Transcript Slide-9-Integrali Indefiniti

Matematica per l’Economia
Gruppo L-Z
Dipartimento di Economia
Universitá degli Studi di Foggia
INTEGRALI INDEFINITI
Giovanni Villani
Integrali Indefiniti
Definizione 1 Sia F : X → R, X intervallo, F
continua e derivabile in X. Si dice che F é una
primitiva della funzione f se:
F 0(x) = f (x),
∀x ∈ X
Teorema 1 Sia F una primitiva di f : X → R.
La funzione G(x) = F (x) + c é una primitiva
della funzione f, ∀ c ∈ R.
Teorema 2 Siano F1 e F2 due primitive di f .
Allora:
F1(x) − F2(x) = c ∈ R,
∀x ∈ R.
1
Definizione 2 Sia f : X → R e supponiamo
che f ammette almeno una primitiva. Si definisce integrale indefinito di f , l’insieme delle
primitive della funzione f .
{F : X → R t.c. F primitiva di f }
Questo insieme é dato dalle infinite primitive
della forma F = F0 + c e si scrive:
Z
f (x) dx = F0(x) + c
Proprietá di linearitá dell’integrale indefinito
Siano f, g : X → R, dotate di primitiva, a, b ∈ R:
1)
Z
Z
2)
Z
[f (x) + g(x)] dx =
af (x) dx = a
Z
Z
f (x) +
Z
g(x) dx
f (x) dx
3) [af (x)+bg(x)] dx = a
Z
f (x) dx+b
Z
g(x) dx
Integrali Indefiniti Notevoli Immediati.
1)
2)
3)
4)
Z
Z
k dx = kx + c,
xp+1
p
x dx =
+c
6)
∀ p 6= −1
p+1
Z
1
dx = ln |x| + c
x
Z
ax
x
+c
a dx =
ln a
4 bis)
5)
k ∈ R
Z
Z
Z
∀ a > 0, a 6= 1
ex dx = ex + c
cos x dx = sin x + c
sin x dx = − cos x + c
1
7)
dx = tan x + c
cos2 x
Z
1
8) − 2 dx = cot x + c
sin x
Z
9)
Z
10)
11)
12)
1
dx = arctan x + c
2
1+x
Z
1
−
dx = arccotg x + c
1 + x2
1
Z
q
Z
dx = arcsin x + c
1 − x2
1
−q
1 − x2
dx = arccos x + c
Integrali Indefiniti quasi immediati.
1)
2)
3)
4)
Z
f 0(x) dx = f (x) + c
Z
f (x)p+1
p
0
f (x) f (x) dx =
+c
p+1
Z
f 0(x)
dx = ln |f (x)| + c
f (x)
Z
af (x)
f
(x)
0
a
f (x) dx =
+c
ln a
4 bis)
5)
6)
7)
8)
Z
ef (x)f 0(x) dx = ef (x) + c
Z
cos f (x)f 0(x) dx = sin f (x) + c
Z
sin f (x)f 0(x) dx = − cos f (x) + c
Z
f 0(x)
dx = tan f (x) + c
2
cos f (x)
Z
−f 0(x)
dx = cot f (x) + c
2
sin f (x)
9)
Z
10)
11)
12)
f 0(x)
dx = arctan f (x) + c
1 + f 2(x)
Z
−f 0(x)
dx = arccotg f (x) + c
2
1 + f (x)
f 0(x)
Z
q
1 − [f (x)]2
−f 0(x)
Z
q
1 − [f (x)]2
dx = arcsin f (x) + c
dx = arccos f (x) + c
INTEGRAZIONE INDEFINITA DI FUNZIONI RAZIONALI INTERE O FRATTE.
Integrale di un Polinomio
n
X
Sia P (x) =
ak xn−k un polinomio. Sfruttan-
k=0
do le proprietà di linearitá dell’integrale risulta
che:
Z
Z
Z
P (x) dx =
n
X
ak xn−k dx =
k=0
n
X
ak
xn−k dx =
k=0
n
X
xn−k+1
+c
ak
n−k+1
k=0
Integrale di un rapporto tra Polinomi: casi
particolari.
1. I =
Z
1
1
dx =
ax + b
a
1
ln |ax + b| + c
a
Z
a
dx =
ax + b
2. I =
3.
Z
1
dx =
2
2
x +a
Z
1
x2
! dx =
a2 1 + 2
a
1
a
1
a
Z
Z
cx + d
dx
ax + b
1
x
dx
=
arctan
+c
2
a
a
x
1+ 2
a
Quando il polinomio posto al numeratore
risulta essere di grado maggiore o uguale
del polinomio posto al denominatore, occorre operare la divisione tra i polinomi. Se
Q è il quoziente e R il resto si ha:
4.
Z
cx + d
dx =
ax + b
Z
1
dx
2
ax + bx + c
R
Q+
ax + b
Z dx
Bisogna distinguere tre casi in base al segno del ∆.
(a) ∆ < 0.
−∆
b
e β2 =
si può scri2
2a
4a
vere il polinomio come:
Ponendo α =
c
b
=
ax2 + bx + c = a x2 + x +
a
!a
2
2
b
b
b
c
2
a x + x+ 2 − 2 +
=
a
4a
4a
a
#
"
2
−∆
b
+
a x+
2a
4a2
Quindi avremo:
Z
1
dx =
2
2]
a[(x
+
α)
+
β
Z
1
1
1

!2 dx =
2
a β
x+α 
1 +
β
1
aβ
1
β
Z
1+
1
x+α
arctan
=
!2 dx =
aβ
β
x+α
β
2
2ax + b
√
arctan √
+c
−∆
−∆
(b) ∆ = 0.
Z
1
a
1
dx =
ax2 + bx + c
Z x+
b −2
2a
1
Z
a x+
2 dx =
b
2a 1
b −1
dx = − x +
+c
a
2a
(c) ∆ > 0. In questo caso:
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
dove x1, x2 sono le radici del polinomio.
Quindi:
1
1
=
=
ax2 + bx + c
a[(x!− x1)(x − x2)]
1
A1
A2
=
+
a x − x1
x − x2
!
1 (A1 + A2)x − A1x2 − A2x1
a
(x − x1)(x − x2)
Applicando il principio di identitá a dei
polinomi, si determinano le costanti A1
e A2 che rendono vera l’uguaglianza, ossia:


 A1 + A 2 = 0


−A1x2 − A2x1 = 1
Avremo quindi:
Z
Z
1
1
A1
A2
dx
=
+
dx
2
ax + bx + c
a (x − x1) (x − x2)
1
= (A1 ln |x − x1| + A2 ln |x − x2|) + c
a
Integrazione per Parti
Definizione 3 Siano f, g : X → R continue
e derivabili. Supponiamo che f 0g e g 0f siano
dotate di primitiva, allora:
Z
f 0(x) g(x) dx = f (x) g(x) −
Z
f (x) g 0(x) dx
Integrazione per Sostituzione
Definizione 4 Siano:
f : X → R, X intervallo, f continua;
g : I → X, I intervallo, g biunivoca su X, g
derivabile con la sua inversa.
Allora:
Z
f (x) dx =
Z
f ◦ g(t) · g 0(t) dt
t=g −1 (x)