Risultati analisi FEM flangia
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Transcript Risultati analisi FEM flangia
Esercitazioni del corso di Costruzione di Macchine 2 e Progettazione FEM
a cura dellβ ing. Francesco Villa
Elementi finiti solidi
Costruzione di Macchine 2 e Progettazione FEM
Prof. Sergio Baragetti
Dalmine - 05/06/2014
Elemento esaedrico a 8 nodi - lineare
1. DESCRIZIONE DELLβELEMENTO
2. APPROSSIMAZIONE DEGLI SPOSTAMENTI
3. FUNZIONI DI FORMA [π]
4. LEGAME DEFORMAZIONI β SPOSTAMENTI [π΅]
5. LEGAME SFORZI - DEFORMAZIONI [π·]
6. MATRICE DI RIGIDEZZA DELLβELEMENTO [πΎ]
7. LEGAME SFORZI β SPOSTAMENTI NODALI [π»]
1. Descrizione dellβelemento
π§
7
8
6
5
π¦
π
4
3
π
2
1
π
8 vertici β almeno 8 nodi β EF lineari
π₯
1. Descrizione dellβelemento
π€7
π€8
π£7
π£8
π§
π€5 π£5
7
π£6
π€6
π’5
5
6
π’8
8
π’6
π€4
π¦
π€3
π£4
π£3
π€1
3
π£1
1
π’7
π’1
π’3
4
π£2
π€2
2
π’4
π’2
spostamenti nodali: ππ = π’π , π£π , π€π
π
π₯
1. Descrizione dellβelemento
πΉπ§ 7
π§
πΉπ¦
πΉπ§ 5
5
7
6
π¦
πΉπ§ 3
πΉπ§1
πΉπ¦ 6
πΉπ§ 6
πΉπ₯ 5
5
1
πΉπ₯ 7
πΉπ¦ 3
3
πΉπ¦
1
πΉπ₯ 3
πΉπ¦ 8
πΉπ§ 8
πΉπ¦ 7
πΉπ¦ 2
2
forze nodali: πΉπ = πΉπ₯ π , πΉπ¦ , πΉπ§ π
π
πΉπ₯ 6
πΉπ§ 4 πΉπ¦
4
πΉπ§ 2
πΉπ₯ 1
8
π
πΉπ₯ 2
πΉπ₯ 8
4
πΉπ₯ 4
π₯
1. Descrizione dellβelemento
β’
VETTORE SPOSTAMENTI E FORZE 24X1 β MATRICE πΎ
πΉπ₯,1
π’1
24X24
π£1
πΉπ¦,1
πΉ1
π1
π€1
πΉ
π§,1
πΉ2
π2
πΉ3
π3
πΉ4
π4
πΉ =
π =
πΉ5
π5
πΉ6
π6
πΉ7
π7
πΉ8
π8
2. Approssimazione campo spostamenti
β’
PER CIASCUN NODO OCCORRE DEFINIRE I TRE SPOSTAMENTI
πΏπ = π’π π₯, π¦, π§ , π£π π₯, π¦, π§ , π€π π’π π₯, π¦, π§
β’
π
APPROSSIMAZIONE DI TIPO POLINOMIALE
π’ = πΌ1 + πΌ2 π₯ + πΌ3 π¦ + πΌ4 π§ + πΌ5 π₯π¦ + πΌ6 π₯π§ + πΌ7 π¦π§ + πΌ8 π₯π¦π§
π£ = πΌ9 + πΌ10 π₯ + πΌ11 π¦ + πΌ12 π§ + πΌ13 π₯π¦ + πΌ14 π₯π§ + πΌ15 π¦π§ + πΌ16 π₯π¦π§
π€ = πΌ17 + πΌ18 π₯ + πΌ19 π¦ + πΌ20 π§ + πΌ21 π₯π¦ + πΌ22 π₯π§ + πΌ23 π¦π§ + πΌ24 π₯π¦π§
β’
LINEARE LUNGO RETTE PARALLELE AGLI ASSI x, y, z
β’
24 COEFFICIENTI β 24 C.C. β 24 VALORI DI u, v, w NEI NODI
2. Approssimazione campo spostamenti
π’ = πΌ1 + πΌ2 π₯ + πΌ3 π¦ + πΌ4 π§ + πΌ5 π₯π¦ + πΌ6 π₯π§ + πΌ7 π¦π§ + πΌ8 π₯π¦π§
π£ = πΌ9 + πΌ10 π₯ + πΌ11 π¦ + πΌ12 π§ + πΌ13 π₯π¦ + πΌ14 π₯π§ + πΌ15 π¦π§ + πΌ16 π₯π¦π§
π€ = πΌ17 + πΌ18 π₯ + πΌ19 π¦ + πΌ20 π§ + πΌ21 π₯π¦ + πΌ22 π₯π§ + πΌ23 π¦π§ + πΌ24 π₯π¦π§
1.
