Transcript lnotes13.ppt

‫שיווי משקל‬
‫טיפוס על סלעים דורש מאמץ פיזי‬
‫גדול‪ .‬כל כשלון פירושו מוות‪.‬‬
‫בטיפוס בארובה ארוכה‪ ,‬גווך לחוץ‬
‫כנגד קיר אחד ורגליך כנגד הקיר‬
‫השני‪ .‬אם לא תעצור למנוחה מידי‬
‫זמן‪ ,‬תיפול מאפיסת כוחות‪ .‬מה‬
‫עליך לעשות כדי לנוח‪ .‬אם תנוח‬
‫ללא התחשבות בפיסיקה‪ ,‬הקירות‬
‫לא יתמכו בך‪ .‬כיצד?‬
‫מה המשותף לכל המקרים הבאים‬
‫‪ .1‬ספר מונח על השולחן‪.‬‬
‫‪ .2‬דיסקת הוקי מחליקה על קרח במהירות קבועה‪.‬‬
‫‪ .3‬להבים מסתובבים של מאוורר תקרה‪.‬‬
‫‪ .4‬גלגל אופניים הנע במהירות קבועה במסלול ישר‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬הגופים כולם בשיווי משקל‪ .‬התנאים‬
‫לשיווי משקל‪:‬‬
‫א‪ .‬התנע הלינארי ‪ P‬של מרכז המסה‬
‫קבוע‪.‬‬
‫ב‪ .‬התנע הזוויתי ‪ L‬ביחס למרכז‬
‫המסה קבוע‪.‬‬
‫נדון במקרה הפרטי בו ‪ P‬ו‪ L -‬הם אפס‪ .‬זהו מקרה‬
‫של שיווי משקל סטטי‪.‬‬
‫אנחנו יכולים לאזן קובית דומינו בצורה שמרכז המסה נמצא מעל הקצה‬
‫התומך‪.‬‬
‫הפיתול כתוצאה מכוח הגרביטציה ‪ Fg‬מתאפס כיון שקו הכוח עובר דרך‬
‫הבסיס‪.‬‬
‫כל הפרעה קטנה תוציא אותו משיווי‬
‫המשקל‪ .‬כאשר קו הפעולה של ‪ Fg‬זז לצד‬
‫אחד של הקצה התומך‪ ,‬הפיתול שנוצר‬
‫מפיל (מסובב) את הקוביה‪ .‬זהו מצב של‬
‫שיווי משקל רופף‪.‬‬
‫‪Fg‬‬
‫‪Fg‬‬
‫‪Fg‬‬
‫אם מציבים את הקוביה על כל הבסיס דרוש יותר כוח להוצאת הגוף משיווי‬
‫משקל‪ .‬הפעלת כוח קטן תגרום לגוף לחזור לשיווי משקל‪.‬‬
‫תנאי שיווי משקל‬
‫א‪ .‬התנע הלינארי ‪ P‬קבוע‪dP/dt = 0 :‬‬
‫‪Fnet = dP/dt = 0‬‬
‫ב‪ .‬התנע הזוויתי ‪ L‬קבוע‪dL/dt = 0 :‬‬
‫‪ = dL/dt = 0‬‬
‫גוף נמצא בשיווי משקל אם‬
‫‪.1‬הסכום הוקטורי של כל הכוחות החיצוניים מתאפס‪.‬‬
‫‪ .2‬הסכום הוקטורי של כל המומנטים החיצוניים היחס לציר כלשהו מתאפס‪.‬‬
‫בחירת מיקום ציר הסיבוב אינה משנה את חישוב המומנט אם סכום‬
‫הכוחות החיצוניים הוא אפס‪.‬‬
‫כל משוואה היא משוואה וקטורית שמשמעותה‪ 3 ,‬משוואות וכל אחת‬
‫צריכה להתקיים בפני עצמה‪.‬‬
‫ועבור שיווי משקל סטטי‬
‫‪ .3‬התנע הלינארי ‪ P‬של הגוף חייב להיות אפס‪.‬‬
‫מרכז הכובד‬
‫כוח המשיכה הפועל על גוף הוא הסכום הוקטורי של כוחות המשיכה‬
‫הפועלים על האלמנטים (אטומים) המרכיבים את הגוף‪ .‬במקום לטפל‬
‫במספר הרב של הכוחות הללו אנו אומרים כי‬
‫הכוח הגרביטציוני ‪ Fg‬הפועל על גוף פועל באופן אפקטיבי בנקודה אחת‬
‫הקרויה מרכז הכובד של הגוף‪.‬‬
‫עד עתה הנחנו כי כוח הכובד פועל במרכז המסה‪ .‬כלומר הנחנו כי מרכז‬
‫הכובד מתלכד עם מרכז המסה‪.‬‬
‫כוח הכובד שווה ל ‪ mg‬כאשר ‪ g‬היא תאוצת הגוף הנגרמת ע"י כוח‬
‫הגרביטציה בנפילה חופשית של הגוף‪.‬‬
‫אם ‪ g‬שווה לכל אלמנטי המסה שמרכיבים את הגוף אזי מרכז הכובד‬
