Transcript lnotes12.ppt

‫גלגול‪ ,‬פיתול ותנע זוויתי‬
‫בשנת ‪ 1897‬לוליין אירופאי ביצע בפעם‬
‫ראשונה את הסלטה המשולשת מנדנדה‬
‫ונתפס ע"י שותפו ‪.‬במשך ‪ 85‬שנה ניסו‬
‫לוליינים אחרים לבצע סלטה מרובעת‪ ,‬עם‬
‫‪ 4‬היפוכים‪ .‬רק בשנת ‪ 1982‬הצליח מיגל‬
‫וזקז מקרקס ברנום וביילי לבצע ארבעה‬
‫גלגולים באוויר לפני שנתפס ע"י בן זוגו‪.‬‬
‫שניהם נדהמו מהמבצע‪.‬‬
‫מדוע כל כך קשה לבצע סלטה מרובעת‪ ,‬ומהם התכונות הפיסיקליות‬
‫המאפשרים זאת‪.‬‬
‫גלגול‬
‫כל גלגול הוא שילוב של תנועה לינארית של מרכז המסה וסיבוב סביב מרכז‬
‫המסה‪.‬‬
‫אם מסתכלים על תנועת נקודה‬
‫הנמצאת על היקף גלגל‬
‫מתגלגל מקבלים צורה‬
‫גיאומטרית הקרויה ציקלואידה‪.‬‬
‫אם ‪ R‬רדיוס הגלגל ‪ v0‬מהירות מרכז המסה‪ ,‬ו‪  -‬מהירות הסיבוב הזוויתית‬
‫אזי תנועת הנקודה מתוארת ע"י‬
‫‪x  v0 t  R sin t‬‬
‫) ‪y  R (1  cos t‬‬
‫במצב התחלתי הנקודה‬
‫נמצאת על המשטח‪.‬‬
‫גלגל מתגלגל על משטח‪.‬‬
‫מהירות מרכז המסה ‪vcm‬‬
‫אם הגלגל מסתובב ללא החלקה‪ ,‬נקודת המגע עם המשטח ‪ P‬נעה גם היא‬
‫באותה מהירות‪.‬‬
‫במשך זמן ‪ t‬מרכז המסה והנקודה ‪P‬‬
‫מוזזים במרחק ‪ .s‬במשך אותו זמן נקודה‬
‫על היקף הגלגל מסתובבת בזווית ‪.‬‬
‫‪vcm‬‬
‫‪‬‬
‫‪vcm‬‬
‫‪s‬‬
‫‪P‬‬
‫‪s  R‬‬
‫‪v cm  R‬‬
‫‪P‬‬
‫‪s‬‬
‫תנאי לסיבוב ללא החלקה הוא שנקודה על היקף הגלגל מועתקת באותו‬
‫מרחק כמו מרכז המסה‬
‫החלקה שלמה – רק מרכז המסה נע‪ .‬אין סיבוב‬
‫סיבוב מושלם – רק נקודה על ההיקף נעה‪ .‬מרכז המסה במנוחה‪.‬‬
‫גלגול הוא צרוף של סיבוב והחלקה‪.‬‬
‫גלגול‬
‫=‬
‫החלקה‬
‫‪+‬‬
‫סיבוב‬
‫אפשר להיווכח שנקודת המגע ‪ P‬בין הגלגל והמשטח נמצאת במנוחה‬
‫רגעית ואילו הנקודה העליונה ‪ T‬נעה במהירות גדולה פי ‪ 2‬ממהירות מרכז‬
‫המסה‪.‬‬
‫הוכחה לכך היא חשיפת לאורך זמן של תנועת גלגל אופניים‪ .‬ניתן לראות‬
‫בברור שהחלק העליון נע הרבה יותר מהר מהחלק התחתון‪.‬‬
‫העובדה שנקודת המגע של הגלגל עם‬
‫המשטח נמצאת במנוחה רגעית‬
‫מספקת לנו נקודת מבט נוספת של‬
‫הגלגול והיא סיבוב סביב ציר העובר‬
‫בנקודת המגע‪ .‬הציר נע במהירות מרכז‬
‫המסה‪.‬‬
‫מהירות מרכז המסה‬
‫‪vcm= R‬‬
‫מהירות נקודה בקצה העליון‬
‫‪(2R) = 2vcm‬‬
‫=‪v‬‬
‫אנרגיה קינטית של גלגול‬
‫האנרגיה הקינטית לגבי גלגול של גלגל שרדיוסו‬
‫‪ R‬ומסתו ‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪K  I P 2‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר מתייחסים לגלגול כסיבוב סביב נקודת‬
‫המגע ‪P‬‬
‫לפי משפט הצירים המקבילים‬
‫האבר הראשון הוא האנרגיה הקינטית של‬
‫סיבוב סביב מרכז המסה‬
‫‪2‬‬
