Transcript lec3.ppt
חוק ההתמדה של גלילאי
וחוק שימור התנע
1
עיקרון ההתמדה של גלילאי
חלקיק מבודד ינוע במהירות קבועה.
תוצאה מתחייבת משיקולי סימטריה בסיסיים:
המרחב הריק
(איזוטרופי).
2
הינו
אחיד
(הומוגני)
ושווה
כיוון
חלקיק רואה בכל נקודה של המרחב הריק סביבה זהה
ואין סיבה כלשהי שהוא ישנה את מצב תנועתו.
לכאורה עיקרון גלילאי נוגד את הניסיון מחיי היום יום.
חלקיק שנע על גב משטח מאט ,מהירותו קטנה וסופו
שהוא נעצר .אבל ,אם נעצר משמע שהוא אינו מבודד
מסביבתו.
עיקרון גלילאי
חלקיק שיורד במדרון מאיץ את מהירותו.
m
V
s
)t(s
חלקיק שעולה במדרון מאט את מהירותו.
m
V
s
3
)t(s
תנועה על משטח אופקי הינה מקרה ביניים בין שני
המקרים הקיצוניים הנ"ל וטבעי להניח שעל מישור
החלקיק ינוע במהירות קצובה.
m
V
s
)t(s
4
5
שינוי מצב התנועה של הגוף אפשרי אם ורק אם יש
אינטראקציה בין הגוף לבין סביבתו ,במילים אחרות רק
אם הסביבה מפעילה כוח על החלקיק .לעת עתה נסתפק
בהגדרה איכותית של הכוח כדחיפה או משיכה.
מה קובע את היכולת של הגוף להתמיד במצב תנועתו?
והאם ניתן לכמת תכונה זו? ננסה לענות על השאלות
האלה בצורה אמפירית.
שני הגופים שווים בצורתם ,עשויים מחומרים שונים
כדור עופרת
כדור פינג-פונג
קל לשנות את מצב התנועה של כדור הפינג-פונג,
קשה יותר לשנות את מצב התנועה של כדור העופרת.
מן הניסיון :ככל שגוף כבד יותר כך קשה יותר לשנות את מצב
תנועתו.
לגופים תכונה פנימית התמד (אינרציה) אשר מסיבות
היסטוריות נקרא לה מסה ואשר מבטאת את התנגדותם
לשינוי מצב תנועתם.
6
מהירותו של גוף קובעת את מידת התנגדותו לשינוי מצב
תנועתו .שני כדורי עופרת זהים ,שלאחד מהירות גדולה
ולשני מהירות קטנה ,הניסיון מראה שקשה יותר לשנות את
מצב תנועתו של הכדור שמהירותו גדולה יותר.
כך קליע שנורה מרובה נע במהירויות גבוהות ,)~1000(m/s
יכול לחדור דרך שמשה תוך כדי שינוי מזערי במהירותו.
לעומת זאת אם נזרוק קליע כזה במהירות קטנה הוא לא
יחדור את השמשה.
נסכם :כושרו של גוף להתמיד במצב תנועתו הוא פונקציה
של:
מסתו – תכונה פנימית )(m
מהירותו – תכונה חיצונית )(v
נקרא לפונקציה הזאת תנע ליניארי או תנע ונסמנה ע"י
)p = p(m,v
7
-pפונקציה וקטורית .לעת עתה נצמצם את הדיון לתנועה
חד-ממדית ונתעלם מן הכיוון.
התנגשות
בהתנגשות בין שני חלקיקים נבחין בין "קלע" ובין "מטרה".
לאחר ההתנגשות הגופים מתפזרים וממשיכים לנוע בנפרד.
התנגשויות בין שני גופים מאפשרות את כמות התנועה.
u1
v2
מטרה
8
v1
קלע
u2
כמות התנועה
במערכת מבודדת של שני גופים (אין השפעות חיצוניות)
המערכת כמכלול אחד אינה משנה מצב תנועתה .שינויים
במצב התנועה של הגופים נובעים מן האינטראקציה ביניהם.
u1
v2
מטרה
9
v1
קלע
u2
בהתנגשות בין שני גופים זהים בצורתם שעשויים מחומרים
שונים – גוף קל ישנה מצב תנועתו במידה גדולה יותר .גוף
כבד ישנה מצב תנועתו במידה מועטה.
מסה גדולה – " Mמנצחת" מסה קטנה .m
10
בהתנגשות בין שני גופים זהים (מסה ,צורה ,חומר)
גוף שמהירותו גדולה יותר " מנצח"
הגוף שמהירותו קטנה ישנה את מצב תנועתו במידה גדולה
יותר.
11
12
כמות התנועה (המשך)
התנגשות דביקה לאחר ההתנגשות הגופים נעים
ביחד כגוף אחד.
v1
v2
התנגשות חזיתית – הגופים נעים אחד לעומת
השני.תנועה חד ממדית.
13
כמות התנועה (המשך)
בהתנגשות חזיתית ודביקה בין שני גופים זהים( .מהירות,
מסה וצורה) שני הגופים ימצאו במנוחה לאחר ההתנגשות.
