Transcript lec9.ppt
מערכות של חלקיקים מי שקופץ קדימה ,ראשו וגוו נעים במסלול פרבולי .לעומת זאת ,רקדנית בלט קופצת קדימה וראשה וגווה נעים בקו ישר אופקי .היא כאילו צפה לאורך הבמה. איך היא מצליחה להיפטר מהגרביטציה כך שראשה נע בקו ישר? חבטה בכדור בייסבול שולחת אותו לאוויר במסלול פרבולי לעומת זאת השלכת המחבט תגרום לתנועה הרבה יותר מסובכת .כל חלק מהמחבט נע בתנועה אחרת. אבל ישנה נקודה ,הקרויה מרכז המסה ,שממשיכה לנוע במסלול פרבולי. הנקודה הזאת נמצאת בציר המרכזי של המחבט וניתן למצוא אותה ע"י איזון המחבט על האצבע. מרכז המסה (הגדרה): y )xcm = (m1x1 + m2x2) / (m1+ m2 x m2 m1 x2 x1 ובהכללה למספר רב של מסות xcm = (mixi) / mi =( mixi) / M בשלושה מימדים ,אם חלקיק m iנמצא בנקודה ,riוקטור מרכז המסה יהיה rcm = ( miri) / M ycm = ( miyi) / M zcm = ( mizi) / M xcm= ( mixi) / M אם נתונה התחלקות רציפה של מסות ,כמו למשל בגוף שאיננו נקודתי 1 1 1 xcm xdm ycm ydm z cm zdm M M M ואם הגוף עשוי מחומר אחיד ,ניתן לבצע סכימה על הנפח ולא על המסה כיון שהצפיפות מצטמצמת. M V הצפיפות מצטמצמת ואנו מסכמים רק על הנפח 1 z cm zdV V 1 ycm ydV V מדיסקה אחידה Pשרדיוסה 2R חותכים דיסקה שרדיוסה .Rהיכן מרכז המסה של ?P 1 xcm x dV V 2R x Pcm P R מרכז המסה ,בגלל הסימטריה ,נמצא על ציר ה .x-מרכז המסה של הדיסקה המלאה נמצא במרכזה .מרכז המסה של Sנמצא במרכזה. ניתן לראות את הדיסקה המלאה כמורכבת מהדיסקה Pומהדיסקה החסרה החסרה .S S m m P mS P המסות פרופורציוניות לשטח כל דיסקה. m K (2R) 2 ms K π R 2 2 m m - m K π 3R P S מרכז המסה של Pנמצא בנקודה xשאינו ידוע .אם נבחר את הראשית במרכז הדיסקה הגדולה )m x m (R S 0 P m m P S 2 R KR xR S R 2 3 m 3 KR P m x P S חוק IIשל ניוטון למערכת של חלקיקים כאשר כדור ביליארד פוגע בכדור שני ,המערכת של שני הכדורים ממשיכה לנוע קדימה .איננו מצפים ששני הכדורים יחזרו. מה שממשיך לנוע ללא הפרעה ,למרות ההתנגשות ,היא נקודת מרכז המסה ,שבמקרה זה היא הנקודה האמצעית בין שתי המסות. נבחר מערכת של nמסות בעלות מסות שונות ונבדוק את תנועת מרכז המסה ולא את התנועה של כל מסה בנפרד. מרכז המסה היא נקודה ,והיא נעה כאילו כל המסה של המערכת מרוכזת בה .תנועתה נשלטת ע"י החוק F net Ma cm למשואה הזאת יש אותה צורה כמו לחוק IIשל ניוטון .צריך להבחין בנקודות הבאות. Fnet .1הוא סכום הכוחות החיצוניים הפועלים על המערכת .הכוחות ההדדיים (פנימיים) אינם נכללים. M .2היא המסה הכוללת של כל המערכת .אנו מניחים ששום מסה לא נכנסת או יוצאת מהמערכת. acm .3היא תאוצת מרכז המסה של המערכת .