‫‪I P  I cm  MR‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K  I cm   MR 2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v cm  R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫האבר השני הוא אנרגיה קינטית של תנועת‬
‫‪K  I cm   Mv cm‬‬
‫מרכז המסה‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כוחות של גלגול‬
‫כדי שגלגל יגדיל את מהירות סיבובו חייב לפעול עליו כוח‪ .‬במרוץ אופניים‬
‫המתחיל ממנוחה‪ ,‬רוכב האופניים מסובב את הדוושות כדי להאיץ‪ .‬למרות‬
‫זאת אם הרוכב יהיה על משטח של קרח סיבוב הדוושות לא יאיץ את‬
‫האופניים‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬צריך להיות כוח חיכוך בין הגלגל‬
‫והמשטח כדי להאיץ אותו! הוא חייב להיות‬
‫ימינה כיון שהוא מגדיל את מהירות מרכז‬
‫המסה‪ .‬בהאטה כיוון כוח החיכוך מתהפך‪.‬‬
‫כיון שהנקודה ‪ P‬נמצאת במנוחה רגעית‪,‬‬
‫כוח החיכוך הפועל הוא כוח חיכוך סטטי!‬
‫אם הוא מחליק‪ ,‬החיכוך הופך לקינטי‪.‬‬
‫גוף עגול שמסתו ‪ M‬ורדיוסו ‪ R‬מתגלגל במורד מישור משופע שזווית‬
‫נטייתו ‪ .‬מהי תאוצת מרכז המסה בזמן הגלגול‪.‬‬
‫אילו הגוף היה מחליק ולא מתגלגל תאוצתו הייתה ‪.acm = g sin‬‬
‫הכוחות הפועלים הם משקל הגוף‪ ,‬הכוח‬
‫הנורמלי בין הגלגל והמישור וכוח החיכוך‪.‬‬
‫אם הגוף היה מחליק‪ ,‬הוא היה מחליק‬
‫כלפי מטה ולכן כוח החיכוך הוא כלפי‬
‫מעלה‬
‫‪f s  Mg sin  Ma cm‬‬
‫הפיתול לגבי מרכז המסה‬
‫‪Rf s  I cm ‬‬
‫‪ acm‬שלילית (שמאלה) ואילו התאוצה הזוויתית ‪ ‬היא חיובית (גלגול נגד‬
‫כיוון השעון)‪ .‬לכן מציבים במקום ‪ ‬את ‪– acm / R‬‬
‫‪acm‬‬
‫‪f s   I cm 2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪g sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  I cm MR 2‬‬
‫ניתן לחשב מה צריך להיות‬
‫מקדם החיכוך כדי שהגוף‬
‫יתגלגל ללא החלקה‬
‫‪a cm‬‬
‫‪acm‬‬
‫‪  s N   s mg cos ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪tan ‬‬
‫‪s ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪MR‬‬
‫‪1‬‬
‫‪I cm‬‬
‫‪f s  I cm‬‬
‫שתי דיסקות זהות ‪ A‬ו‪ B -‬מתגלגלות על הרצפה באותה מהירות‪ .‬דיסקה ‪A‬‬
‫מתחילה לטפס במעלה מישור משופע ומגיעה לגובה ‪ .h‬דיסקה ‪ B‬מטפסת‬
‫על מישור משופע דומה ללא חיכוך‪ .‬האם הגובה אליו תגיע ‪ B‬גדול‪ ,‬קטן או‬
‫שווה ל ‪. h -‬‬
‫אם גוף מתגלגל ללא החלקה על מישור ישר ועובר בבת אחת למישור חלק‬
‫ללא חיכוך מהירות מרכז המסה וסיבובו לא משתנים לכן הוא איננו משנה‬
‫את תנועתו‪.‬‬
‫אם הגוף מטפס על מישור משופע‪ ,‬פועל עליו כוח ‪ mgsin‬המאט את‬
‫תנועת מרכז המסה‪ .‬אם למשטח אין חיכוך‪ ,‬הוא ממשיך להסתובב באותה‬
