Transcript lnotes11.ppt

‫סיבוב‬
‫בג’ודו‪ ,‬המתחרה החלש יותר‪ ,‬יכול לנצח מתחרה חזק יותר אם הוא מבין‬
‫פיסיקה ‪.‬עובדה זו מודגמת בהטלה בסיסית שבה המתחרה מסובב את יריבו‬
‫סביב הירך ומטילו למזרן‪ .‬ללא ידיעת פיסיקה ההטלה דורשת הרבה כוח‬
‫ונכשלת לעיתים קרובות‪.‬‬
‫מהו היתרון המוצע ע"י‬
‫הפיסיקה?‬
‫כל תנועה היא שילוב של שתי תנועות‪ ,‬סיבוב והזזה‪.‬‬
‫הזזה היא תנועה בקו ישר‪.‬‬
‫זה היה נושא הקורס עד‬
‫עתה‪.‬‬
‫סיבוב הוא הנושא הבא‪ .‬תנועת כוכבי‬
‫הלכת ומחוגי השעון הם דוגמה לתנועת‬
‫סיבוב‪.‬‬
‫‪5-13a‬‬
‫‪5-13b‬‬
‫המשתנים הסיבוביים‬
‫נטפל בסיבוב של גוף קשיח‪ .‬גוף קשיח הוא גוף שכל חלקיו מסתובבים יחד‬
‫באותו קצב והוא שומר על צורתו‪ .‬הסיבוב נעשה סביב ציר קבוע שאיננו זז‪.‬‬
‫לא נטפל בסיבוב השמש סביב צירה כיון שהשמש היא כדור של גזים‬
‫וחלקי הכדור אינם נעים יחד‪.‬‬
‫לא נטפל בסיבוב של כדור באולינג או סביבון כיון שכיוון ציר הסיבוב אינו‬
‫קבוע‪.‬‬
‫סיבוב של ביצה קשה נופל במסגרת סיבוב הגוף הקשיח‪ .‬סיבוב ביצה רכה‬
‫אינו כלול‪ .‬מדוע?‬
‫ציר סיבוב‬
‫נתון גוף הסובב סביב ציר סיבוב‬
‫בגוף יש קו ייחוס‪ ,‬המסתובב יחד עם‬
‫הגוף‪.‬‬
‫קו ייחוס‬
‫קו הייחוס מאונך לציר הסיבוב‬
‫‪y‬‬
‫המיקום הזוויתי של קו הייחוס היא הזווית‬
‫שיוצר קו הייחוס עם קו יחסית לכיוון קבוע‬
‫קו ייחוס‬
‫‪s‬‬
‫‪x‬‬
‫‪s‬‬
‫‪θ ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫נניח שהגוף סובב סביב צירו‬
‫‪t2‬‬
‫קו ייחוס‬
‫ההעתק הזוויתי ניתן ע"י‬
‫‪‬‬
‫‪t1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Δθ  θ 2  θ1‬‬
‫המהירות הזוויתית הממוצעת‬
‫‪θ 2  θ1 Δθ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t 2  t1‬‬
‫‪Δt‬‬
‫המהירות הרגעית‬
‫‪Δθ dθ‬‬
‫‪ω  lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪Δt  0 Δt‬‬
‫והתאוצה הרגעית‬
‫‪dω‬‬
‫‪α‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ω avg‬‬
[] = rad
[] = rad/sec
[] = rad/sec2
?‫האם סיבוב הוא וקטור‬
‫‪A+BB+A‬‬
‫בסיבוב של ‪ ½‬קבלנו כי‬
‫כלומר סיבוב בזווית סופית אינו וקטור!‬
‫אם נקטין את זווית הסיבוב מצב הגוף לאחר התהליך ‪ B + A‬יתקרב למצב‬
‫‪ .A + B‬בגבול‪ ,‬בסיבוב בזווית אינפיניטסימלית ‪ d‬נקבל ‪A + B = B + A‬‬
‫זאת אומרת שהמהירות הזוויתית ‪‬‬
‫‪ = d / dt‬תהיה וקטור! כיוונו ניתן‬
‫ע"י כיוון ההתקדמות של בורג ימני‪.‬‬
‫כנ"ל לגבי תאוצה זוויתית‬
‫סיבוב נגד כיוון השעון הוא חיובי‪ .‬בכיוון השעון הוא שלילי‪.‬‬
‫סיבוב בתאוצה זוויתית קבועה‬
