Transcript compito ga 21-6-16

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Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Esame di Geometria ed Algebra e Geometria I - 21-6-16
prof. M.R. Celentani, N. Durante, L.A. Lomonaco
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1. Sia 't : R3 ! R3 un’applicazione lineare così de…nita:
't (e1 ) = e1
e2
e3 ; '(e2 ) = 2e1 + 4e2 + 2e3 ; '(e3 ) = te3
i) scrivere la matrice A't associata a 't ;
ii) nel caso in cui t = 0, determinare Ker'o e Im '0 ;
iv) studiare la diagonalizzabilità di 't al variare di t;
v) nel caso in cui t = 2 determinare gli autovalori con la loro molteplicità algebrica e geometrica e un
autospazio.
2. Sia V = M2;2 (R) lo spazio vettoriale reale delle matrici 2 2. Considerato L sottospazio di V :
8
9
x1 x2
<
=
M=
j
x3 x4
L=
determinare:
:
;
x1 + x2 x4 = 2x1 + 2x2 + x3 = x1 + x2 + x3 + x4 = 0
i) dimR L;
ii) una base di L;
iii) un sottospazio supplementare di L in V .
3. Considerati il fascio proprio di piani F (r) avente per asse la retta:
8
< x=1 t
y=0
t2R
r:
:
z = 1 + 2t
ed il piano avente rappresentazione cartesiana : 2x + y + z 3 = 0
i) determinare, se possibile, un piano !1 2 F (r) tale che !1 risulti parallelo a ;
ii) determinare, se possibile, un piano !2 2 F (r) tale che !2 risulti ortogonale a .
4. Si consideri la conica
h
de…nita in coordinate omogenee mediante l’equazione
fk (x; x) = 2x21 + 2kx22 + 2kx23 + 8x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 = 0
i) classi…care k al variare di k;
ii) per k = 0 calcolare gli asintoti;
iii) per k = 5 calcolare il centro.