Transcript Prova di Esame Prof.ssa Giovanna Ilardi Geometria

Prova di Esame
Prof.ssa Giovanna Ilardi
Geometria e Algebra
(2 punti) Studiare la compatibilitá e determinare le eventuali soluzioni del seguente
sistema lineare:


2x − y + z = 1
x + 2z = 1


x−y−z =0
(5 punti) Fissato nello spazio un riferimento monometrico ortogonale, si considerano la retta r rappresentata da:
(
x+y =0
r:
z=0
il punto A(1, 1, 1) ed il piano rappresentato da
α : x + y + z + 1 = 0.
Si rappresenti:
1. la retta per A parallela ad α ed incidente a r;
2. la retta per A incidente ed ortogonale ad r.
(8 punti) Sia data la seguente applicazione lineare
f : R3 → R2
cosı́ definita f (x, y, z) = (x − y + z, y − 2z) :
1. determina la dimensione ed una base del ker f ;
2. determina la dimensione ed una base di Imf ;
3. stabilire se tale applicazione é un isomorfismo.
(5 punti) Sia data la seguente applicazione lineare
f : R2 → R2
cosı́ definita f (x, y) = (2x + 3y, −x − 2y). Assegnata la base B =
{(−1, −1), (−2, 5)}, determinare la matrice associata all’applicazione
rispetto alla base MBB .
2
(10 punti) Data la matrice


2 1
0
A = 0 1 −2
0 −1 0
1. determinare gli autovalori;
2. determinare i relativi autospazi associati;
3. stabilire se la matrice é diagonalizzabile.