Transcript lec4.ppt
חוקי ניוטון
חוקי ניוטון
חוק – Iגוף יתמיד במצבי התנועה שלו ,הן של
מנוחה והן של תנועה על קו ישר במהירות קבועה,
כל עוד שקול הכוחות החיצוניים שפועלים עליו הנו
אפס.
החוק הראשון של ניוטון כולל אימפליקציות על
הסימטרייה היסודית של היקום והיא שמצב תנועה
על קו ישר ובמהירות קבועה הנו "טבעי" באותה
מידה כפי שמצב מנוחה הנו טבעי.
אם גוף נמצא במנוחה במערכת
ייחוס אחת הוא יראה בתנועה לצופה
במערכת ייחוס שניה הנעה ביחס
לראשונה במהירות קבועה לאורך קו
ישר; לא ניתן לקבוע איזו מבין
המערכות היא "מיוחדת" ,כך שכל
מערכות הייחוס שנמצאות בתנועה
יחסית ובמהירות קבועה האחת
ביחס לשניה הן שוות ערך
(אקויולנטיות).
B
O
vB 0
B
O
vB 0
B
O`
v'B 0
במערכת Oהחלקיק Bנע
במהירות קבועה.
B
O
במערכת ’ Oשנעה ימינה
ביחס למערכת ,Oחלקיק
במנוחה ב O -יראה בתנועה
שמאלה ביחס לצופה ב.O' -
B
`O
חוקי ניוטון
תנועה במהירות קצובה
במעגל אפשרית אך ורק אם
כוח
פועל
הגוף
על
אל
(פונה
סנטריפוגלי
המרכז) .במידה ועל הגוף
לא יפעל כוח המתיחות T
ינוע הגוף במהירות קבועה
בכיוון המשיק.
אם החוט נקרע ,המסה M
תנוע על קו ישר באותו כיוון
תנועתו בזמן קריעת החוט.
M
v
T
C
Mv 2
=T
R
חוקי ניוטון
חוק - IIשקול הכוחות החיצוניים שפועלים על הגוץ
שווה למכפלת מסת הגוף בתאוצתו.
ΣFext = ma
{תאוצת הגוף} {מסת הגוף} = {שקול הכוחות החיצוניים}
בניסוח זה החוק תקף בתופעות פיסיקליות רבות ,אבל
הוא אינו עיקרון יסוד כמו חוק שימור התנע.
תנאים מגבילים
(1לא ניתן להשתמש בחוק ישירות במצבים שבהם המסה
משתנה ,בשל איבוד חומר ,או בגבול היחסותי
(רלטיביסטי) כאשר הגוף נע במהירויות גבוהות (קרובות
למהירות האור).
(2החוק אינו תקף למערכות אטומיות ,מולקולאריות ,או
גרעיניות .כאשר מדובר במערכות קטנות יש להשתמש
במכאניקה קוונטית.
)3החוק השני של ניוטון
מאפשר לנו להשוות
תוצאות הפעלת אותו כוח
על שני גופים שונים:
F = mA
F = Ma
a
m
a
=
=
M
A
A
חוקי ניוטון
החוק השני מאפשר חישוב מסלול
כפונקציה של המקום והזמן
התנועה של גוף אם ידוע שקול
הכוחות החיצוניים שפועלים עליו.,
משוואה דיפרנציאלית שמקשרת
בין הכוח לתאוצה .והיא שקולה
לשלוש משוואות סקלאריות:
פיתרון המשוואה כולל את
כל האינפורמציה הדרושה לתיאור
מצב התנועה של הגוף.
d 2r
F r,t = ma = m 2
dt
d2x
Fx r,t = m 2
dt
2
d y
Fy r,t = m 2
dt
d2z
Fz r,t = m 2
dt
x t ,y t ,z t
r t
חוקי ניוטון
חוק -IIIלכל פעולה יש תגובה השווה לה בגודלה והפוכה
בכיוונה.
במילים אחרות :כל הכוחות ביקום מופיעים בזוגות כוחות
שעוצמותיהם שוות וכיווניהם הפוכים .אין כוחות מבודדים
אם הסביבה מפעילה על גוף כוח חיצוני Fextיפעיל הגוף
כוח - Fextעל סביבתו.
אם על גוף אחד במערכת של גופים פועל כוח פנימי Fint
יפעיל הגוף על שאר חלקי המערכת כוח . - Fint
מערכת כלשהי אינה יכולה להתניע עצמה אר ורק ע"י
הכוחות הפנימיים שבה.