‫מתלכד עם מרכז המסה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫נתון גוף שמסתו ‪ .M‬על אלמנט מסה ‪ mi‬פועל‬
‫כוח כובד של ‪.Fgi‬‬
‫הפיתול ביחס ל‪ O-‬הפועל‬
‫על הגוף‬
‫‪mi‬‬
‫‪ i  xi Fgi‬‬
‫‪ net    i   xi Fgi‬‬
‫‪Fg‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪O‬‬
‫הכוח הכולל‪ Fg ,‬פועל במרכז הכובד‬
‫שנמצא בנקודה ‪.xcg‬‬
‫הפיתול על הגוף‬
‫‪y‬‬
‫‪  xcg Fg  xcg  Fgi‬‬
‫הדרישה היא שהשפעת כוח הכובד תהיה זהה‬
‫בשני המקרים‪.‬‬
‫‪xcg‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Fg‬‬
‫כלומר זהו אותו פיתול המופיע בשתי המשוואות‪.‬‬
‫‪x cg  Fgi   xi Fgi‬‬
‫‪x cg  mi g i   xi mi g i‬‬
‫‪ gi‬היא תאוצת הגרביטציה של אלמנט המסה ‪ .m i‬ואם היא אותה תאוצה‬
‫לכל אלמנטי המסה‬
‫‪x cg  mi   xi mi‬‬
‫‪i‬‬
‫וזוהי הגדרת מרכז המסה‪.‬‬
‫‪x m‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x cg ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪L‬‬
‫קורה אחידה‪ ,‬שאורכה ‪ L‬ומסתה ‪ m‬מונחת‬
‫כשקצותיה על זוג מאזניים‪ .‬גוש אחיד שמסתו‬
‫‪ M‬נמצא במנוחה על הקורה כשמרכז המסה‬
‫שלה במרחק ‪ L/4‬מקצה הקורה‪ .‬מה מורות‬
‫המאזניים?‬
‫‪L/4‬‬
‫‪M‬‬
‫‪m‬‬
‫משקל‬
‫משקל‬
‫‪Fl‬‬
‫הכוחות הפועלים על המערכת של קורה ‪+‬‬
‫גוש‪:‬‬
‫‪ .1‬הכוחות הנורמליים בין המאזניים והקורה‪.‬‬
‫‪Fr‬‬
‫‪mg‬‬
‫‪Mg‬‬
‫‪ .2‬המשקל של הקורה והגוש‪.‬‬
‫‪Fl  Fr  Mg  mg  0‬‬
‫‪0  Fl ( L 4() Mg ) ( L 2() mg ) ( L() Fr )  0‬‬
‫המערכת בשיווי משקל והפיתול‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Fr  Mg  mg Fl  Mg  mg‬‬
‫הוא ביחס לקצה השמאלי‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫מטפסת שמסתה ‪ 55‬ק"ג נחה בזמן טיפוס‬
‫ודוחפת את רגליה וכתפיה כנגד קירות נקיק‬
‫שרוחבו ‪ 1‬מטר‪.‬‬
‫מרכז המסה שלה במרחק ‪ 0.2‬מטר מהקיר‬
‫שנגדו היא דוחפת את כתפיה‪ .‬מקדם החיכוך‬
‫הסטטי בין נעליה והקיר הוא ‪ 1.1‬ומקדם‬
‫החיכוך בין כתפיה והקיר הוא ‪.0.70‬‬
‫כדי לנוח היא רוצה למזער את כוח הלחיצה אל הקיר‪ .‬זה קורה כאשר‬
‫רגליה וכתפיה עומדים לפני החלקה‪ ,‬כיוון שאז כוח החיכוך הוא מקסימלי‬
‫א‪ .‬מהו הכוח המינימלי בו עליה ללחוץ על הקירות?‬
‫בכיוון אופקי יש רק שני‬
‫כוחות והם הכוחות הנורמלים ‪f 1  f 2  mg  0‬‬
‫בין המטפסת והקירות וכיון ‪f 1   1 N f 2   2 N‬‬
‫שהיא בשיווי משקל הם‬
‫‪mg‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ 299 N‬‬
‫חייבים להיות שווים‪.‬‬
‫‪1   2‬‬
‫ב‪ .‬מה צריך להיות המרחק האנכי בין רגליה וכתפיה כדי שתהיה יציבה?‬
‫מיקום כתפיה יהיה ציר‬
‫הסיבוב‪.‬‬
‫‪ wf1  hN  dmg  0‬‬
‫‪f 1 w  mgd  1 Nw  mgd‬‬
‫‪h‬‬
‫‪‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪mgd‬‬
‫‪h  1 w ‬‬
‫‪ 0.74m‬‬
‫‪N‬‬