I TERMINI COSTANTI DESCRIVONO UNA TRASLAZIONE RIGIDA DELLβELEMENTO, I
TERMINI LINEARI DESCRIVONO ROTAZIONI RIGIDE PER PICCOLI ANGOLI
2.
ESISTENDO SEMPRE LE DERIVATE DEI POLINOMI, È POSSIBILE DESCRIVERE UN
CAMPO DI DEFORMAZIONI
3.
CONGRUENZA VERIFICATA IMPONENDO GLI STESSI SPOSTAMENTI SU BORDI E
FACCE CONTIGUE
4.
FUNZIONI NON SINGOLARI
3. Funzioni di forma
β’
ESPRIMONO IL LEGAME FRA IL CAMPO DEGLI SPOSTAMENTI E I
VALORI AI NODI
π’ π₯, π¦, π§ = π1 π₯, π¦, π§
π =
π1 , π2 , π3 , π4 , π5 , π6 , π7 , π8
π’ π₯, π¦, π§
π£ π₯, π¦, π§
π€ π₯, π¦, π§
β’
π
π1 π₯, π¦, π§
= π2 π₯, π¦, π§
π3 π₯, π¦, π§
π
SI RICAVANO IMPONENDO I VALORI AI NODI COME C.C.
π
3. Funzioni di forma β N1
β’
ESEMPIO PER OTTENERE N1 DALLE COORDINATE NODALI:
π1 0,0,0 , π2 π, 0,0 , π3 0, π, 0 , π4 π, π, 0 ,
π5 0,0, π , π6 π, 0, π , π7 0, π, π , π8 π, π, π
β’
SOSTITUENDO NELLβAPPROSSIMAZIONE POLINOMIALE LE COORDINATE DEI NODI:
π’1 = πΌ1
π’2 = πΌ1 + πΌ2 π
π’3 = πΌ1 + πΌ3 π
π’4 = β―
β’
SI OTTENGONO I COEFFICIENTI DEL POLINOMIO
πΌ1 = π’1
π’2 β π’1
πΌ2 =
π
π’3 β π’1
πΌ3 =
π
πΌ4 = β―
3. Funzioni di forma β N1
π’ π₯, π¦, π§ = π1 π₯, π¦, π§
β’
π
SI USANO GLI SVILUPPI POLINOMIALI PER [N1], CHE RADUNA I
TERMINI DEL POLINOMIO MOLTIPLICANTI π’1 , π’2 , β¦ , π’8 :
π1 = [π11 , 0,0, π12 , 0,0, π13 , 0,0 , π14 , 0,0,
π15 , 0,0, π16 , 0,0, π17 , 0,0, π18 , 0,0 ]
β’
CON:
π11
π₯ π¦ π§ π₯π¦ π₯π§ π¦π§ π₯π¦π§
=1β β β +
+ +
β
π π π ππ ππ ππ πππ
π₯ π₯π¦ π₯π§ π₯π¦π§
π12 = β
β +
π ππ ππ πππ
β¦
3. Funzioni di forma β N2, N3
LE STESSE ESPRESSIONI VALGONO PER v E w
β’
π£ π₯, π¦, π§ = π2 π₯, π¦, π§
π€ π₯, π¦, π§ = π3 π₯, π¦, π§
β’
π
π
CON OPPORTUNE PERMUTAZIONI:
π2 = [0, π11 , 0,0, π12 , 0,0, π13 , 0,0 , π14 , 0,0,
π15 , 0,0, π16 , 0,0, π17 , 0,0, π18 , 0]
π3 = [0,0, π11 , 0,0, π12 , 0,0, π13 , 0,0 , π14 , 0,0,
π15 , 0,0, π16 , 0,0, π17 , 0,0, π18 ]
