R) lo spazio vettoriale reale delle matrici 3 2. Considerato L sottospazio di V :
8
9
0
1
x1 x2
>
>
>
>
<
=
M = @ x3 x4 A j
determinare:
L=
x5 x6
>
>
>
>
:
;
x1 + x2 + x3 + x5 = 2x1 + 2x2 + 2x3 x5 = 4x1 + 4x2 + 4x3 + x5 = 0
i) dimR L;
ii) una base di L;
iii) un sottospazio supplementare di L in V .
3. Considerati il fascio proprio di piani F (r) avente per asse la retta:
r:
3x
4x
y
z
3=0
3=0
ed il piano avente rappresentazione cartesiana : 5x + y 2z 3 = 0
i) determinare, se possibile, un piano !1 2 F (r) tale che !1 risulti parallelo a ;
ii) qual è il luogo dei punti descritto da !1 \ ?
iii) determinare, se possibile, un piano !2 2 F (r) tale che !2 risulti ortogonale a .
4. Si consideri la conica
h
de…nita in coordinate omogenee mediante l’equazione
fh (x; x) = 2x21 + hx22 + hx23 + 8x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 = 0
i) classi…care h al variare di h: per quali valori di h la conica
ii) per h = 10 calcolare il centro.
h
è una conica a centro?