Transcript 50 H m = σ = - Laboratorio di Geomatica
Esercizio di minimi quadrati lineari: l'anello di livellazione
Una rete di livellazione si compone di 4 punti.
H
1 Sono disponibili 6 osservazioni di dislivello = 50
m
è nota. Δ
H
12 0 Δ
H
23 0 Δ
H
31 0 Δ
H
24 0 Δ
H
43 0 Δ
H
14 0 =
150.005
m
= −
70.12
m
= − =
80.003
m
10.007
m
= −
80.002
m
=
159.996
m
Le deviazioni standard delle osservazioni sono uguali a σ =
5
mm
. 4 devono essere stimate. Si disegni innanzitutto il grafo di rete. Si controllino e si riportino quindi gli errori di chiusura di tre anelli chiusi di cui si compone la rete. Si compensi quindi la rete mediante i Minimi Quadrati, riportando su foglio tutti i risultati intermedi: 1.
2.
3.
4.
errori di chiusura, vettore delle osservazioni, vettore delle incognite, matrice dei cofattori delle osservazioni, matrice disegno e termine noto, 5.
6.
7.
8.
matrice normale, sua inversa, termine noto normale, stima delle quote, 9.
stima delle osservabili, 10.
stima degli scarti, 11.
stima della varianza a posteriori. Si effettui il test sul modello globale (significatività al 5%), ricorrendo alla tabella del chi quadro: se ne riporti il risultato.
In caso il test sia fallito si calcolino e si analizzino infine gli scarti normalizzati. A tal fine si calcoli e si scriva la matrice di covarianza delle stime degli scarti. Se possibile, si identifichi il probabile errore grossolano, lo si elimini e si scriva il nuovo sistema. Si risolva quindi il nuovo sistema reiterando i passi della prima iterazione. Qualora la soluzione risulti finalmente accettabile si riportino i risultati finali (stima delle quote e relative deviazioni standard).
Svolgimento e soluzioni:
Il grafo della rete è il seguente: Gli errori di chiusura di tre anelli sono: Δ
H
12 0 Δ
H
24 0 Δ
H
14 0 + Δ
H
23 0 + Δ
H
43 0 + Δ
H
43 0 + Δ
H
31 0 − Δ
H
23 0 + Δ
H
31 0 = −
0.1180
m
=
0.1250
m
= −
0.0090
m
Il vettore delle osservazioni è:
y
0 ⎢ ⎢ ⎡ ⎢
150.0050
-70.1200
-80.0030
10.0070
-80.0020
159.9960
⎥ ⎥
Il vettore delle incognite é:
x
H H
3 ⎣ ⎦ La matrice disegno è:
A
1 0 0
−
1 1 0
⎢ ⎢ −
0 0
−
1 0 1 0 1
−
1 1
⎥ ⎥
0 0 1
⎥ ⎥ Il termine noto è:
b
= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ − −
50 0 50 0 0 50
La matrice di covarianza delle osservazioni risulta:
C
y y
= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ σ σ σ 2 Δ
H
12 Δ
H
23
...
, Δ
H
12 Δ
H
14 , Δ
H
12 σ Δ
H
σ 12 2 Δ
H
...
, Δ
H
23 23
...
=
0.000025
⋅ ⎢ ⎢ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣
1 0 ... 0 0 1 ... ...
... ... ... ...
0 ... ... 1
⎤
...
...
...
...
σ Δ
H
12
...
, Δ
H
14
...
σ 2 Δ
H
14 ⎥ ⎦ = σ 0 2 ⋅ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ σ ⎢ ⎢ σ σ Δ
H
σ σ 2 Δ
H
2 0 12 Δ
H
σ 23 , Δ
H
12 2 0
...
14 0 , 2 Δ
H
12 σ Δ
H
12 σ , Δ
H
23 2 0 σ σ 2 Δ
H
2 0 23
...
.
..
...
σ Δ
H
12 σ , 0 2 Δ
H
14
...
...
=
...
...
...
σ σ Δ 2
H
0 2 14 ⎥ ⎦ da questa si ricava la matrice dei cofattori:
Q
= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎣
1 0 ... 0 0 1 ... ...
... ... ... ...