‫מהירות זוויתית‪ .‬מהירות מרכז המסה קטנה עד שהוא נעצר אבל הגוף‬
‫ממשיך להסתובב במקום‪.‬‬
‫אם הוא מתגלגל במעלה המישור הוא מאט את מהירותו עד עצירתו‬
‫המוחלטת‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mv cm  I cm   mgh 1‬‬
‫במקרה הראשון (גלגול במעלה המישור)‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫כל האנרגיה של גוף ‪ A‬הופכת לאנרגיה‬
‫‪v cm  R‬‬
‫פוטנציאלית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 v cm‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mv cm  I cm 2  mgh 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪I cm‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h1 ‬‬
‫‪(m ‬‬
‫‪2 ) v cm‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2mg‬‬
‫במקרה השני (החלקה במעלה‬
‫מישור) רק האנרגיה הקינטית של‬
‫תנועת מרכז המסה של גוף ‪B‬‬
‫הופכת לאנרגיה פוטנציאלית‪.‬‬
‫‪1 2 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mv cm  I cm   mgh 2  I cm ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v‬‬
‫‪h2 ‬‬
‫‪2g‬‬
‫פיתול (ביקור שני)‬
‫הגדרנו פיתול ‪ ‬עבור גוף קשיח שיכול לסובב את הגוף סביב ציר נתון‪.‬‬
‫נרחיב את הגדרת הפיתול הפועל על חלקיק הנע במסלול נתון (לאו דווקא‬
‫מעגלי) ביחס לנקודה מסוימת (ולא ביחס לציר)‬
‫בנקודה ‪ A‬נמצא חלקיק‪.‬‬
‫‪‬‬
‫על החלקיק פועל כוח ‪.F‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫הפיתול מוגדר‬
‫‪  rF‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪A‬‬
‫תנע זוויתי‬
‫כל גוף בעל מסה ‪ m‬שנע במהירות ‪ v‬יכול להיות בעל תנע זוויתי‪ .‬הדבר‬
‫אמור גם לגבי גוף הנע בקו ישר במהירות קבועה‪.‬‬
‫בנקודה ‪ A‬נמצא גוף שיש לו תנע ‪.p‬‬
‫התנע הזוויתי מוגדר‬
‫‪l‬‬
‫)‪l  r  p  m(r  v‬‬
‫‪O‬‬
‫‪p‬‬
‫‪‬‬
‫חלקיק בעל מסה ‪ m‬נע בקו ישר במהירות ‪.v‬‬
‫‪r‬‬
‫‪A‬‬
‫‪o‬‬
‫התנע הזוויתי של החלקיק ביחס‬
‫לנקודה ‪O‬‬
‫‪l  mrv sin   mvb‬‬
‫‪r‬‬
‫‪b‬‬
‫‪v‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
l = rmv sin = rp sin
O
O
r
r
A
p

l = p(r sin ) = pr
p
r
A

p
l = r(p sin) = rp
‫בחלק השמאלי של השרטוט‪ ,‬חלקיקים‬
‫‪ 1‬ו ‪ 2-‬נעים סביב ‪ O‬במעגלים שרדיוסם‬
‫‪ 2‬ו‪ 4-‬מטר בהתאמה בכיוונים הפוכים‪.‬‬
‫בחלק הימני של הציור חלקיקים ‪ 3‬ו ‪ 4-‬נעים בקו ישר העוברים במרחק‬
‫אנכי של ‪ 2‬ו ‪ 4-‬מטר מ‪.O -‬‬
‫חלקיק ‪ 5‬נע גם הוא בקו ישר שמסלולו העובר דרך ‪ .O‬לכל החלקיקים‬
‫אותה מסה‪.‬‬
‫סווג את החלקיקים לפי סדר יורד של גודל התנע הזוויתי שלהם סביב ‪.O‬‬
‫למי מהם תנע זוויתי שלילי?‬
‫ של ניוטון בצורה זוויתית‬II ‫חוק‬
