Transcript lec12.ppt
גלגול ,פיתול ותנע זוויתי בשנת 1897ביצע לוליין אירופאי בפעם ראשונה סלטה משולשת ,מנדנדה לידי שותפו .במשך שנים ניסו לוליינים לבצע סלטה מרובעת ,ורק בשנת 1982הצליח מיגל וזקז מקרקס Barnum & Bailey להתגלגל ארבע פעמים באוויר לידי שותפו -ושניהם נדהמו. מדוע כל כך קשה לבצע סלטה מרובעת ,ומהו הסוד הפיסיקלי לביצוע? גלגול כל גלגול הוא שילוב של תנועה קווית של מרכז המסה ,וסיבוב סביב מרכז המסה. נקודה על היקף גלגל מתגלגל מציירת עקומה הנקראת ציקלואידה. x v0 t Rsin(ωs אם רדיוס הגלגל הוא ,Rמהירות מרכז המסה שלו היא v0 ומהירות הסיבוב הזוויתית שלו היא ,אזי העתק הנקודה הינו y R (1 cos ωt) x v0 t Rsin ωt גלגול הוא צרוף של סיבוב והחלקה. גלגול = החלקה + סיבוב אפשר להיווכח שנקודת המגע Pבין הגלגל והמשטח נמצאת במנוחה רגעית ואילו הנקודה העליונה Tנעה במהירות גדולה פי 2ממהירות מרכז המסה. ולכן תצלום של תנועת גלגל אופניים נראה כך: נקודת המגע של הגלגל עם המשטח נמצאת במנוחה רגעית .כך שיש נקודת מבט משלימה :הגלגול מסתובב סביב ציר העובר בנקודת המגע. מהירות מרכז המסה vcm= R מהירות נקודה בקצה העליון (2R) = 2vcm =v אנרגיה קינטית של גלגול ביחס לנקודה ,Pהאנרגיה הקינטית של הגלגל היא 1 2 K IPω 2 כאשר IPהוא מומנט ההתמד ביחס לנקודה .Pולפי משפט הצירים הקבילים, 2 I P Icm MR 1 2 1 K Icmω MR 2ω2 2 2 אנרגיה קינטית של תנועת האנרגיה הקינטית של מרכז 1 1 2 K Icmω2 Mvcmסיבוב סביב מרכז המסה המסה 2 2 כוח חיכוך על גלגל כדי שגלגל יגדיל את מהירות סיבובו חייב לפעול עליו כוח .רוכב האופניים מסובב את הדוושות כדי להאיץ ,אבל אם הגלגל יסתובב על קרח ,הסיבוב לא יאיץ את האופניים. מסקנה :דרוש כוח חיכוך בין הגלגל למשטח! כיוונו חייב להיות בכיוון תאוצת מרכז המסה. כיון שהנקודה Pנמצאת במנוחה רגעית, החיכוך הוא כוח חיכוך סטטי. גליל שמסתו Mורדיוסו Rמתגלגל במורד מישור משופע בזווית . מהי תאוצת מרכז המסה? (אילו הגוף היה מחליק ולא מתגלגל תאוצתו הייתה acm = g .)sin הכוחות הפועלים הם משקל הגוף ,הכוח הנורמלי בין הגלגל והמישור וכוח החיכוך: fs Mg sinθ Ma cm הפיתול לגבי מרכז המסה: Rf s Icmα acmשלילית (שמאלה) ואילו התאוצה הזוויתית היא חיובית (גלגול נגד כיוון השעון) .לכן מציבים במקום את : – acm / R a cm R2 fs Icm ופותרים gsinθ 2 1 I cm MR a cm ניתן לחשב מה צריך להיות מקדם החיכוך כדי שהגוף יתגלגל ללא החלקה: a cm μ N μ Mg cosθ s s 2 R μs tan θ 1 MR 2 /Icm fs Icm שתי דיסקות זהות A ,ו ,B -מתגלגלות על הרצפה באותה מהירות. דיסקה Aמתחילה לעלות על מישור משופע ומגיעה לגובה .h דיסקה Bעולה על אותו מישור משופע אך ללא חיכוך .