‫הקינמטיקה של תנועה זוויתית דומה לתנועה לינארית‪.‬‬
‫‪  0 +t‬‬
‫‪    t  ½t2‬‬
‫) ‪2  02 + 2  (  ‬‬
‫‪v = v0 + at‬‬
‫‪x – x0 = v0t +½at2‬‬
‫)‪v2 = v02 + 2a(x – x0‬‬
‫המשוואות המתארות את תנועת הסיבוב של גוף הנע בתנועה סיבובית‬
‫בתאוצה זוויתית קבועה זהות למשוואות של תנועה לינארית בהחלפה‬
‫מתאימה של המשתנים‪.‬‬
‫כל נקודה‪ ,‬הנמצאת במרחק אנכי ‪ r‬מציר הסיבוב‪ ,‬נעה בקשת שאורכה ‪s‬‬
‫כאשר קו הייחוס מתווה זווית ‪.‬‬
‫‪s  rθ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ds‬‬
‫‪dθ‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪v  ωr‬‬
‫זמן המחזור‬
‫‪2π‬‬
‫‪T ‬‬
‫‪ω‬‬
‫התדירות‬
‫‪ω‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ν‬‬
‫‪‬‬
‫‪2π T‬‬
‫‪v‬‬
‫‪P‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x‬‬
‫התאוצה המשיקית‬
‫‪dv dω‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪a t  αr‬‬
‫‪2‬‬
‫התאוצה הרדיאלית‬
‫‪v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ar   ω r‬‬
‫‪r‬‬
‫תאוצה רדיאלית היא תנאי הכרחי לתנועה סיבובית‪ .‬תאוצה משיקית יש רק‬
‫אם המהירות הזוויתי משתנה‪.‬‬
‫התמונה משמאל מראה צנטריפוגה‬
‫המשמשת לאימון האסטרונאוטים‬
‫להתרגל לתאוצות גבוהות‪ .‬רדיוס‬
‫הצנטריפוגה הוא ‪ 15‬מטר‪.‬‬
‫‪ .1‬מהי המהירות הזוויתית הקבועה של הסיבוב כדי שהאסטרונאוטים‬
‫ירגישו תאוצה לינארית של ‪.11g‬‬
‫התאוצה המשיקית היא אפס‪ .‬התאוצה הרדיאלית צריכה להיות ‪.11g‬‬
‫‪ar‬‬
‫‪11  9.8‬‬
‫‪rad‬‬
‫‪rev‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2.68‬‬
‫‪ 26‬‬
‫‪r‬‬
‫‪15‬‬
‫‪s‬‬
‫‪min‬‬
‫מהי התאוצה המשיקית של האסטרונאוטים אם הצנטריפוגה מואצת בקצב‬
‫קבוע ממנוחה למהירות הנ"ל במשך ‪ 120‬שניות‪.‬‬
‫‪ω  ω0‬‬
‫‪2.68  0‬‬
‫‪a t  αr ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪15  0.034g‬‬
‫‪t‬‬
‫‪120‬‬
‫התוצאה המשיקית למעשה זניחה בהשוואה לתאוצה הרדיאלית‪.‬‬
‫אנרגיה קינטית של סיבוב‬
‫הביטוי ‪ ½ m v2‬לא ניתן לשימוש לגוף מסתובב‪ .‬אם נתייחס למסה כמרוכזת‬
‫במרכז המסה ואם ציר הסיבוב עובר דרך מרכז המסה הרי הביטוי הנ"ל ייתן‬
‫לי אפס למרות העובדה הברורה שלגוף יש אנרגיה קינטית‪.‬‬
‫כל אלמנט של הגוף נע במהירות משיקית שונה אבל באותה‬
‫מהירות זוויתית ‪ .‬מחלקים את הגוף למספר רב של מסות‬
‫קטנות ‪.m i‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪r1‬‬
‫= ‪K = ½m1v12 + ½m2v22 + ½m3v32 + …..‬‬