l  mr  v
dl
d v dr
 m(r 
  v)
dt
dt dt
dl
 m( r  a  v  v)
dt
.‫המכפלה הוקטורית בין שני וקטורים זהים מתאפסת‬
dl
 m r  a  r  ma  r  F net
dt
F net
dp

dt
‫בהשוואה ל‬
dl

dt
‫תנע זוויתי של גוף קשיח שמסתובב סביב ציר קבוע‬
‫נתון גוף בעל מסה ‪ m‬המסתובב סביב ציר קבוע‬
‫במהירות זוויתית ‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫כדי לחשב את רכיב ה‪ z -‬של התנע הזוויתי‬
‫מחלקים את המסה לאלמנטי מסה קטנים ‪m i‬‬
‫הנעים סביב ציר ‪ z‬במסלול מעגלי שרדיוסו הוא‬
‫‪.ri‬‬
‫הזווית בין ‪ ri‬ובין ‪ pi‬היא ‪.90º‬‬
‫התנע הזוויתי של החלקיק‬
‫‪‬‬
‫‪ri‬‬
‫‪mi‬‬
‫‪pi‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ri‬‬
‫‪y‬‬
‫‪li  ri pi sin 90  ri mi vi‬‬
‫‪liz  l sin   (ri sin )( mi vi )  ri mi vi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪vi  ri‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Lz   liz   mi vi ri   mi (ri )ri   m r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪Lz  I‬‬
‫את המשואה הזאת כותבים ללא האינדקס ‪.z‬‬
‫‪L  I‬‬
‫צריך לזכור שכתיבת המשוואה בצורה הזאת נותנת את רכיב התנע הזוויתי‬
‫לאורך ציר הסיבוב ולא את התנע הזוויתי הכללי‪.‬‬
‫נתונים כדור חישוק ודיסקה בעלי אותו רדיוס ואותה מסה מסובבים סביב‬
‫צירם ע"י חבל הכרוך סביבם‪ .‬החבל יוצר אותו כוח משיקי ‪ F‬הפועל על כולם‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫כדור‬
‫חישוק‬
‫‪F‬‬
‫דיסקה‬
‫דרג את הגופים‬
‫א‪ .‬לפי התנע הזוויתי סביב הציר המרכזי‪.‬‬
‫ב‪ .‬המהירות הזוויתית שלהם‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫כדור‬
‫חישוק‬
‫‪2‬‬
‫‪I  mR 2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F‬‬
‫‪I  mR‬‬
‫דיסקה‬
‫‪1‬‬
‫‪I  mR 2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬המתקף הזוויתי ‪ t‬שווה עבור שלושת הגופים ולכן גם התנע הזוויתי‬
‫שווה‪.‬‬
‫ב‪ .‬המהירות הזוויתית ‪  = L / I‬של הכדור היא הגבוהה ביותר‪ ,‬לאחריה‬
‫הדיסקה ובסוף החישוק‪.‬‬
‫נתון מוט חסר מסה שאורכו ‪ 2a‬שבקצותיו‬
‫שתי מסות שוות ‪.m‬‬
‫המוט מסתובב סביב ציר היוצר זווית ‪ ‬עם‬
‫המוט במהירות זוויתית ‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪m‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪L‬‬
‫‪m‬‬
‫) ‪L  r1  mv1  r 2  mv 2  r1  m(  r1 )  r 2  m(  r 2‬‬
‫במערכת הצירים בה ‪ ‬מקביל‬
‫לציר ה‪x-‬‬
‫‪r1  a cos  i  a sin  j‬‬
‫‪r 2  a cos  i  a sin  j‬‬
‫‪  i‬‬
‫)‪L  2ma 2 sin (sin  i  cos  j‬‬
‫חוק שימור התנע הזוויתי‬