0 ... ... 1
La matrice normale e la sua inversa risultano quindi:
N
3
−
1
−
1
⎤ = − ⎣ −
1 3 1
− −
1 3
⎥ ⎦
N
− 1 = ⎡ ⎢
0.5000 0.2500 0.2500
0.2500 0.5000 0.2500
0.2500 0.2500 0.5000
⎥ ⎦ A questo punto è possibile stimare il vettore dei termini incogniti e il vettore delle osservabili: =
N
− 1
A T Q
− 1
A
(
y
0 −
b
) = ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 200.0305
129.9712
210.0022
⎤ ⎥ ⎥ ⎦ É quindi possibile calcolare il vettore degli scarti: =
Ax
+
b
= ⎢ ⎢ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 150.0305
-70.0593
-79.9712
9.9717
-80.0310
160.0023
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ε !
=
y
0 − = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ -0.025500000000022
-0.060749999999985
-0.031750000000002
0.035250000000014
0.029000000000011
-0.006249999999994
⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ Viene quindi stimata la varianza a posteriori σ 2 = ε
T Q
− 1 ε
m
−
n
= 0.0024905
Si effettua quindi il test sul modello globale, considerando una probabilità pari al 95%. La ridondanza, o numero di gradi di libertà, è pari a 3 (m=6,n=3). Il valore limite del chi quadro si può ricavare dalle tabelle ed è pari a 7.8147. Il valore del chi quadro empirico viene invece calcolato: χ 2
emp
!
= σ 2 σ 0 2 ⋅ (
m
−
n
) = 298.8600
Il test del chi quadro non risulta quindi verificato, poichè χ 2
emp
> χ 2 lim . Vengono comunque calcolate le matrici di covarianza delle stime dei parametri incogniti, delle osservazioni e degli scarti:
C x
!
x
= σ 2
N
− 1 = ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0.001245250 0.0006226250 0.0006226250
0.000622625 0.0012452500 0.0006226250
0.000622625 0.0006226250 0.0012452500
⎤ ⎥ ⎦
C y
!
y
= σ 2
AN
− 1
A T
=
= ⎢ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎢ − 0.00124525
0.00062262 0.00124525
− 0.00062262
− 0 0.00062262
− − 0.00062262
0.00062262 0.00124525
0.00062262 0.00062262
0.00062262
0 − − 0.00062262
0 − 0.00062262
0.00062262 0.00062262
0 0.00124525
− 0 0.00062262
− 0.00062262
− 0.00062262
0 0.00062262
0.00062262 0.00062262
− 0.00062262
− 0.00062262 0.00124525
− 0.00062262 0.00062262
− 0.00062262
− 0.00062262 0.00124525
⎥ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎥
C
ε !
ε = ⎢ ⎢ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎢ = σ 2 (
Q
−
AN
− 1
A T
) = − 0.00124525
0.00062262
0.00062262
0.00062262
0 0.00062262
0.00062262 0.00062262
0.00062262 0.00124525
− 0.00062262
0.00124525 0.00062262 0.00062262
0 0 − 0.00062262
0.00062262
− 0.00062262
0 − 0.00062262 0.00062262
0 − 0.00124525
0.00062262 0.00062262
0.00062262
0.00062262 0.00124525
0.00062262
− 0.00062262
0 0.00062262
− 0.00062262
0.00062262
0.00124525
⎥ ⎥ ⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎥ Poichè il test non risulta verificato, vengono calcolati gli scarti normalizzati.
U i
!
= ε ε
i
!
i
→
U
= ⎢ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎢ ⎢ -0.7226
-1.7215
-0.8997
0.9989
0.8218
-0.1771
⎥ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎥ ⎥ Nel vettore degli scarti normalizzati si può identificare come errore grossolano la seconda osservazione, la quale presenta uno scarto normalizzato circa doppio rispetto a quello delle altre osservazioni. Tale osservazione viene quindi rimossa dal sistema. Il nuovo sistema risulta quindi:
y
0 = ⎡ ⎢ ⎢
150.0050
-80.0030
10.0070
-80.0020
159.9960
⎥ ⎥ =
1 0 0 0 -1 0
⎤ ⎢
-1 0 1 0 1 -1
⎥
H
⎢ ⎥
H
+
0 0 1
⎢ ⎢ ⎡
-50 50
⎤
0
⎢
0 -50
⎥ ⎥ Risolvendo il nuovo sistema mediante minimi quadrati si ottiene: = ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 200.0001
130.0016
210.0023
⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 150.0001
-80.0016
10.0021
-80.0006
160.0023
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ε !
= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ -0.0049
-0.0014
0.0049
-0.0014
-0.00624
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ In questo caso il test del chi quadro risulta verificato, con χ 2 lim = χ 2
emp
In conclusione le tre quote incognite e le relative accuratezze di stima risultano: H 2 = 200.0001
m
, σ H 2 =5.3 mm H 3 !
4 = 130.0016
=
m
, σ H 3 =5.3 mm 210.0023
m
, σ H 4 =4.8 mm