‫‪K =  ½mivi2 =  ½mi(ri)2 = ½ (miri2) 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ m i ri2‬מראה את התחלקות המסות סביב ציר הסיבוב‪ .‬הוא קרוי‬
‫מומנט ההתמד ‪.I‬‬
‫המסה מרוכזת קרוב לציר הסיבוב‪.‬‬
‫המסה מרוכזת יותר רחוק מציר‬
‫הסיבוב‪.‬‬
‫מומנט ההתמד )‪ ( mi ri2‬של הקונפיגורציה השמאלית גדול יותר‪ ,‬למרות‬
‫שמדובר על אותו גוף‪.‬‬
‫‪I  m r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i i‬‬
‫‪i‬‬
‫ובהתחלקות רציפה של המסה‬
‫‪1 2‬‬
‫‪K  Iω‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I   r 2 dm‬‬
‫דוגמה – חישוב מומנט ההתמד של דיסקה‬
‫נתונה דיסקה שרדיוסה ‪ ,R‬עובייה ‪ b‬ומסתה ‪.M‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪r‬‬
‫מחלקים את הדיסקה לטבעות דקות בעלות‬
‫רדיוס ‪ r‬ועובי ‪.dr‬‬
‫‪R‬‬
‫‪dm  ρdV  (2rdr)b‬‬
‫‪dI  r dm   2 r b dr‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I   ρ 2π r b dr  ρ 2π b  (ρR b)  M‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫מומנטי ההתמד של גופים שונים נתונים בשרטוטים הבאים‪.‬‬
‫משפט הצירים המקבילים‬
‫גוף סובב סביב ציר העובר דרך מרכז המסה‪ .‬מומנט ההתמד יהיה‬
‫מומנט ההתמד לגבי ציר מקביל העובר במרחק ‪d‬‬
‫מהציר הקודם ניתן ע"י‬
‫‪cm‬‬
‫‪I = Icm + md2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪.Icm‬‬
‫הוכחה‬
.‫נצמיד לגוף מערכת צירים שמרכזה במרכז המסה‬
y
‫ג‬
cm
,( a, b ) ‫ ששיעוריה הם‬P ‫ציר נוסף עובר דרך‬
‫ ממרכז המסה‬d ‫המרוחקת מרחק‬
dm
P r
y-b
x-a
b
‫ציר סיבוב‬
x
a
.( x, y ) ‫ נמצא בנקודה‬dm ‫אלמנט מסה‬
I   r 2 dm   [( x  a) 2  ( y  b) 2 ]dm
I   ( x 2  y 2 )dm  2a  xdm  2b  ydm   (a 2  b 2 )dm
I cm   ( x 2  y 2 )dm
2a  xdm  2amxcm  0
2
2
2
(
a

b
)
dm

Md

2b  ydm  2bmycm  0
I  I cm  md
2
‫מומנט ההתמד של מוט שאורכו ‪ L‬ומסתו ‪ m‬ביחס לציר סיבוב העובר‬
‫במרכזו הוא ‪ .mL2/12‬מה יהיה מומנט ההתמד לגבי ציר סיבוב העובר‬
‫בקצהו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪L 2 1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I  I cm  md  mL  m( )  mL‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L/2‬‬
‫‪L/2‬‬
‫‪Icm‬‬
‫‪I‬‬
‫פיתול )‪(Torque‬‬
‫ידוע לנו מחיי יום‪-‬יום שהפעלת כוח על דלת לא בהכרח תפתח את הדלת‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫הדלת‬
‫תיפתח‬
‫‪F‬‬
‫הדלת לא‬
‫תיפתח‬
‫הדלת לא‬
‫תיפתח‬
‫המסקנה‪ :‬לא מספיק להפעיל כוח כדי לגרום לסיבוב‪ .‬מיקום הכוח וכיוונו‬