‫בנוסף לחוק שימור האנרגיה וחוק שימור התנע קיים גם חוק שימור התנע‬
‫הזוויתי‪.‬‬
‫‪  dL‬‬
‫‪dt‬‬
‫ואם לא פועל פיתול על הגוף‬
‫‪Li  L f‬‬
‫‪I i i  I f  f‬‬
‫‪dL‬‬
‫‪0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪7-2‬‬
‫‪7-4a‬‬
‫המתנדב המסתובב‬
‫‪Ii‬‬
‫‪f ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪If‬‬
‫‪7-4b‬‬
‫‪7-6‬‬
‫הקופצת למים‬
‫התמונה מראה קופצת למים המבצעת סיבוב וחצי‪.‬‬
‫מרכז המסה של הקופצת מהמקפצה נע בתנועה‬
‫פרבולית‪ .‬בנוסף לכך יש לה תנע זוויתי סביב מרכז‬
‫המסה‪ .‬התנע הזוויתי נשמר כיון שאין שום פיתול‬
‫(כוח הגרביטציה עובר דרך מרכז‬
‫המסה)‪ .‬ע"י קיפול הרגליים והידיים וקרובם למרכז המסה מקטינה הקופצת‬
‫את מומנט ההתמד ולכן מגדילה את מהירות סיבובה סביב מרכז המסה‪ .‬לפני‬
‫הכניסה למים‪ ,‬היא מתיישרת מחדש‪ ,‬ומגדילה את מומנט ההתמד שלה‪ .‬דבר‬
‫זה מאפשר לה כניסה חלקה למים‪.‬‬
‫בכל קפיצה מכל סוג למים התנע הזוויתי נשמר‪.‬‬
‫שליטה בכיוון ספינת חלל‬
‫הציור מראה ספינת חלל יחד עם גלגל תנופה‪.‬‬
‫כאשר ספינת החלל במנוחה גם גלגל התנופה‬
‫במנוחה והתנע הזוויתי הוא אפס‪.‬‬
‫כאשר הספינה רוצה לפנות שמאלה‪ ,‬גלגל התנופה‬
‫מסובב בכיוון הפוך‪ .‬התנע הזוויתי חייב להשאר אפס‬
‫כיון שמופעלים רק כוחות פנימיים‪.‬‬
‫התוצאה היא שהספינה פונה בכיוון ההפוך כדי לשמר את התנע הזוויתי‪ .‬גלגל‬
‫התנופה נעצר והספינה מפסיקה את פנייתה וממשיכה בכיוון החדש‪.‬‬
‫‪ Voyager 2‬שנשלחה לאורנוס נכנסה לסיבוב בלתי רצוי כל פעם שהופעל‬
‫רשמקול‪ .‬צוות הקרקע נאלף להפעיל את מנועי הדחף כל הפעלה של‬
‫הרשמקול‪.‬‬
‫הכוכב המתכווץ‬
‫כאשר ליבה של כוכב מתחילה לכלות את חומר הדלק הגרעיני‪ ,‬הכוכב‬
‫מתחיל להתמוטט פנימה‪ ,‬ומגדיל את הלחץ הפנימי‪ .‬ההתמוטטות יכולה‬
‫לכווץ את הרדיוס מסדר גודל של רדיוס השמש עד לכמה קילומטרים‪.‬‬
‫הכוכב הופך לכוכב נויטרונים בעל צפיפות עצומה של גז של נויטרונים‪.‬‬
‫בתהליך ההתמוטטות הזה התנע הזוויתי נשמר‪ .‬מומנט ההתמד קטן בכמות‬
‫עצומה והכוכב מסתובב במהירות עצומה‪ 600 ,‬עד ‪ 800‬סיבובים לשניה‪ .‬זה‬
‫בהשוואה לסיבוב השמש סביב צירה שהוא סיבוב אחד בשלושים יום‪.‬‬
‫סטודנט יושב במנוחה על שרפרף היכול להסתובב על צירו‪.‬‬
‫הסטודנט מחזיק בידו גלגל אופניים אופקי‬
‫בעל מומנט התמד של ‪ Iwh‬סביב מרכזו‪.‬‬
‫הגלגל סובב במהירות זוויתית ‪ .wh‬התנע‬
‫הזוויתי של הגלגל ‪ Lwh‬מכוון כלפי מעלה‪.‬‬
‫הסטודנט הופך את הגלגל‪ .‬התנע הזוויתי הוא כעת ‪ .-Lwh‬ההיפוך גורם‬
‫לסטודנט‪ ,‬לשרפרף ולמרכז הגלגל להסתובב ביחד סביב ציר הסיבוב של‬
‫השרפרף עם מומנט התמד ‪.Ib‬‬
‫מהי מהירות הסיבוב הזוויתית של השרפרף ובאיזה כיוון הוא מסתובב?‬