אין שום מידע על התאוצות של המסות הבודדות. משוואת התנועה היא בעצם 3משוואות. Fnet,z Ma net,z Fnet,y Ma net,y Fnet,x Ma net,x נבחן את התנהגות כדורי הביליארד .הכדור הראשון נע ללא השפעת כוחות חיצוניים .כלומר ,תאוצת מרכז המסה היא אפס .בהתנגשות עם הכדור השני גם לא מעורבים כוחות חיצוניים ולכן למרכז המסה אין תאוצה .הוא ימשיך לנוע במהירות קבועה. גם בגוף מוצק מתקיים החוק שלעיל .מחבט הבייסבול נע תחת השפעת כוח הגרביטציה כאילו כל המסה מרוכזת בנקודת מרכז המסה. זיקוק שנורה במסלול פרבולי מתפוצץ בנקודה מסוימת .מרכז המסה של הזיקוק ממשיך לנוע במסלול שבו היה ממשיך לולא התפוצץ. כאשר רקדנית הבלט קופצת קדימה במשך הריקוד ,היא ,כלומר מרכז המסה שלה ,ינוע במסלול פרבולי. ברגע עזיבת הבמה היא פורשת ומרימה את רגליה וידיה .זאת פעולה של כוחות פנימיים. פעולה זו מרימה את מרכז המסה שלה .בכל זאת הוא ממשיך לנוע במסלול פרבולי .עקב כך ,יחסית לגוף ,היא מורידה את גובה ראשה וגווה .התוצאה היא שראשה נע במסלול כמעט אופקי ,ונותן את התחושה של ריחוף. הוכחת חוק IIשל ניוטון לגבי מערכת של חלקיקים. Mrcm = m1r1 + m2r2 + m3r3 + ••••• + mnrn גזירה לפי הזמן נותנת Mvcm = m1v1 + m2v2 + m3v3 + ••••• + mnvn וגזירה נוספת Macm = m1a1 + m2a2 + m3a3 + ••••• + mnan אבל miaiהוא הכוח הפועל על חלקיק .i הכוח הזה כולל גם את הכוח הפנימי שחלקיק jמפעיל על חלקיק .iאלא שלפי חוק IIIשל ניוטון הם מתבטלים בזוגות .ולכן Macm = F1 + F2 + F3 + •••••+ Fn כאשר Fiהוא הכוח החיצוני הפועל על חלקיק .i תנע קווי התנע הקווי של חלקיק הוא וקטור שמוגדר p mv כיון שהמסה תמיד חיובית כיוון התנע הוא בכיוון המהירות. המילה קווי מושמטת לפעמים .היא מתווספת בעיקר כדי להבדיל מן המושג תנע זוויתי. לתנע אין יחידות מיוחדות; יחידת התנע היא [mv] = kg•m/sec ניוטון ניסח את החוק ה IIכך קצב ההשתנות בזמן של התנע של חלקיק שווה לכוח הנקי הפועל על החלקיק ובכיוונו של אותו כוח. dp dt F net ואם המסה אינה תלויה במהירות d dv (m v) m ma dt dt F net תנע של מערכת של חלקיקים נתונה מערכת של חלקיקים ,כל אחד בעל מסה ,מהירות ותנע קווי .על החלקיקים פועלים כוחות ,חיצוניים או פנימיים ע"י חלקיקים אחרים. התנע הקווי של כל המערכת יהיה P p p p p 3 n 1 2 P m v m v m v mn vn 3 3 2 2 1 1 ומתוך הגדרת מרכז המסה P M vcm התנע הכללי של מערכת חלקיקים שווה למכפלת המסה הכוללת במהירות מרכז המסה. dP d vcm M Macm dt dt ולפי חוק IIשל ניוטון dP Fnet dt כאשר Fnetהוא הכוח החיצוני הפועל על המערכת. הציור משמאל מראה מכונית צעצוע שמסתה 2ק"ג נוסעת בסיבוב .לפני הסיבוב מהירותה היא 0.5מטר לשניה ואחרי הסיבוב היא נעה במהירות של 0.4 מטר לשניה. מהו השינוי pבתנע המכונית כתוצאה מהסיבוב. vf = 0.4i vi = -0.5j pf = 0.8i pi = -1.0j -pi p = pf – pi = 0.8i – (-1.0j) =0.8i +1.0j p pf שימור התנע הקווי נתונה מערכת סגורה ומבודדת .