שני הגופים נעים על מסילה ישרה במהירות שווה.
vL v R
vR
vL
מצב התחלתי :לא ניתן להבחין בין שני הגופים; אם נחליף בין
שני הכדורים המצב ההתחלתי לא ישתנה .אין כוון מועדף.
14
כמות התנועה (המשך)
בהתנגשות חזיתית ודביקה בין שני גופים זהים( .מהירות,
מסה וצורה) שני הגופים ימצאו במנוחה לאחר ההתנגשות.
שני הגופים נעים על מסילה ישרה במהירות שווה.
vL v R
vR
vL
מצב התחלתי :לא ניתן להבחין בין שני הגופים; אם נחליף בין
שני הכדורים המצב ההתחלתי לא ישתנה .אין כוון מועדף.
15
vL v R
vR
vL
אם נסובב את המסילה ב 180o -שוב נקבל חלקיק שנע
שמאלה וחלקיק שנע ימינה במהירויות שוות וקיים :
vL = - vR
16
כמות התנועה (המשך)
מצב סופי :מאחר והמערכת מבודדת גם במצב הסופי (לאחר
ההתנגשות) בהכרח שלא יהיה כוון מועדף .גם במצב הסופי
א"א להבחין בין כוון ימין לכוון שמאל .אחרת אם המכלול של
שני הגופים ינוע ,יהיה כיוון תנועתו כיוון מועדף ,בניגוד למה
שהונח לגבי המצב ההתחלתי .לכן:
במצב הסופי שני הגופים חייבים להיות במצב של מנוחה.
17
קציבת מסה ותנע לא ידועים
הגדרה אמפירית של שוויון בין מסות :שתי מסות
שוות ,אם בהתנגשות חזיתית ודביקה בין שני גופים
שנעים במהירויות שוות תהיה המהירות הסופית
שווה לאפס.
vL v R
vR
18
vL
קציבת מסה ותנע לא ידועים
נכין מראש שני עצמים שווי מסה – העתקים זהים של אותו
גוף ונאמת שהן שוות בהתנגשות חזיתית ודביקה .גופים אלו
ישמשו כמסות תקן.
יחידת תקן של תנע בכיוון מוגדר נגדיר לפי:
{ יח' מסה תקנית } } יח' מהירות } = {יח' תקן של תנע}
19
vL v R
M=m
vR
vL
M
m
20
vL v R
M>m
vR
vL
M
m
21
vL v R
M<m
vR
vL
M
m
22
קביעת מסה לא ידועה Mלפי :אם שתי המסות ינועו
ביחד ימינה M > ms
נוסיף מסות msעד שנגיע למצב שבו שתי המסות
במנוחה במצב זה
M = n ms
nמספר המסות הדרושות למצב מנוחה
23
קציבת מסה ותנע לא ידועים
לא ידוע לפי:
תנע
קביעת
p
s
ms
P
M
אם במצב הסופי שתי המסות במנוחה P = ps
אחרת נוסיף psמימין עד שיושג מצב מנוחה = P
nps
p m,v mf v mv
m1 v 2
v1
=
m2
p mv
nמספר הסטנדרטים שמתאים למצב סופי של
מנוחה.
24
p R = -pL
pL
pR
25
p R < -pL
PL
pR
26
p R > -pL
PL
PR
27
מניסיונות כאלה :יחס המהירויות שווה להיפוך יחס
המסות:
m1
v2
=
m2
v1
הפונקציה הפשוטה ביותר שמסבירה את הקשר בין
יחס המסות ליחס המהירות:
p m,v = m f v = m v
p mv
28
29
המסה הנה איזוטרופית m -גודל סקלרי.
המסה היא אדיטיבית -המסה הכוללת של שני
גופים שמסותיהם m1ו m2 -שווה לסכום המסות
.m1 +m2
שימור המסה -מסה של מערכת מבודדת נשמרת.
חוק שימור המסה הנו חוק מקורב.
קציבת מסה ותנע לא ידועים
אם מערכת מבודדת משמרת את המסה שלה ועפ"י חוק
גלילאי היא נעה במהירות קבועה נוכל לנסח את חוק
ההתמדה באופן:
מערכת מבודדת משמרת את התנע הליניארי
m
1
m2
p const
למערכת מבודדת שמורכבת משני חלקים או יותר יתקיים
N
p pi const
30
i 1
חוק שמור התנע בהתנגשות דביקה
התנגשות בין קליע לבין ארגז חול
p
p
קליע
מטרה במנוחה
p
31
i
p
p
i
p
חוק שמור התנע בהתנגשות דביקה
התפוצצות של גוף במנוחה לשני חלקים
p1
מצב
התחלתי
0
32
p
i
p2
p0
הגדרה פורמאלית של תנע ליניארי
הכוח שפועל על החלקיק מוגדר כקצב
השינוי של תנע החלקיק.
