Transcript Elemento triangolare a 3 nodi, parte I

Il Metodo degli Elementi Finiti
Problemi piani:
L’elemento triangolare a 3 nodi
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Il Metodo degli Elementi Finiti
Elementi bidimensionali: stato di tensione piana
In molti casi, pur essendo l’oggetto da studiare un solido continuo, la schematizzazione del
comportamento strutturale può essere fatta con un modello continuo bidimensionale, con un
sufficiente grado di approssimazione. Ciò è possibile ogniqualvolta la generica sezione
trasversale sia rappresentativa del comportamento dell’intero solido
Stato piano di
tensione
Modello solido 2D
Stato piano di
deformazione
s
Spessore
unitario o
spessore
effettivo
H
L
L.Cortese
Stato piano di tensione: s << L, H
Tensione normale al piano trascurabile
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Il Metodo degli Elementi Finiti
Elementi bidimensionali: stato di deformazione piana
In molti casi, pur essendo l’oggetto da studiare un solido continuo, la schematizzazione del
comportamento strutturale può essere fatta con un modello continuo bidimensionale, con un
sufficiente grado di approssimazione. Ciò è possibile ogniqualvolta la generica sezione
trasversale sia rappresentativa del comportamento dell’intero solido
Stato piano di
tensione
Modello solido 2D
Stato piano di
deformazione
Spessore
unitario
s
Stato piano di deformazione: s >> L, H
Deformazione normale al piano trascurabile
H
L
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Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Il Metodo degli Elementi Finiti
Elemento piano triangolare a 3 nodi
Si consideri un solido (omogeneo ed isotropo) e si
ipotizzi che carichi e vincoli, ad esso applicati, siano tali
da generare un campo piano di spostamenti e che tale
piano sia normale allo spessore. In tal caso è spesso
possibile ricondursi ai casi visti prima di stato di
tensione piana o deformazione piana
y
y
m
j
s
s
i
x
x
In queste condizioni è possibile rappresentare il
Per le ipotesi e le assunzioni fatte
comportamento strutturale del solido con un modello piano.
l’elemento può solo spostarsi,
Si divida il solido in una serie di elementi triangolari, di
deformandosi, sul piano x y.
dimensioni finite.
Ogni suo punto ha quindi due
Si immagini ora di estrarre uno di tali triangoli dal continuo
componenti di spostamento, che
e di studiare il suo comportamento riferendolo ad un
indicheremo come u e v.
sistema di coordinate cartesiano.
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Il Metodo degli Elementi Finiti
Elemento piano triangolare a 3 nodi
Consideriamo quindi l’elemento e, dotato di spessore s, nel piano x y.
L’elemento è un triangolo di vertici i, j , m
y
Elemento indeformato
vm
m
Elemento deformato
dm
Prendiamo anche in
considerazione ciò che accade
ad un generico punto interno
dell’elemento:
um
f
vj
v
dj
u
di
j
vi
i ui
uj
Quando la struttura viene posta
sotto carico si deforma.
L’elemento subisce un campo di
spostamenti, completamente
definibile dagli spostamenti dei
tre nodi di vertice i, j ed m
x
Le componenti di spostamento del generico punto interno dell’elemento
possono essere espressi come funzioni degli spostamenti nodali.
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(a.a. 2011-2012)
Il Metodo degli Elementi Finiti
Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma
y
Consideriamo quindi l’elemento e, dotato di spessore s, nel piano x y.
L’elemento è un triangolo di vertici i, j , m
Elemento indeformato
vm
m
vi
i ui
Indichiamo con {f} il vettore
degli spostamenti di un generico
punto interno.
um
f
v
di
Elemento deformato
dm
vj
dj
u
j
Le componenti del vettore {f}
sono u e v:
uj
x
{f} dipende dal vettore degli spostamenti nodali di elemento {d}e
tramite una matrice [N] che contiene le funzioni di spostamento:
L.Cortese
u 


v 
{ f } = 
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
{ f } = [N ]{d }e
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Il Metodo degli Elementi Finiti
Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma
vm
y
Nel caso di elemento
piano a tre nodi
um
m
vj
vi
i
v
uj
u
j
{d }e
ui
x
{ f } = [N ]{d }e
 di 
 