התנע הכללי של המערכת אינו יכול להשתנות. מערכת מבודדת – לא פועלים כוחות חיצוניים מערכת סגורה – שום חלקיק אינו נכנס או יוצא מהמערכת. dP Fnet 0 dt P constant Pf Pi התנע הכללי הקווי בזמן התחלתי ti = התנע הכללי הקווי בזמן מאוחר יותר tf המשוואות הן משוואות וקטוריות ומתקיימות עבור כל רכיב בנפרד. בזריקה בליסטית למשל כוח הגרביטציה פועל רק בכיוון אנכי ולכן התנע האופקי נשאר קבוע. ספינת חלל ותא מטען שמסתם M נעים יחד בחלל במהירות viשל 2100קמ"ש יחסית לשמש בכיוון ציר .x תא המטען ,שמסתו 20%ממסת הרקטה נפלט עקב פיצוץ ,והספינה נעה במהירות הגדולה ב 500 -קמ"ש מתא המטען. מהי מהירות הספינה החדשה יחסית לשמש? . – מהירות הספינה ביחס לשמשvHS . – מהירות תא המטען ביחס לשמשvMS Pi = Pf Pi = Mvi Pf = (0.2M)vMS + (0.8M)vHS vHS = vrel + vMS = 500 + vMS vMS = vHS - 500 Pf = 0.2M(vHS – 500) + 0.8M vHS vHS = 2200 km/h מערכות עם מסה משתנה -רקטה בניגוד לכותרת ,מסת המערכת הכוללת את הרקטה וחומר הדלק שנשרף, נשאר קבוע .מסת הרקטה בלבד אינו קבוע .למעשה רוב המסה ההתחלתית של הרקטה הוא חומר הדלק. צופה במערכת אינרציאלית רואה רקטה בחלל שמסתה Mטסה במהירות .v לאחר זמן :dt מהירות הרקטה v + dv מסת הרקטה (dM < 0) M + dM מהירות הגזים יחסית לצופה U מסת הגזים -dM בחלל אין כוחות חיצוניים ולכן יש שימור תנע בין המצב בזמן tובזמן .t+dt Pf Pi )Mv -dM U (M dM)(v dv v dv vrel U U v dv vrel אם המהירות היחסית בין הגזים והרקטה היא .vrel Mv -dM(v dv - vrel) (M dM)(v dv) Mv -vdM - dMdv vreldM Mv Mdv vdM dMdv - vrel dM M dv dM dv - vrel M dt dt .R הוא קצב שריפת הדלק והוא קבוע-dM/dt . של ניוטוןII לכן המשואה האחרונה היא מעין חוק. היא התאוצהdv/dt Rvrel Ma . קרוי הדחף של מנוע הרקטהRvrel האבר dM dv -vrel M M v dM v dv - vrel M M Mi vf - vi vrel ln Mf f i f i רקטה שמסתה ההתחלתית היא 850ק"ג שורפת דלק בקצב של 2.3ק"ג לשניה .הגזים נפלטים במהירות של 2800מטר לשניה יחסית למנוע הרקטה. .1מהו כוח הדחף של מנוע הרקטה Rvrel= 2.3•2800 = 6400N .2מהי תאוצתה ההתחלתית של הרקטה. a = Rvrel / M = 2.3•2800/850 = 7.6 m/s2 כדי לשלוח את הרקטה מעל פני כדור הארץ לחלל יש להעניק לה תאוצה של לפחות .gכלומר כוח הדחף היה צריך להיות לפחות = 850•9.8 .8330N נניח שהרקטה נשלחה מספינת חלל בחלל .המסה הסופית של הרקטה (אחרי ששרפה את כל הדלק) היא 180ק"ג .מהי מהירותה הסופית ביחס לספינת החלל בהנחה שהיא מאוד מסיבית ואינה משנה את מהירותה? vf = vrel ln(Mi / Mf) = 2800 ln(850/180) = 4300 m/s