החוק השלילי-דוגמא
משקלי הגופים wו W -מיצגים את
כוח הכבידה שמפעיל הארץ על
הגופים .הבלוקים מפעילים בתגובה
כוח על הארץ השווה ל -w -ול.-W -
המסה mמפעילה כוח כלפי מטה על
Mובתגובה Mמפעילה כוח על m
כלפי מעלה.
המסות מפעילות כוח כולל של
W+wכלפי מטה על המאזניים
והמאזניים מפעילים כוח W+w
כלפי מעלה על שתי המסות.
m
M
מאזני קפיץ
החוק השלילי-דוגמא
זוגות של כוחות מאוירים בצבע זהה.
m
mg
w=mg
m
M
M
Mg
W=Mg
Mg
מאזני קפיץ
Mg
mg
הערות:
חוק הפעולה והתגובה הנו מסקנה
מתחייבת מחוק שימור התנע
במערכת מבודדת של שני גופים
התנע הכולל הנו קבוע
P = p1 +p 2 = const.
Δ p1 +p 2 = 0
Δp1 = -Δp 2
p1התנע שמוסר 2ל – p1 p 2 1 :1
p 2התנע שמוסר 1ל – p 2 p 1 2 :2
נחלק ב – Δt -זמן האינטראקציה
p1 p
2 1
t
t
p 2 p
1 2
t
t
בגבול Δt 0ונשתמש בהגדרת
הכוח ונקבל:
dp 2
F 1 2
dt
dp1
F 2 1
dt
F 2 1 F 1 2
השוויון מתקיים בו זמנית :הכוח
אשר בו הגוף השני פועל על הגוף
הראשון שווה להיפוך הכוח אשר בו
הגוף הראשון פועל על הגוף השני.
נהוג לקרוא ל ( F)12ולF)21( -
"פעולה" ו"תגובה".
נדגיש שמדובר בפעולת גומלין הדדית בין שני הגופים.
לפיכך רצוי להשתמש על אינטראקציה בין שני
הגופים.קיימת סימטריה בין שני הגופים :אין כאן גוף
יוזם וגוף מגיב.
שני הכוחות ( F)12ול F)21( -וכל זוג "פעולה"
ו"תגובה" כנ"ל אינם מאזנים זה את זה כי הם פועלים
על גופים שונים.
p2 `
F 2 1
F 1 2
p1 `
מד -כוח
לא נוח תמיד לחזור ולמדוד
מסירת תנע .אם נתבונן
במערכת אשר בה קיימת
אינטראקציה בין שני גופים
המועברת באמצאות קפיץ,
נמצא כי כל עוד עיוות הקפיץ
קטן הוא בקירוב פרופורציוני
לכוח הפועל בין שני הגופים:
F21 = -F12
1
2
F = -kx
לפיכך אפשר לכייל קפיץ תקן,
(אפילו לא ליניארי) אם נסמן
לכל עיבור את הכוח המתאים
הנמדד (ע"י מדידת מעבר
תנע) ,באופן כזה בנינו מד-
כוח.
מכאן ואילך נניח שנוכל
למדוד כוחות באמצאות מד-
כוח.
תנועה בתווך מתנגד
נדון בתנועת גוף בתווך מתנגד.
זאת דוגמא ליישום משוואת
התנועה של ניוטון אשר אינה לגמרי
טריוויאלית אך עדיין פשוטה למדי.
לעיתים כוח החיכוך המתנגד
n v
Fres -kv
לתנועתו של גוף גדל עם מהירות
v
הגוף .דוגמאות ידועות לכך הן
התנגדות האוויר וצמיגות הנוזליםk = const > 0 , n N .
כללית כוח ההתנגדות ( Fres)Vהוא
פונקציה די מסובכת של מהירות
בתוך ,Vאך לעיתים קרובות אפשר
להסתפק בהנחה כי כוח ההתנגדות
פרופורציונאלי לחזקה של גודל
המהירות ומנוגד לו.
כאשר מהירות הגוף קטנה בגודלה
אפשר לקרב את כוח ההתנגדות ע"י:
כוח מסוג זה נקרא צמיגי .הקבוע k
(קבוע הצמיגות) תלוי בגודלו וצורתו
של הגוף ובתכונות הזורם.
נצמצם כאן את הדיון למקרה הפשוט
של נפילת גוף בתווך צמיגי ,כגון
אוויר ,מים או שמן.