= d j 
d 
 m
e
{ f } = [N i
 u1 
v 
 1
u 
=  2
 v2 
u3 
 
 v3 
Nj
re = 2
m=3
e
 di 
 
N m ] d j 
d 
 m
e
[N]i , [N]j ed [N]m sono quadrate di dimensioni 2 x 2
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Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma
Le matrici [N]i , [N]j ed [N]m possono essere viste (sempre, non solo in questo caso particolare!)
come il prodotto di una funzione per la matrice identità:
[N ] = [[I ]⋅ N i′ [I ]⋅ N ′j [I ]⋅ N m′ ]
1 0



0 1 
[I ] = 
e N’i , N’j ed N’m sono funzioni arbitrarie, note con il nome di funzioni di spostamento o di
forma, le quali legano il campo degli spostamenti interni all’elemento al vettore degli
spostamenti nodali.
Chiaramente:
{ f } = { f ( x, y, z )} , [N ]k = [N ( x, y, z )]k
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Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma
Le funzioni N’i , N’j ed N’m dipenderanno dalle coordinate nodali dell’elemento
y
Elemento e - nodi i ,
nodo coordinate
j ,m
i
xi
yi
j
xj
yj
m
xm
ym
m
ym
j
yj
Le coordinate nodali devono
essere note per poter calcolare
il vettore degli spostamenti.
i
yi
xi
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x
xm
xj
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Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma
Le più semplici funzioni di spostamento che possono essere pensate sono di tipo lineare:
u = q1 + q2 x + q3 y
v = q 4 + q5 x + q 6 y
u
Essendo q sei costanti dipendenti dalle
coordinate nodali dell’elemento
y
um
m
yP
uxy
ui
ui, uj e um rappresentano tre
possibili spostamenti nodali
L.Cortese
P(x,y)
j
i
xP
x
La superficie rappresenta la
funzione lineare di x e y
uj
N.B. Funzioni di forma lineari garantiscono
automaticamente la continuità degli spostamenti
tra elementi limitrofi!
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Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma
Adottando una funzione di grado superiore si avrebbe una superficie più complessa e la sue
definizione richiederebbe un maggior numero di punti nodali
u
y
um
uxy
yP
ul
m
k
l
ui
uk
j
i
xP
q uq
uj
ui, uj um uk ul uq
rappresentano 6 possibili
spostamenti nodali
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x
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Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma
Le costanti possono essere calcolate imponendo che le funzioni di spostamento assumano nei
nodi esattamente il valore dello spostamento nodale.
ui = q1 + q2 xi + q3 yi
vi = q4 + q5 xi + q6 yi
u j = q1 + q2 x j + q3 y j
v j = q 4 + q5 x j + q 6 y j
u m = q1 + q2 xm + q3 ym
vm = q4 + q5 xm + q6 y m
Ne derivano 2 sistemi, di 3 equazioni in 3 incognite, che consentono di calcolare i valori delle q.
 ui  1 xi
  