האם הגובה אליו מגיעה Bהוא גדול ,קטן או שווה ל?h- פיתול (ביקור שני) הגדרנו פיתול עבור גוף קשיח שיכול להסתובב סביב ציר נתון. נרחיב את ההגדרה: הפיתול הפועל על חלקיק בנקודה rביחס לנקודת ייחוס מסוימת הוא τ rF O F כאשר על החלקיק פועל כוח .F r תנע זוויתי לכל גוף יכול להיות תנע זוויתי ,גם גוף הנע בקו ישר במהירות קבועה. בנקודה rנמצא גוף שיש לו מסה mותנע .p התנע הזוויתי מוגדר )l r p m( r v l O חלקיק בעל מסה mנע בקו ישר במהירות .v התנע הזוויתי של החלקיק ביחס לנקודה O הוא . l=mrv sin p r r sin v r m o l = rmv sin = rp sin O O r p r p p l = p(r sin ) = pr l = r(p sin) = rp r חמישה חלקיקים זהים נעים על מסלולים לפי שני השרטוטים .לכל חלקיק אותו גודל מהירות .למעגל החיצוני רדיוס כפול הרדיוס של הפנימי. סווג את החלקיקים לפי סדר יורד של גודל התנע הזוויתי שלהם סביב .O למי מהם תנע זוויתי שלילי? של ניוטון בצורה זוויתיתII חוק l mr v dl d v dr m(r v) dt dt dt .המכפלה הוקטורית של וקטורים זהים מתאפסת dl m r a r ma r F net dt dp Fnet dt -בהשוואה ל dl τ net dt נגדיר אל Lכסכום כל הטנעים הזוויתיים ואז dl d L dt dt τnet או אם נפרש את netכסכום כל הפיתולים ,אזי dL τ net dt כאשר פיתולים פנימיים מתקזזים. תנע זוויתי של גוף קשיח סביב ציר קבוע z גוף בעל מסה Mמסתובב סביב ציר קבוע במהירות זוויתית . כדי לחשב את התנע הזוויתי נחלק את הגוץ לחלקיקים בעלי מסות m iשכל אחד מהם נע סביב ציר zבמסלול מעגלי שרדיוסו הוא .ri ri mi pi i ri y התנע הזוויתי של כל החלקיקים הינו mi r2i Iω mi (ωri )ri ω i i x mi vi ri liz i i Lz נתונים כדור חישוק ודיסקה בעלי אותו רדיוס ואותה מסה .כל אחד מסובב סביב צירו בגלל חבל הכרוך סביבו .החבל יוצר אותו כוח משיקי Fהפועל על כולם לאותו פרק זמן. F F כדור חישוק דרג את הגופים א .לפי התנע הזוויתי סביב הציר המרכזי. ב .המהירות הזוויתית שלהם. F דיסקה F דיסקה 1 I mR 2 2 F F חישוק כדור I mR 2 2 I mR 2 5 חוק שימור התנע הזוויתי בנוסף לחוק שימור האנרגיה וחוק שימור התנע קיים גם חוק שימור התנע הזוויתי. τ dL dt המתנדב המסתובב ואם לא פועל פיתול על הגוף Ii ωi If ωf dL 0 dt Ii ωf ωi If כשקופצת למים מבצעת סיבוב וחצי ,מרכז המסה שלה נע בתנועה פרבולית .בנוסף יש לה תנע זוויתי סביב מרכז המסה .התנע הזוויתי נשמר כיון שאין שום פיתול עליה. ע"י קיפול הרגליים והידיים וקירובם למרכז המסה ,מקטינה הקופצת את מומנט ההתמד ולכן מגדילה את מהירות סיבובה סביב מרכז המסה. לפני הכניסה למים ,היא מתיישרת מחדש; דבר זה מאפשר לה כניסה חלקה למים. בציור ספינת חלל יחד עם גלגל תנופה .כאשר ספינת החלל וגם גלגל התנופה הם במנוחה ,התנע הזוויתי הוא אפס. כאשר גלגל התנופה מסובב שמאלה ,הספינה פונה בכיוון הפוך כך שהתנע הזוויתי הכללי נשאר אפס. ניתן לכוון ספינת חלל כך ,אבל Voyager 2שנשלחה לאורנוס נכנסה לסיבוב לא רצוי כל פעם שהופעל רשמקול .