Transcript Presentazione di PowerPoint

Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali
Risoluzione di casi con più elementi
1
Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali
Risoluzione di casi con più elementi
2
Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali
Risoluzione di casi con più elementi
3
Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali
Risoluzione di casi con più elementi
4
Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali
Risoluzione di casi con più elementi
1
2
5
Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali
Risoluzione di casi con più elementi
6
Metodo degli Elementi finiti: elementi monodimensionali
Risoluzione di casi con più elementi
7
Metodo degli Elementi finiti: Matrice [T]
f1_
-
f2
f2
- f1_
f2
f1
8
Metodo degli Elementi finiti: Matrice [T]
9
Metodo degli Elementi finiti: Flessione con più elementi
10
Metodo degli Elementi finiti: Flessione con più elementi
A* =
11
Metodo degli Elementi finiti: Flessione con più elementi
12
Metodo degli Elementi finiti: Flessione con più elementi
13
Metodo degli Elementi finiti: Approccio fisico
14
Metodo degli Elementi finiti: Approccio fisico
[K i ] = [K i ]
15
Proprietà della matrice di rigidezza
• Come si può notare la matrice di
rigidezza è simmetrica rispetto
alla diagonale principale, come
accade per tutti i sistemi lineari.
Vale a dire che kij = kji
(teorema di reciprocità)
• Altra caratteristica della matrice di
rigidezza è che, se la struttura è
stabile e vincolata sufficientemente perché moti di corpo rigido non
siano possibili, è sempre definita
positiva. Vale a dire è sempre
positiva la forma quadratica ad
essa associata
Uguagliando i lavori e
dividendo per fifj≠0
16
Proprietà della matrice di rigidezza
Def. Per forma quadratica Q associata ad una matrice quadrata [A] di
ordine n, si intende l’espressione omogenea di secondo grado che si
ottiene post-moltiplicando la matrice [A] per un generico vettore {y} e
pre-moltiplicandola per il trasposto del medesimo vettore
n
n
Q = {y} ⋅ [A] ⋅ {y} = ∑∑ aij ⋅ y i ⋅ y j
T
i =1 j =1
Def. La matrice quadrata [A] di ordine n si dice definita o semi-definita
(positiva o negativa) secondo che lo sia la forma quadratica ad essa
associata.
Def. Una forma quadratica Q, associata ad una matrice quadrata e
simmetrica di ordine n, si dice definita positiva (negativa) se assume
valori positivi (negativi), qualunque siano gli elementi del vettore {y}, e si
annulla se sono nulli tutti gli elementi dello stesso vettore.
Def. La predetta forma quadratica Q è detta, invece, semi-definita
positiva (negativa) se, pur assumendo valori non negativi (non positivi)
per qualunque valore degli elementi del vettore {y}, si annulla per alcuni
valori non nulli degli elementi dello stesso vettore.
17
Proprietà della matrice di rigidezza
Si può dimostrare che secondo che una forma quadratica Q sia definita o
semi-definita positiva, la matrice quadrata e simmetrica [A] ad essa associata è non singolare o può essere singolare attraverso i seguenti teoremi, di cui si rilascia solo l’enunciato, e definendo minore principale di
ordine k della matrice [A] quadrata (k < n) la sottomatrice di [A] ottenuta
con le prime k righe e le prime k colonne.
Teorema 1: Se [A] è simmetrica, la forma quadratica Q è definita positiva
se e solo se det [Ak] > 0 per ogni minore principale [Ak], con k = 1,.. , n.
Teorema 2: Se [A] è simmetrica, la forma quadratica Q è semi-definita
positiva se e solo se det [Ak] ≥ 0 per ogni minore principale [Ak],k =1,.., n.
18
Proprietà della matrice di rigidezza
Nello specifico caso strutturale la matrice
[K], appartenente a R è simmetrica e la
forma quadratica ad essa associata può
essere ricavata dalle seguente espressione
Q(f) = {f}T [K] {f}
Si definisce semidefinita positiva se
risulta
{f}T [K] {f} > = 0
per
qualunque vettore {f} appartenente a R
non nullo. Sviluppando la funzione Q(f)
si ottiene
19