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ESERCIZI DI METODI QUANTITATIVI PER L’ECONOMIA
DIP. DI ECONOMIA E MANAGEMENT DI FERRARA
A.A. 2016/2017
Esercizi 2: algebra lineare
Determinanti e minori
Esercizio 1. Date le matrici
A=
B=
2 9
3 14
2 −2
−3 1
1 −3 6
C= 7 0 3
4 5 2
si calcolino i loro determinanti. Verificare poi, in questo caso particolare, che det(AB) =
detA · detB.
Soluzione. I determinanti delle 3 matrici sono nell’ordine 1, −4, 201. La matrice
AB é data da
AB=
−23 5
−36 8
e il suo determinante é appunto −4.
1
2
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Esercizio 2. Date le matrici
A=
1 7
5 10
−1 4 1
B= 1 −5 3
3
2 0
si calcolino i loro minori di NW.
Soluzione. Si ha che N W (A) = {1, −25}, N W (B) = {−1, 1, 59}.
Esercizio 3. Data la matrice
α−1
2
3
α−1 9
A= 0
0
1
3
trovare per quali valori di α ∈ R essa è singolare.
Soluzione. Per α = 1, 4.
Esercizio 4. Data la matrice
2 −5 4
A= 0 7 0
2 1 9
calcolare i suoi minori principali.
Soluzione. Si ha che M P (A) = {2, 7, 9, 14, 10, 63, 70}.
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Esercizio 5. Data la matrice
0 2 1
A= 1 0 2
0 1 −1
calcolare il suo determinante e il minore complementare dell’elemento a23 .
Soluzione. Il suo determinante é 3 e il minore richiesto é zero.
Esercizio 6. Data la matrice
1 2 3
A= 3 4 5
3 5 6
calcolare i suoi minori di NW e il minore complementare dell’elemento a21 .
Soluzione. Si ha che N W (A) = {1, −2, 2} e il minore complementare dell’elemento
a21 é −3.
Esercizio 7. Data la matrice
α
1
0
0
A= 2 α − 1
1
0
3−α
trovare per quali valori di α ∈ R essa presenta tutti i minori di NW strettamente
positivi. Verificare poi che, per questi stessi valori di α, anche tutti i minori principali
di A sono strettamente positivi.
Soluzione. Si ha che N W (A) = {α, α2 − α − 2, (3 − α) · (α2 − α − 2)}. Si puó
dedurre facilmente che la contemporanea stretta positivitá di tutti e 3 i minori di
NW di A puó sussistere se e solo se 2 < α < 3. Essendo i minori principali distinti
da quelli di NW dati da {α − 1, 3 − α, α · (3 − α), (α − 1) · (3 − α)}, è chiaro come
anche questi siano tutti strettamente positivi per α ∈ ]2, 3[.
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Esercizio 8. Data la matrice
1 0
2 1
A=
3 1
1 −1
1
0
1
4
0
0
2
0
trovare il determinante.
Soluzione. Il determinante di A é −2.
Forme quadratiche
Esercizio 9. Classificare le seguenti matrici simmetriche:
A=
2 −1
−1 1
1 2 0
B= 2 4 5
0 5 6
−1 1
0
C= 1 −1 0
0
0 −2
1 2
0
D= 2 5 −2
0 −2 4
0 2 3
E= 2 3 6
3 6 8
Soluzione. A def. pos. ; B ind. ; C semi def. neg. ; D semi def. pos.;
E indefinita.
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At =
5
t
−2
−2 3 + t
Esercizio 10. Classificare la seguente matrice simmetrica al variare di t ∈ R:
Soluzione. Def. neg. per t < −4; semidef. neg. per t = −4; indefinita per t ∈
] − 4, 1[; semidef. pos. per t = 1; def. pos. per t > 1.