3. Funzioni di forma
β’ SI OTTIENE DUNQUE LA FUNZIONE
π’ π₯, π¦, π§
π£ π₯, π¦, π§
π€ π₯, π¦, π§
π1 π₯, π¦, π§
= π2 π₯, π¦, π§
π3 π₯, π¦, π§
= π π₯, π¦, π§
CON
π π₯, π¦, π§
π =
π
DI DIMENSIONE 3X24
4. Legame deformazioni - spostamenti
β’ DAGLI SPOSTAMENTI SI OTTENGONO LE DEFORMAZIONI
ππ’ ππ£
ππ’
πΎπ₯π¦ =
+
ππ₯ =
ππ¦ ππ₯
ππ₯
ππ£
ππ’ ππ€
ππ¦ =
πΎπ₯π§ =
+
ππ¦
ππ§ ππ₯
ππ£ ππ€
ππ€
πΎπ¦π§ =
+
ππ§ =
ππ§ ππ¦
ππ§
4. Legame deformazioni - spostamenti
β’
INTRODUCENDO LE FUNZIONI DI FORMA π :
π π1
ππ₯ =
ππ₯
π
π π2
ππ¦ =
ππ¦
π
π π3
ππ§ =
ππ§
π
{π}
{π}
{π}
π π1
π π2
πΎπ₯π¦ =
+
ππ¦
ππ₯
π
π π1
π π3
πΎπ₯π§ =
+
ππ§
ππ₯
π
π π2
π π3
πΎπ¦π§ =
+
ππ§
ππ¦
π
{π}
{π}
{π}
4. Legame deformazioni - spostamenti
β’ IN FORMA COMPATTA SI DEFINISCE LA MATRICE 6X24 π΅ :
π = π΅ π
π΅ = [π΅1 ], [π΅2 ], [π΅3 ], [π΅4 ], [π΅5 ], [π΅6 ]
β’ LE SINGOLE MATRICI [π΅π ] CONTENGONO LE VARIE DERIVATE
DI π PER OTTENERE LE DEFORMAZIONI ππ₯ , ππ¦ , ππ§ , E LE
LORO SOMME PER GLI SCORRIMENTI πΎπ₯π¦ , πΎπ₯π§ , πΎπ¦π§
4. Legame deformazioni - spostamenti
β’ AD ESEMPIO:
π΅1 =
π π1 π
ππ₯
= [π΅11 , 0,0, π΅12 , 0,0, π΅13 , 0,0 , π΅14 , 0,0,
π΅15 , 0,0, π΅16 , 0,0, π΅17 , 0,0, π΅18 , 0,0 ]
CON
1 π¦
π§
π¦π§
π΅11 = β +
+ β
π ππ ππ πππ
1 π¦
π§
π¦π§
π΅12 = β
β +
π ππ ππ πππ
β¦
5. Legame sforzi-deformazioni
β’
Eβ IL CLASSICO LEGAME COSTITUTIVO ELASTICO, ESPRESSO DALLA
MATRICE 6X6 [D]:
π·1
π·2
π·
π· = 2
0
0
0
π·2
π·1
π·2
0
0
0
1βπ
π·1 = πΈ
(1 + π) 1 β 2π
π·2
π·2
π·1
0
0
0
0
0
0
πΊ
0
0
0
0
0
0
πΊ
0
0
0
0
0
0
πΊ
π
π·2 = πΈ
(1 + π) 1 β 2π
πΈ
πΊ=
2(1 + π)
6. Matrice di rigidezza dellβelemento
β’ DAL PLV:
πΏ π
π
πΉ =πΏ π
π
πΎ π =
πΏ π
π
π ππ
β’ ESSENDO:
πΏ π
π
=πΏ π
π
π΅
π
π = π· π = π· π΅ {π}
β’ SI OTTIENE:
πΏ π
π
πΎ π =πΏ π
π
π΅
π
π· π΅ ππ₯ ππ¦ ππ§ {π}
6. Matrice di rigidezza dellβelemento
β’ SI OTTIENE, SEMPLIFICANDO πΏ π
RIGIDEZZA 24X24:
πΎ =
π΅
π
πE