‫שימור התנע הזוויתי‬
‫‪L wh   L wh  L b‬‬
‫‪L b  2L wh‬‬
‫‪Lb‬‬
‫‪Lwh -Lwh‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪I wh‬‬
‫‪b  2 wh‬‬
‫‪Ib‬‬
‫נחזור לבעיית הלוליין‬
‫הקפיצה לשותף נמשכת ‪ 1.87‬שניות‪ .‬במשך הרבע הסיבוב הראשון‬
‫והאחרון של הקפיצה‪ ,‬הוא פורש את אבריו כך שמומנט ההתמד שלו עבור‬
‫סיבוב סביב מרכז המסה הוא ‪ 19.9‬ק"ג מ‪ .2‬במשך שאר הקפיצה הוא מכווץ‬
‫ומומנט ההתמד הוא ‪ 3.93‬ק"ג מ‪ .2‬מהי מהירות סיבובו סביב מרכז המסה‪.‬‬
‫הוא חייב להסתובב‬
‫מספיק מהר כדי להשלים‬
‫‪ 4‬סיבובים במשך ‪1.87‬‬
‫שניות‪ .‬לשם כך הוא‬
‫מגדיל את מהירות סיבובו‬
‫ע" כיווץ‪.‬‬
‫כיווץ‬
‫חבל‬
‫מסלול פרבולי של הלוליין‬
‫תפיסה‬
‫התנע הזוויתי סביב מרכז המסה נשמר‪.‬‬
‫את רבע הסיבוב הראשון והאחרון‪ ,‬זווית של ‪1= 0.5‬‬
‫סיבובים‪ ,‬הוא עושה בזמן ‪ .t1‬את השאר‪ ,‬זווית של ‪3.5‬‬
‫=‪ 2‬סיבובים הוא עושה בזמן ‪.t2‬‬
‫‪1 I 1  2‬‬
‫‪I1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (1   2 ) 2= 3.23 rev/sec‬‬
‫‪2 I 2 2 2‬‬
‫‪I2‬‬
‫שחרור‬
‫‪I11  I 2 2‬‬
‫‪I2‬‬
‫‪1  2‬‬
‫‪I1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t1 ‬‬
‫‪t2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  2‬‬
‫‪t  t1  t 2  ‬‬
‫‪1 2‬‬
‫זוהי מהירות סיבוב עצומה‪ ,‬והלוליין אינו יכול לראות את סביבתו ולכוון‬
‫באופן עדין את כיווץ גופו‪.‬‬
‫סיבוב של ‪ 4.5‬סיבובים יצריך מהירות סיבוב ‪ 2‬גדולה יותר‪ .‬הסיכוי לכך הוא‬
‫אפסי‪.‬‬
‫מסגרת מורכבת מארבעה מוטות שמסת כל‬
‫אחד ‪ M‬ואורכו ‪ d‬מחוברים לציר אנכי‬
‫ומסתובבים סביבו בכיוון השעון במהירות‬
‫זוויתית ‪.i‬‬
‫ציר סיבוב‬
‫‪i‬‬
‫כדור‬
‫‪60º‬‬
‫ג‬
‫כדור בוץ שמסתו ‪ m = M / 3‬ומהירותו ‪ vi‬נע במסלול שיוצר זווית בת ‪60º‬‬
‫לאחת הזרועות ונדבק לקצה הזרוע‪.‬‬
‫מהי המהירות הזוויתית הסופית ‪ f‬לאחר ההתנגשות?‬
‫אין שימור אנרגיה קינטית – ההתנגשות אינה אלסטית‪.‬‬
‫אין שימור תנע‪ .‬על ציר הסיבוב פועל כוח בזמן ההתנגשות‪ .‬אחרת המערכת‬
‫הייתה נעה ולא רק מסתובבת‪.‬‬
‫יש שימור של תנע זוויתי‪ .‬הכוח שפועל בציר אינו יוצר פיתול‪.‬‬
‫‪Lts , f  Lball , f  Lts ,i  Lball ,i‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Md  f  md  f  Md 2 i  mdvi cos 60‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f ‬‬
‫)‪(4di  vi cos 60‬‬
‫‪5d‬‬
‫‪4‬‬
‫‪I ts  Md 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d 2 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I rod  Md  M ( )  Md‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ f‬יכולה להיות חיובית או שלילית‪ .‬ההתנגשות‬
