Transcript compito ga 21-12-15-A

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Scuola Politecnica e delle Scienze di Base - Classe di Ingegneria Industriale
Esame di Geometria ed Algebra - 21.12.2015-A
prof. M.R. Celentani, L.A. Lomonaco
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1. Sia 't : R3 ! R3 un’applicazione lineare così de…nita:
't (e1 ) = te1
e2 + 8e3 ; '(e2 ) = 5e2 ; '(e3 ) = 2e1 + e2
te3
i) scrivere la matrice A't associata a 't ;
ii) determinare i valori di t per cui Im't = R3 ;
iii) determinare, nel caso in cui t = 0, '0 1 ;
iv) Studiare la diagonalizzabilità di 't al variare di t;
v) nel caso in cui t = 3 determinare gli autovalori con la loro molteplicità algebrica e geometrica e un
autospazio; '3 è diagonalizzabile?
2. Considerato il sistema ordinato di polinomi
Sh = f (x) = 1 + x2 ; g (x) = x + x2 ; lh (x) = 1 + x + hx2 ,
i) per quali valori di h determina una base per R2 [x] = n(x) = a + bx + cx2 : a; b; c 2 R ?
ii) considerato il polinomio k(x) = x + 5x2 , determinare il suo vettore coordinato rispetto alla base
S0 = f (x) = 1 + x2 ; g (x) = x + x2 ; l0 (x) = 1 + x
3. i) Discutere, al variare di k, quando il sistema
k
ii) Cosiderata la retta r0 :
:
k
rappresenta il vuoto, una retta o un piano:
x + 4y z = 0
3x + 12y + (2k + 1)z 16 = 0
x + 4y z = 0
determinare la comune perpendicolare tra r0 e
3x + 12y + z 16 = 0
la retta
8
< x=1 t
y=t
s:
t2R
:
z=5 t
4. Si consideri la conica
h
de…nita in coordinate omogenee mediante l’equazione
fh (x; x) = 4x21 + 9x22 + 2hx1 x2 + 2x1 x3 + 4x2 x3 = 0
i) classi…care h al variare di h;
ii) in relazione al valore positivo per cui
iii) posto h = 2 si determini il centro.
h
risulta essere una parabola se ne determini l’asse;