  
 u j  = 1 x j
  
u  1 x
m
 m 
L.Cortese
yi   q1 
 
 
y j   q2 
 
ym  q3 
 vi  1 xi
  
  
 v j  = 1 x j
  
v  1 x
m
 m 
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
yi   q 4 
 
 
y j  q5 
 
y m  q6 
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Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma
I valori delle incognite q sono calcolati come segue
q1 =
e dove ∆ ha il significato:
Per i minori:
ai = x j y m − x m y j
xi
xj
xm
a j = −( xi ym − xm yi )
1
1
1
yi
yj
ym
L.Cortese
1
1
∆ = det 1
2
1
xi
xj
xm
yi
yj
ym
yi
yj
ym
= area del
triangolo i j m
Matrice dei
coefficienti
am = xi y j − x j yi
1
1
1
xi
xj
xm
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
yi
yj
ym
+ – +
+
xi
xj
xm
2∆
+
1
1
1
Dove ai, aj e am sono i minori della
matrice dei coefficienti che si
ottengono escludendo la prima
colonna:
ai u i + a j u j + a m u m
–
Dal primo dei due
sistemi si ha:
1
1
1
xi
xj
xm
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Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma
I valori delle incognite q sono calcolati come segue
Ancora dal primo dei
due sistemi si
calcola le seconda
incognita:
bi = y j − ym
L.Cortese
bi ui + b j u j + bmu m
2∆
b j = y m − yi
e la terza incognita:
ci = xm − x j
q2 =
q3 =
bm = yi − y j
ci ui + c j u j + cm u m
c j = xi − xm
Dove bi, bj e bm sono i minori della
matrice dei coefficienti che si
ottengono escludendo la seconda
colonna:
2∆
Dove ci, cj e cm sono i minori della
matrice dei coefficienti che si
ottengono escludendo la terza
colonna:
cm = x j − xi
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yi
yj
ym
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Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma
Gli altri tre valori delle incognite q si ottengono semplicemente introducendo nelle relazioni
precedenti le componenti di spostamento v in luogo di u
q4 =
q5 =
q6 =
ai = x j ym − xm y j
ai vi + a j v j + am vm
a j = xm yi − xi y m
2∆
am = xi y j − x j yi
bi vi + b j v j + bm vm
2∆
ci vi + c j v j + cm vm
bi = y j − ym
b j = y m − yi
2∆
bm = yi − y j
avendo ai, aj , am , bi, bj , bm , ci, cj e cm
gli stessi valori calcolati prima in funzione
delle coordinate nodali dell’elemento e
riportati qui per riepilogo.
ci = xm − x j
c j = xi − xm
cm = x j − xi
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Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma
A questo punto sono calcolabili le componenti del vettore {f} di spostamento dei punti
interni all’elemento, u e v, in funzione degli spostamenti nodali e delle coordinate x e y.
[
]
[
]
1
( ai + bi x + ci y ) ⋅ ui + ( a j + b j x + c j y ) ⋅ u j + (am + bm x + cm y ) ⋅ um
2∆
1
v=
(ai + bi x + ci y ) ⋅ vi + ( a j + b j x + c j y ) ⋅ v j + ( am + bm x + cm y ) ⋅ vm
2∆
u=
[
]
[
]
1
N i' ⋅ ui + N 'j ⋅ u j + N m' ⋅ um
2∆
1
v=
N i' ⋅ vi + N 'j ⋅ v j + N m' ⋅ vm
2∆
u=
Dove le funzioni
N k′ =
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N’k sono espresse da:
1
(ak + bk x + ck y )
2∆
per k=i,j,m
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Elemento piano triangolare a 3 nodi: matrice delle funzioni di forma
Le relazioni precedenti possono scriversi  ui 
in forma matriciale come segue:
 
e
ed in modo più compatto:
vi
u 
{ f } =   = [[I ] N i′
v 
[I ]N ′j
 
u 
[I ]N m′ ]  j 
vj 
u m 
 
 vm 
{ f } = [N i
Nj
 di 
 
N m ] d j 
d 
 m
{ f } = [N ]{d }e
Si ricorda che le funzioni di spostamento di pendono dalle coordinate del punto interno
all’elemento e dalle coordinate dei nodi mediante le ak , bk, ck e ∆:
N k′ =
1
(ak + bk x + ck y )
2∆
per k=i,j,m
2∆ = x j ym − xm y j − xi ⋅ ( ym − y j ) + yi ⋅ ( xm − x j )
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(a.a. 2011-2012)
e