π , LA MATRICE DI
π· π΅ ππ₯ ππ¦ ππ§
β’ PER LβINTEGRAZIONE NUMERICA ESISTONO SVARIATI
ALGORITMI, QUALI LβINTEGRAZIONE SUI NODI DI GAUSS
β’ SUL SINGOLO ELEMENTO È DUNQUE POSSIBILE ESPRIMERE IL
LEGAME DIRETTO FRA FORZE NODALI E SPOSTAMENTI NODALI:
πΉ = πΎ π
6. Matrice di rigidezza dellβelemento
β’ RISOLUZIONE DEL MODELLO GLOBALE:
β’
β’
β’
VETTORE
πΉ
CONTENENTE TUTTI I CARICHI NODALI
MATRICE DI RIGIDEZZA GLOBALE πΎ , OTTENUTA
ASSEMBLANDO LE πΎ DEI SINGOLI ELEMENTI
GLI SPOSTAMENTI DEL MODELLO GLOBALE SI OTTENGONO DA
π = πΎ
β1
πΉ
β’
LβINVERSIONE DIRETTA DI πΎ
β’
DISPENDIOSA
SI UTILIZZANO DI NORMA ALGORITMI PER LA RISOLUZIONE DEI
SISTEMI LINEARI, QUALI JACOBI E GAUSS-SEIDEL
È ESTREMAMENTE
7. Legame sforzi β spostamenti nodali
β’ GLI SFORZI POSSONO ESSERE RICOSTRUITI, UNA VOLTA
RISOLTO IL SISTEMA AGLI EF, DA:
π = π· π = π· π΅ π = π» {π}
β’ OSSERVAZIONE:
π , π΅ E π» SONO FUNZIONE DI (x, y, z)
Elemento tetraedrico a 4 nodi - lineare
β’ DESCRITTO DA 4 NODI:
π§
π€4
4
π£4
π’4
π€3
π¦
π£3
π€1 π£1
π’3
1
π’1
π€2
2
3
π£2
π’2
π₯
Elemento tetraedrico a 4 nodi - lineare
β’ APPROSSIMAZIONE POLINOMIALE:
π’ = πΌ1 + πΌ2 π₯ + πΌ3 π¦ + πΌ4 π§
π£ = πΌ5 + πΌ6 π₯ + πΌ7 π¦ + πΌ8 π§
π€ = πΌ9 + πΌ10 π₯ + πΌ11 π¦ + πΌ12 π§
12 COEFFICIENTI β 12 C.C. β 12 VALORI DI u, v, w NEI NODI
πΎ SARÀ UNA 12X12
Elemento tetraedrico a 4 nodi - lineare
β’
LA PROCEDURA È LA MEDESIMA VISTA PER GLI ELEMENTI
ESAEDRICI:
1. DESCRIZIONE DELLβELEMENTO
2. APPROSSIMAZIONE DEGLI SPOSTAMENTI
3. FUNZIONI DI FORMA [π]
4. LEGAME DEFORMAZIONI β SPOSTAMENTI [π΅]
5. LEGAME SFORZI - DEFORMAZIONI [π·]
6. MATRICE DI RIGIDEZZA DELLβELEMENTO [πΎ]
7. LEGAME SFORZI β SPOSTAMENTI NODALI [π»]
Bibliografia
β’ LA PROCEDURA È DESCRITTA IN DETTAGLIO IN:
G. BELINGARDI β IL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI NELLA
PROGETTAZIONE MECCANICA β LEVROTTO & BELLA