Transcript compito ga 21-12-15-C

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Scuola Politecnica e delle Scienze di Base - Classe di Ingegneria Industriale
Esame di Geometria ed Algebra - 21.12.2015-C
prof. M.R. Celentani, L.A. Lomonaco
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1. Sia 't : R3 ! R3 un’applicazione lineare così de…nita:
't (e1 ) = 4e1
e2 + 2e3 ; '(e2 ) = te2 ; '(e3 ) = e1
e2 + 5e3
i) scrivere la matrice A't associata a 't ;
ii) determinare per t = 0 Ker'0 ;
iii) determinare per t = 0, Im '0 : è vero che Ker'0 Im '0 ?
iv) Studiare la diagonalizzabilità di 't al variare di t;
v) nel caso in cui t = 3 determinare gli autovalori con la loro molteplicità algebrica e geometrica e un
autospazio; '3 è diagonalizzabile?
2. Considerato il sistema di matrici in M3;2 (R)
1
0
1
0
2
0
3
2
2
1 1
1 A;C = @ 3
Sh = 4A = @ 1 2 A ; B = @ 2
0
1
1
1 0
1
0
13
3
2
2
1 A ; Dh = @ 2 h + 2 A5
1
h
0
i) posto Uh = L(Sh ) discutere la dimensione di Uh al variare di h;
ii) quando h = 2 determinare U2 ;
iii) determinare una base di U2 ed un suo sottospazio supplementare in M3;2 (R).
3. Considerato il fascio proprio di piani F (r ) avente per asse la retta
r:
3x y + z 1 = 0
x + 4z 2 = 0
i) determinare, se è possibile, un piano
2 F (r ) parallelo alla retta
8
< x = 1 + 2t
y=t
s:
t2R
:
z = 1 3t
ii) tale piano contiene la retta s?
iii) determinare r \ s;
iv) esiste un piano contenente le rette r e s? (giusti…care la risposta e, se possibile, descrivere tale
piano).
4. Si consideri la conica
h
de…nita in coordinate omogenee mediante l’equazione
fh (x; x) = h2 x21 + x22 + 6x1 x2 + 2x1 x3 + x23 = 0
i) classi…care h al variare di h;
ii) in relazione al valore positivo per cui
iii) posto h = 2 si determini il centro.
h
risulta essere una parabola se ne determini l’asse;