הגדרת הכוח כנ"ל ידועה בשם החוק
השני של ניוטון.
p
= F av
Δt
dp
=F
dt
כיוון שהזמן הוא סקלר ,הרי שהכוח הנו גודל מאותו סוג כמו
התנע ,כלומר וקטור.
אם נתון התנע כפונקציה של הזמן ,כי אז הכוח שפועל על
החלקיק הנו הנגזרת של לפי הזמן.
33
חוק שימור התנע – דוגמא 1
שאלה :גוף תקן שמסתו m0 = 1.0kgמתנגש חזיתית
במהירות v0 = 3 m/sבגוף שני במנוחה שמסתו אינה ידועה.
הגופים נדבקו עקב ההתנגשות והוסיפו לנוע במהירות
. v = 0.5 m/sמצא את מסת גוף המטרה.
תשובה :מחוק שימור התנע :
m0 v0 = (m0 + m) v
)m = m0 ( v0 / v - 1
m = 1.0 (3 / 0.5 – 1) = 5 kg
34
חוק שימור התנע – דוגמא 2
שאלה :גוף Aשמסתו mA = 120kgנע במהירות vA= 3m/s
ומתנגש חזיתית בגוף Bשמסתו mB = 40kgומהירותו
vB= 9m/sבכיוון ההפוך .בהנחה שההתנגשות הנה דביקה
הראה שמהירותם אחרי ההתנגשות הינה אפס.
תשובה :מחוק שימור התנע
mA vA + mB vB = 120 kg 3 m/s + 40 kg (-9 m/s) = 0
35
חוק שימור התנע – דוגמא 3
שאלה :אסטרונאוט נע בחלל באמצעות אקדח שפולט מולקולות
חמצן מהירות .מסת האסטרונאוט על ציודו הינה ma = 100kg
מהירות המולקולות ביחס לאקדח (ולמעשה ביחס לחללית) הינה
. vg = 630m/sהאקדח פולט חמצן בקצב .dm/dt = 14 g/s
האסטרונאוט נמצא במנוחה ביחס לחללית אך מנותק ממנה.
חשב מהירותו הסופית ביחס לחללית כעבור 10sמהפעלת
האקדח.
36
חוק שימור התנע – דוגמא 3
תשובה :לפני הפעלת האקדח האסטרונאוט וציודו במנוחה ביחס
לחללית ולכן . p = pa + pg = 0 :משימור התנע לאחר הפעלת
האקדח:
p ' = ma u a + mg u g = 0
mg
dm
= ua = ugΔt v g
ma
dt
1
m
3 kg
=14 10
10s 630
100kg
s
s
37
m
= 0.882
s
חוק שימור התנע – דוגמא 4
שאלה :רקטה משוגרת מתחנת חלל .מסתה ההתחלתית .mi
מסתה ומהירותה לאחר שאזל הדלק הן mfו .vf -חשב את
מהירות הרקטה כפונקציה של הזמן ואת מהירותה הסופית .vf
תשובה :נניח כי לרקטה אין נחירי היגוי אלא רק נחירי הנעה.
אזי נוכל לראות את התנועה כחד-ממדית .במרווח זמן
אינפיניטסימאלי ( )t, t + dtאפשר לראות את הרקטה ואת
הגזים הנפלטים ממנה כמערכת מבודדת המשמרת תנע.
כ
d p =d p r + p g = d p r + d p g
38
1
4 חוק שימור התנע – דוגמא
:נחשב את השינוי בתנע של הרקטה ושל הכגז
2
dp r = mdv - dmv t + o dm 2
m t+dt v t+dt m t v t
= m-dm v t +dv - m t v t
= m t dv - dmv t + dmdv
3
dpg = U dm
39
חוק שימור התנע – דוגמא 4
נציב את ( )3(,)2בחוק שימור התנע ( )1ונקבל את
משוואת התנועה של הרקטה
mdv + udm = 0
4
mdv - vdm + Udm = 0
mdv + (U - v) dm = 0
u = U - v
40
4 דוגמא-חוק שימור התנע
dm
dv = - u
m
t
t
dm
dv
=
u
t
t m
i
i
: ולכן.אם מהירות הגז הנפלט קבועה
v t - v ti
mi
= u ln
mf
41
חוק שימור התנע-דוגמא 4
42
המהירות הסופית תלויה לוגריתמית ביחס המסה
התחילית למסה הסופית .לפיכך אי אפשר להשיג מהירות
סופית גדולה בסדר גודל ממהירות הפליטה .מהירות
הפליטה היא אפוא גורם בעל חשיבות גדולה בקביעת
המהירות הסופית של הרקטה .היא תלויה בסוג הדלק,
דלקים נמוכי מסה מולקולארית יניבו מהירות פליטה
גבוהה יותר .מבחינה זו מימן הוא דלק עדיף.
רקטה אידיאלית תפלוט חלקיקים חסרי מסה (פוטונים
למשל) .במקרה שכזה מהירות הפליטה שווה למהירות
האור .אבל ,עבור רקטה כזו נצטרך לתקן את משוואות
התנועה .עם זאת המסקנות מחישובינו ישארו בעינן.