Fres -kv
k = const > 0
dP
=ΣFi
dt
dr
v=
dt
dP
d
dd
d 2r
= mv = r m = m 2
dt
dt
dt dt
dt
d2r
m 2 = ΣFi
dt
kv
mg
:משוואת התנועה
וקטור המקום שלr יהי
: מהירות הגוףV ,הגוף
נפתור למקרה של נפילה
בהשפעת הכובד
כוח הכובד
Fg =mg
Ff =kv
כוח החיכוך
נצמצם את הדיון לנפילה
אנכית.
d 2r
dr
m 2 +k =mg
dt
dt
0,0,g
0,0,v
0,0,z
g
v
r
d2z
dz
m 2 +k
= mg
dt
dt
משוואה דיפרנציאלית מסדר
שני לא הומוגנית; אך רק
מסדר ראשון במהירות
+ kv = mg
k
v = g
m
k
v
m
הגוף משוחרר ממנוחה:
או
dv
m
dt
dv
+
dt
dv
=gdt
v t=o 0
ma t=0 = mg
a0 = g
m
מהירות גבולית כאשר v = g = τg a=0
k
מייצג זמן אופייני של הבעיה.
; kv = mg
m
=τ
k
1
g- v=x
τ
1
- dv = dx
τ
נציב במשוואת התנועה
1 dv
=x
τ dx
1
dt = -τdt
x
1
x dt = -τ dt
lnx = -τt + c
x t = x 0e
-t
τ
; x 0 x(t=0)
1
1
x0 = x(t=0) g - v t=0 g- 0 = g
τ
τ
כאשר
1
x t = g - v t = ge
τ
-t
τ
x,x0 נחזור ונציב את
בפיתרון שמצאנו
-t
τ
v t = τg 1 - e
-t
dv
1
a t =
= - τ -1g e τ
dt
-1
τ
a t = ge
התאוצה
-t
τ
או
dz
= vt
dt
;
dz = v t dt
dz = v t dt
-t
τ
z t - z 0 = v t dt = τ g 1 - e dt
t
t
0
0
-t
τ
= τg dt` - τg e dt`
t
-t`
-t
e τ
2
τ
= τgt - τg = τgt - τ g e - 1
-1
τ 0
המקום
ונחזור ונציב0=Z0 נבחר
m
τ
k
mg m
mg
zt =
t + 2 - 2 g e
k
k
k
k
t
mg
m
zt =
t + 1 - e m
k
k
2
k
t
m
v t = g 1 - e m
k
a t = ge
k
- t
m
2
k
- t
m
:ונקבל
:נסכם אפוא
ניסוח פרמטרי של הפתרון
dv
m
+ kv = mg
dt
מתוך הסתכלות במשוואה עצמה ניתן
0
ללמוד הרבה על הפיתרון.
אם הגוף מתחיל את נפילתו ממנוחה כי אז
ולכן:
או
v t=0
dv
m = mg
dt t=0
a0 = g
קצב השינוי במהירות בזמן t=0שווה
לתאוצה .gכוח העילוי עם זאת מתנגד
לתנועה .התאוצה תלך ותקטן עוד אשר
הכוח הצמיגי (כוח העילוי) ישתווה
למשקל הגוף .במצב הזה תאוצות הגוף
תהייה אפס והגוף יגיע למהירות גבולית
∞. v
את הערך של ∞ vנוכל לקבוע שוב מתוך
המשוואה ע"י שנציג את התנאי
במשוואת התנועה:
dv
0
dt
a
dv
m + kv = mg
dt
m 0 + kv = mg
נשים לב שלמקדם
יש מימדים של זמן
m
v = g
k
m
=τ
k
הגדלים
v
m
τ= =
g
k
ונוסיף להם גם את
a 0 , v , τ
הם גדלים אופינים של הבעיה הנדונה .זמן,
מקום ,מהירות ותאוצה נוכל למדוד
ביחידות של:
λ = v τ
λ , τ , v , a 0
אלה הן היחידות הטבעיות
של הבעיה שלנו .זה נותן ; t = τT
לנו אפשרות לכתוב את
המשוואה בצורה
; ζ = λz
פרמטרית שבה לנו
אפשרות לכתוב את
המשוואה בצורה
; v = vV
פרמטרית שבה אין
מימדים .נעשה זאת:
; a = gA
t
k
T
=
t
τ
m
ζ
k2
z
= 2 ζ
λ
mg
v
k
V
=
v
v
mg
a
=A
g
k
dv
v=g
+
m
dt
v
v d
v + k v v = g
t
m v
τd
τ
v
v dV
+ V=g
τ
τ dT
τ
dV
+ V g 1
dT
v
נציב את ההגדרות
האלה במשוואת
:התנועה
או
קיבלנו אפוא משוואה פרמטרית
מן הצורה
משוואה חסרת מימד -מספרית
אוניברסאלית .פיתרון פורמלי:
dV
+V=1
dT
T
v
dv
0 v-1 = - 0 dT
ln V - 1 ln 1 - V = - T