צוות הקרקע נאלף להפעיל את מנועי הדחף לקזז כל הפעלה של הרשמקול. כוכב מתכווץ כשליבה של כוכב מתחילה לכלות את חומר הדלק הגרעיני ,הכוכב מתחיל להתמוטט פנימה .ההתמוטטות יכולה לכווץ את הרדיוס מסדר גודל של רדיוס השמש עד לכמה קילומטרים .הכוכב הופך לכוכב נויטרונים בעל צפיפות עצומה של גז של נויטרונים. בתהליך התמוטטות זה נשמר התנע הזוויתי .מומנט ההתמד קטן בכמות עצומה והכוכב מסתובב במהירות עצומה 600 ,עד 800סיבובים לשניה. להשוואה ,סיבוב השמש סביב צירה הוא סיבוב אחד לחודש. סטודנט יושב במנוחה על שרפרף היכול להסתובב על צירו .הסטודנט מחזיק בידו גלגל אופניים אופקי בעל מומנט התמד Iwh סביב מרכזו .לגלגל מהירות זוויתית .wh התנע הזוויתי של הגלגל Lwhמכוון כלפי מעלה. הסטודנט הופך את הגלגל .התנע הזוויתי הוא כעת .-Lwhההיפוך גורם לסטודנט ,לשרפרף ולגלגל להסתובב ביחד סביב ציר הסיבוב של השרפרף עם מומנט התמד .Ibמהי מהירות הסיבוב הזוויתית של השרפרף ובאיזה כיוון הוא מסתובב? שימור התנע הזוויתי Lb Lwh -Lwh = + L wh L wh L b L b 2L wh I wh b 2 wh Ib ארבעה מוטות שמסת כל אחד Mואורכו d מחוברים לציר אנכי ומסתובבים סביבו בכיוון השעון במהירות זוויתית .i כדור בוץ שמסתו M / 3ומהירותו viנע במסלול שיוצר זווית בת 60ºלאחת הזרועות ונדבק לקצה הזרוע .מהי המהירות ציר סיבוב i כדור הזוויתית הסופית fלאחר ההתנגשות? אין שימור אנרגיה קינטית .אין שימור תנע קווי. 60º d ) לכן. (הכוח על הציר אינו יוצר פיתול.יש שימור של תנע זוויתי L ts,f L ball,f L ts,i L ball,i :Its יש לחשב את 2 1 d 1 2 I rod Md M Md 2 12 2 3 4 2 I ts 4I rod Md 3 4 M 4 2 M 2 2 Md d ωf Md ωi d v i cos 60 3 3 3 3 ωf (4Md 2 ωi Mdvi cos 60 )/3 5Md 2 /3 .( i< 0 ) יכולה להיות חיובית או שליליתf שחזור של תאונה בה נפגעת מכונית נייחת מהצד :נתיחס למכונית כמוט שמסתו Mואורכו lבמנוחה על משטח חסר חיכוך .מתקף Ft פועל במאונך למכונית במרחק l/3 מקצה המכונית .מה תהיה תנועת המכונית? תנועת המכונית מפורקת לתנועת מרכז המסה והסיבוב סביב מרכז המסה. תנועת מרכז המסה: Ft vf M סיבוב סביב מרכז המסה: l l ΔL Lf Iωf Ft (Ft )l/6 2 3 Ml Ft ωf l 12 6 2 2v f f l המכונית נעה ימינה במהירות vfומסתובבת סביב מרכז המסה במהירות זוויתית .2vf/l פיתול על גלגל גלגל בעל מומנט התמד Iמסתובב במהירות זוויתית ωבקצה ציר שאורכו .lקצהו השני של הציר נשען על תמיכה. בזמן t = 0התנע הזוויתי L = Iωהוא לאורך ציר .xכוח הכובד Mgפועל במרכז המסה. הפיתול על הגלגל כתוצאה מכוח הכובד הוא ותוספת התנע הזוויתי היא בכיוון ציר .y Mgl N התנע הזוויתי של הגלגל אחרי פרק זמן tיהיה ̂L Iω î Mg l t j אם tהוא קצר ,זווית Mglt הנקיפה תהיה I מהירות הסיבוב של הגלגל סביב צירו נשארת קבועה. המהירות הזוויתית של הנקיפה: Δθ Mgl ωP Δt Iω חלק מתנועת הסביבון מתואר ע"י תופעת הנקיפה.