Transcript Problemi tridimensionali: Elemento Tetraedrico a 4 Nodi

Problemi spaziali:
Elemento tetraedrico a 4 nodi
Dalle dispense del prof. Dario Amodio e dalle lezioni del prof. Giovanni Santucci
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Il Metodo degli Elementi Finiti
Elemento tetraedrico a 4 nodi
La trattazione è perfettamente analoga a quella vista per l’elemento triangolare a 3 nodi
Vettori spostamento e forze di elemento
{d }
e
 di 
d 
 j
= 
d m 
 d p 
 uk 
{d k } =  vk 
w 
 k
3 g.d.l. traslazionali nello spazio
k = i , j , m, p
Fp
p
Fm
m
 Fi 
F 
e
{F } =  j 
 Fm 
 Fp 
L.Cortese
p
U k 
{Fk } = Vk 
W 
 k
k = i , j , m, p
j
i
Fj
Fi
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Il Metodo degli Elementi Finiti
Elemento tetraedrico a 4 nodi : funzioni di forma
Spostamento in seno all’elemento
Funzioni di forma lineari:
u 
{ f } =  v 
w 
 
u = q1 + q2 x + q3 y + q4 z
v = q5 + q6 x + q7 y + q8 z
w = q9 + q10 x + q11 y + q12 z
Le 12 costanti q possono essere ricavate risolvendo 3 sistemi di 4 equazioni in 4 incognite
ognuno, del tipo:
ui = q1 + q2 xi + q3 yi + q4 zi
u j = q1 + q2 x j + q3 y j + q4 z j
....
um = q1 + q2 xm + q3 ym + q4 zm
....
u p = q1 + q2 x p + q3 y p + q4 z p
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
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Il Metodo degli Elementi Finiti
Elemento tetraedrico a 4 nodi: funzioni di forma
Reinserendo nelle funzioni di forma le incognite q trovate è possibile esprimere gli
spostamenti in seno all’elemento mediante relazioni del tipo:
p
u=∑
k =i
p
(ak + bk x + ck y + d k z )
uk =∑ N k ' uk
6V
k =i
1 xi
1 xj
6V = det
1 xm
1 xp
yi
yj
ym
yp
zi
zj
zm
zp
xj
ai = det xm
xp
con
yj
ym
yp
zj
zm
zp
Nk ' =
(ak + bk x + ck y + d k z )
6V
1 yj
bi = − det 1 ym
1 yp
 di 
d 
{ f } = [[ I ] N i ' [ I ]N j ' [ I ] N m ' [ I ]N k '] j 
d m 
d p 
zj
zm
zp
....
In forma compatta
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Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
1 0 0
1 0

0 0 1
[I ] = 0
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Il Metodo degli Elementi Finiti
Elemento tetraedrico a 4 nodi: matrice di deformazione
Vettore deformazione, 6 componenti nello spazio:
 du 
 dx 
 dv 

εx  
 ε   dy 
 di 
 y   dw 
d 

ε  
{ε } =  z  =  du dz dv  = [Bi B j Bm Bp ] j  = [B]{d }e
d m 
γ xy   + 
dy
dx

γ yz  
d p 
   dv dw 
γ zx   dz + dy 


 dw + du 
 dx dz 
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Il Metodo degli Elementi Finiti
Elemento tetraedrico a 4 nodi: matrice di deformazione
Componenti della matrice di deformazione
 ∂N k '
 ∂x

 0


 0
[Bk ] =  ∂N '
 k
 ∂y

 0

 ∂N k '
 ∂z
0
∂N k '
∂y
0
∂N k '
∂x
∂N k '
∂z
0

0 

0 
 bk

0
∂N k ' 

∂z  = 1  0


0  6V  ck

0
∂N k ' 

d k
∂y 

∂N k ' 
∂x 
0
ck
0
bk
dk
0
0
0

dk 

0
ck 

bk 
k = i, j , m, p
Eventuali deformazioni iniziali possono essere descritte
mediante un vettore ancora a 6 componenti
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
1
1
 
1
{ε 0 } = α∆T  
0
0
 
0
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Il Metodo degli Elementi Finiti
Elemento tetraedrico a 4 nodi: matrice di elasticità
Campo di tensione in seno all’elemento
{σ} = [D ] ([B ]{d}e − {ε 0 })+ {σ 0 }
Matrice di elasticità
1 ν ' ν ' 0 0 0 
ν ' 1 ν ' 0 0 0 


ν
E (1 − ν ) ν ' ν ' 1 0 0 0 
1 − 2ν
[D ] =
m' =

 ν'=
(1 + ν )(1 − 2ν )  0 0 0 m' 0 0 
1 −ν
2(1 − ν )
 0 0 0 0 m' 0 


 0 0 0 0 0 m '
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Il Metodo degli Elementi Finiti
Elemento tetraedrico a 4 nodi: matrice di rigidezza
Per quanto riguarda la matrice di rigidezza, vale un’espressione analoga a quella vista per
l’elemento triangolare piano
[K ]
e
= [B ] [D ] [B ] V
T
 BiT 
 T
B
=  Tj [D ][Bi B j Bm B p ]⋅ V
 Bm 
 T
 B p 
La generica sottomatrice può
essere scritta come segue:
[K ] rs = [B ] r [D ] [B ] s ⋅V
T
Mentre per i vettori forze nodali equivalenti
{F }εe
= −[B ] [D ]{ε 0 }V
T
0
{Fσ0 }e = ∫ [B]T {σ 0 }dV
{F }
e
p
V
= − ∫ [N ] {p}dV
T
v
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 px 
{p} =  p y 
p 
 z
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