V = 1 - e -T
dZ
= 1 - e-T
dT
dZ = dT - e-T dT
Z = T + e-T - 1
dV
A=
= e-T
dT
:חישוב מקום ותאוצה
הצגה גרפית-מקום
z t T 1 e
z4
z
-T
3
2.5
2
1.5
z1=T;
1
0.5
z2=-1;
z3=exp(-T);
0
-0.5
-1
z4=z2+z3;
-1.5
-2
zt=z1+z2+z3;
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
הצגה גרפית-מהירות
v
2
v t 1 e
v1=1;
1.5
-T
1
0.5
0
-0.5
v2=-exp(-T);
-1
-1.5
-2
vt=v1+v2
t
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
התאוצה-הצגה גרפית
a
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
t
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
-T
a t =e
להצגה גרפית של הפיתרוןMATLAB פקודות
t=0:0.01:3;
m=10;
k=10;
tau=m/k;
g=10;
figure(1);
z1=((m*g)/k)*t;
z2=((m^2*g)/k^2);
z3=-z2*exp(-(t*k)/m);
zt=z1+z2+z3;
plot (t,z1);
hold on;
plot (t,z2,'red');
plot(t,z3,'black');
plot (t,zt,'green');
hold off;
figure(2);
v1=((m*g)/k);
v2=-((m*g)/k)*exp(-((t*k)/m));
vt=v1+v2;
plot(t,v1);
hold on;
plot(t,v2,'red');
plot(t,vt,'green');
hold off;
figure(3);
a=g*exp(-(t*k)/m);
plot (t,a,'green');
להצגה גרפית של הפיתרון הפרמטריMATLAB פקודות
T=0:0.01:3;
m=10;
k=10;
tau=m/k;
g=10;
figure(1);
z1=T;
z2=-1;
z3=exp(-T);
z4=z2+z3;
zt=z1+z2+z3;
v1=1;
v2=-exp(-T);
vt=v1+v2;
plot(t,v1);
hold on;
plot(t,v2,'red');
plot(t,vt,'green');
hold off;
figure(3);
a=exp(-T);
plot (t,a,'green');
plot (t,z1);
hold on;
plot (t,z2,'red');
plot(t,z3,'black');
plot (t,zt,'green');
plot (t,z4,'yellow');
hold off;
figure(2);
̂z
̂y
0
̂x
Pi Pf
נשים לב – U :מהירות הגז הנפלט
) – (v+dvמהירות הגז שנפלט
ביחס לצופה במערכת האינרציאלית )O(x,y,z
u v dv U
)Mv=-dMU+(M+dM)(v+dv
)Mv=-dM(U-v-dv)+M(v+dv
0=-dM(U-v-dv)+Mdv
המהירות היחסית של הפלטה ביחס
לחללית
וקטור המקום של הגז שנפלט ביחס לרקטה
rrel
וקטור המקום של הגז
שנפלט בזמן t
rg
rR
0
וקטור המקום של
הרקטה בזמן t
rrel rR rg
d rrel d rR d rg
dt
dt
dt
u v U
0 dMu Mdv
udM Mdv
dM
dv
u
M
dt
dt
הגדרה :כוח הדחף של רקטה מוגדר
כמכפלה -uRכאשר R=dM/dtקצב
הפליטה של המסה וקיים:
dv
uR M
dt
1
1`
כוח הדחף נובע מפליטה מהירה של חומר מן הרקטה,
ופעילותו על הרקטה אינה מחייבת תווך חומרי
להעברתו .שימור התנע מחייב שאם החומר נפלט
בכיוון אחורה ,הרכיב של תנע הרקטה בכיוון הקדמי
חייב לגדול.
מהירות הרקטה כפונקציה של מסתה
udM Mdv
dM
dv u
M
v
M
dM `
v dv` M u M `
0
i
v v0 u ln
M `
)1( נשתמש במשוואה
Mi
u ln
M
Mi
M
Mi
v M v0 u ln
M
v0 v Mi
- כאשר
רקטה שמשולחת אנכית מפני כדור הארץ
במקרה זה על הרקטה
פועל בנוסף לכח הדחף
גם כוח גרביטציה
dv
u dM
g
dt
M dt
תאוצה בשל
כוח הדחף
a
תאוצה גרביטציונית
u
dv dM gdt
M
v
M
` dM
` v dv` M u M ` gdt
0
i
g const
בקירוב
נקבל
Mi
v v0 u ln
gt
M