‫יכולה לשנות את כיוון הסיבוב‪Lball ,i  mdvi cos 60 (  < 0 ) .‬‬
‫‪i‬‬
‫‪Lball , f  md 2  f‬‬
‫נקיפה (פרצסיה)‬
‫תנועה של סביבון כוללת סיבוב מהיר סביב ציר הסימטריה‪.‬‬
‫נקיפה – )‪ (precession‬סיבוב ציר הסימטריה סביב ציר אופקי דרך‬
‫המשטח העליון של הסביבון‪.‬‬
‫נדנודים – )‪ (nutation‬הנדנודים של ציר הסימטריה כאשר הוא מסתובב‬
‫דרך הציר האופקי‪ .‬הנושא מסובך ומטופל ברמה אחרת‪.‬‬
‫תזכורת‪ :‬בתנועה לינארית ניתן לשנות את התנע בשתי דרכים‪.‬‬
‫‪ .1‬הפעלת כוח לאורך כיוון התנועה‪ .‬במקרה זה גודל המהירות משתנה‪.‬‬
‫‪ .2‬הפעלת כוח במאונך לכיוון התנועה‪ .‬במקרה זה כיוון התנועה משתנה‪,‬‬
‫למרות שגודל המהירות אינו חייב להשתנות כמו בתנועה מעגלית‪.‬‬
‫אותו דבר קורה כאשר פיתול מופעל על גוף הנע בתנועה סיבובית‪ .‬אם הוא‬
‫מקביל לתנע הזוויתי הוא ישנה את גודל התנע הזוויתי‪ .‬אם הוא מאונך‬
‫לכיוון התנע הזוויתי‪ ,‬הוא ישנה את כיוונו של התנע הזוויתי‪.‬‬
‫מתקף זוויתי‬
‫כזכור‪ ,‬כאשר על גוף פועל כוח ‪ F‬במשך זמן ‪ dt‬הוא‬
‫יוצר מתקף ‪ J‬המשנה את התנע שלו ב‪dp -‬‬
‫‪J  Fdt  d p‬‬
‫הפעלת פיתול ‪ ‬במשך זמן ‪dt‬משנה את התנע‬
‫הזוויתי ב‪dL -‬‬
‫‪dL‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt‬‬
‫המתקף הזוויתי ‪ Jr‬יהיה‬
‫‪d L  dt  J r‬‬
‫‪J r  dt  (r  F)dt  r  (Fdt )  r  J‬‬
‫מטפלים בשחזור של תאונות בה נפגעת מכונית נייחת מהצד ע"י כך‬
‫שמתייחסים למכונית כמוט שמסתו ‪ M‬ואורכו ‪ l‬במנוחה של משטח חסר‬
‫חיכוך‪.‬‬
‫מתקף ‪ Ft‬פועל במאונך‬
‫למכונית במרחק ‪ l/3‬מקצה‬
‫המכונית‪ .‬מה תהיה תנועת‬
‫המכונית?‬
‫תנועת המכונית מפורקת לשתי תנועות‪ .‬תנועת מרכז המסה וסיבוב סביב‬
‫מרכז המסה‪.‬‬
‫תנועת מרכז המסה‬
‫‪p  p f  pi  p f  Mv f  Ft‬‬
‫‪Ft‬‬
‫‪vf ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪l l‬‬
‫סיבוב סביב מרכז ‪(Ft )l‬‬
‫‪L  L f  L i  If  Ft (  ) ‬‬
‫המסה‬
‫‪2 3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪Ml‬‬
‫‪Ft‬‬
‫‪f ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2v f‬‬
‫‪f ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫המכונית נעה ימינה במהירות ‪ vf‬ומסתובבת סביב מרכז המסה במהירות‬
‫זוויתית ‪.2vf/l‬‬
‫האופי הוקטורי של מתקף זוויתי‬
‫מתקף זוויתי מדגים אספקטים מפתיעים של הדינמיקה של סיבוב שהם‬
‫תוצאה של העובדה שמתקף זויתי ופיתול הוא וקטור ומקיים את חוקי‬
‫החיבור של וקטורים‬
‫גלגל סובב במהירות זוויתי ‪ ω‬ותנע זוויתי התחלתי ‪ Li‬במישור ‪ . xy‬הגלגל‬
‫מסתובב סביב ציר שאורכו ‪ l‬היוצר זווית ‪ i‬עם ציר ה‪ ,y -‬שמצידו אחד‬
‫קבוע בראשית ובצידו השני מקבל מכה מפטיש כלפי מטה‪.‬‬
‫̂‪J  Jk‬‬
‫המתקף של הפטיש‪:‬‬
‫) ̂‪J r  l  J  (l sin î  l cos ĵ)  (Jk‬‬
‫המתקף הזוויתי‪:‬‬
‫)̂‪J r  Jl ( cos î  sin j‬‬
‫המתקף הזוויתי הוא במישור ‪xy‬‬
‫ומאונך לציר הסיבוב‪.‬‬
‫השינוי בתנע הזוויתי‬
‫‪L  J r‬‬
‫‪Jr‬‬
‫הגלגל מקבל תוספת של תנע זוויתי שמאונך‬
‫לתנע הזוויתי המקורי‪.‬‬
‫‪Lf  Li  L‬‬
‫‪Lf‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L J r‬‬
‫‪tg() ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Li I‬‬
‫כיוון שהגלגל סובב סביב ציר‬
‫הסימטריה‪ ,‬הוא צריך להיות‬
‫תמיד מאונך לתנע הזוויתי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מסקנה‪ :‬הגלגל יסטה לכיוון ציר ‪y‬‬
‫בזווית ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪Li‬‬
‫בסרט מדע בדיוני‪ ,‬שבו אסטרואיד מתנגש בכדור‬
‫הארץ‪ ,‬אולפן הסרטים בונה מודל של כדור הארץ‬
‫התפוס בקוטב הדרומי ומסתובב במהירות זוויתי ‪ω‬‬
‫בכיוון של ‪ .+z‬האסטרואיד מתקרב בכיוון אופקי‬
‫לאורך ‪ –y‬ו"מגלח" בקוטב הצפוני‪ .‬מה קורה לכדור‬
‫הארץ?‬
‫ההתנגשות מוסרת מתקף של‬
‫̂‪J  Jj‬‬
‫המתקף הזוויתי‬
‫̂‪J r  r  J  2Rk̂  (Jĵ)  2RJ i‬‬
‫נוסף תנע זוויתי של ‪ L = RJ‬בכיוון ציר ‪ .x‬ציר‬
‫הסיבוב של כדור הארץ סוטה ממסלולו בזווית ‪.‬‬
‫בדרך כלל התנע הזוויתי שמוסר האסטרואיד‬
‫לכדור הארץ מקיים את היחס |‪.|L| << |Li‬‬
‫זווית הסטייה‬
‫‪L 2RJ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Li‬‬
‫‪I‬‬
‫‪‬‬
‫כיוון הסיבוב של כדור הארץ משתנה‪ ,‬אבל‬
‫לא מהירות הסיבוב‪.‬‬
‫‪7-10‬‬
‫‪7-16‬‬
‫‪7-12a‬‬
‫‪7-12b‬‬
‫‪7-14a‬‬
‫‪7-14b‬‬
‫‪7-17‬‬
‫פיתול על גלגל‬
‫‪N‬‬
‫נתון גלגל בעל מומנט התמד ‪ I‬המסתובב‬
‫במהירות זוויתית ‪ ω‬על ציר שאורכו ‪ .l‬הציר‬
‫נשען בקצה אחד על תמיכה‪ ,‬וחופשי‬
‫להסתובב‪.‬‬
‫בזמן ‪ t = 0‬התנע הזוויתי ‪ L = Iω‬הוא לאורך ציר ‪ .x‬כוח הגרביטציה ‪Mg‬‬
‫המכוון לאורך ‪ ,–z‬פועל במרכז המסה‪ .‬הגלגל אינו נופל כיוון שהציר מפעיל‬
‫כוח כלפי מעלה ‪ N‬המאזן את כוח הגרביטציה‪.‬‬
‫הפיתול על הגלגל כתוצאה מכוח‬
‫הגרביטציה‬
‫‪  Mgl‬‬
‫תוספת התנע הזוויתי היא בכיוון‬
‫ציר ‪.y‬‬
‫̂‪L  Mg ltj‬‬
‫התנע הזוויתי של הגלגל אחרי פרק זמן‬
‫‪ t‬יהיה‪:‬‬
‫̂‪L  Iî  Mgl tj‬‬
‫זווית‪Mgl‬‬
‫אם ‪ t‬הוא קצר‪t ,‬‬
‫הנקיפה תהיה‬
‫‪ ‬‬
‫‪I‬‬
‫מהירות הסיבוב של הגלגל סביב צירו נשארת‬
‫קבועה‪.‬‬
‫המהירות הזוויתית של‬
‫הנקיפה‬
‫‪ Mg l‬‬
‫‪P ‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪I‬‬
‫חלק מתנועת הסביבון מתואר ע"י תופעת‬
‫הנקיפה‪.‬‬