‫חשובים לא פחות מגודל הכוח‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫בכל המקרים בהם הדלת לא נפתחת קו הפעולה של הכוח עובר דרך‬
‫הציר‪.‬‬
‫מומנט הפיתול או המומנט‬
‫או מומנט הכוח יהיה‬
‫‪  rx F‬‬
‫כאשר ‪ r‬הוא הוקטור מהציר אל נקודת הפעולה של הכוח ‪.F‬‬
  rF sin 
F
Ft
r
  r ( F sin )  rFt
r
  (r sin )F  r F

‫זרוע הכוח‬
Fr
‫חוק ‪ II‬של ניוטון לגבי סיבוב‬
‫‪F‬‬
‫‪Ft  ma t‬‬
‫‪Ft‬‬
‫‪Fr‬‬
‫‪  Ft r  ma t r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a t  r‬‬
‫‪  m(r )r  mr ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  I‬‬
‫ואם פועל יותר מכוח אחד‬
‫‪ net  I‬‬
‫כאשר ‪ net‬הוא סכום המומנטים החיצוניים הפועלים על הגוף‪ .‬כוחות‬
‫פנימיים אינם יוצרים מומנטים‪.‬‬
‫דיסקה אחידה‪ ,‬שמסתה ‪ 2.5‬ק"ג ורדיוסה ‪ 25‬ס"מ‪,‬‬
‫מסתובבת סביב ציר אופקי קבוע‪ .‬גוש שמסתו ‪ 1.2‬ק"ג‬
‫תלוי במיתר חסר מסה המלופף סביב היקף הדיסקה‪.‬‬
‫מצא את תאוצת הגוש הנופל‪ ,‬את התאוצה הזוויתית של‬
‫הדיסקה והמתיחות במיתר‪ .‬המיתר אינו מחליק על‬
‫הדיסקה‪.‬‬
‫הגוש נע בתנועה לינארית‪ .‬פועל עליו כוח הגרביטציה‬
‫והמתיחות‪.‬‬
‫על הדיסקה פועלת רק המתיחות הגורמת לסיבוב‪.‬‬
‫כיון שאורך המיתר לא משתנה תאוצת הגוש היא גם‬
‫התאוצה המשיקית של הדיסקה‪.‬‬
M = 2.5 kg m = 1.2 kg R = 0.2 m
T - mg = ma
-RT = I 
a = R
I = ½MR2
T = -½Ma
a = -2mg / (2m + M) = -4.8 m/s2
T = 6.0 N
‫להפיל יריב שמשקלו ‪ 80‬ק"ג בהטלת ירך אתה‬
‫מתכוון למשוך את את בגדו בכוח ‪ F‬וזרוע כוח‬
‫של ‪ 0.30‬מטר מנקודת ציר על הירך שלך‪.‬‬
‫אתה מתכוון לסובב אותו סביב הציר במתאוצה‬
‫זוויתית של ‪ 6.0‬רדיאנים לשניה בריבוע‪ ,‬כלומר‬
‫בכוון השעון לפי הציור‪ .‬הנח כי מומנט ההתמד‬
‫של יריבך הוא ‪ 15‬ק"ג מטר‪.2‬‬
‫זרוע הכוח ‪d1‬‬
‫מרכז המסה של‬
‫היריב‬
‫ציר‬
‫ההטלה‬
‫‪ .1‬מהו הכוח ‪ F‬שעליך לכופף את יריבך קדימה להביא את מרכז המסה‬
‫שלו לירך לפני שאתה מטיל אותו‪.‬‬
‫הכוחות הפועלים על היריב‪ ,‬בנוסף לכוח ‪ F‬הם‬
‫כוח הגרביטציה ‪ Fg‬והכוח הנורמלי של הירך‬
‫בנקודת הציר‪ .‬אין מגע בין רגליו לבין הקרקע‪.‬‬
‫זרוע הכוח ‪d1‬‬
‫מרכז המסה של‬
‫היריב‬
‫‪N‬‬
‫רק הכוח ‪ F‬יוצר מומנט כיון ששני הכוחות‬
‫האחרים עוברים דרך הציר‪.‬‬
‫ציר‬
‫ההטלה‬
‫‪-d1F = I‬‬
‫‪F = 300N‬‬
‫הטלה נכונה‬
‫זרוע הכוח‬
‫‪d2‬של‬
‫משקל יריב‬
‫‪ .2‬לכמה כוח תזדקק אם יריבך נשאר זקוף‪.‬‬
‫כעת גם ל ‪ Fg -‬יש מומנט והוא מנוגד לכוון‬
‫ההטלה‪ .‬נניח שיריבך עומד ‪ 12‬ס"מ מאחורי‬
‫הציר‪.‬‬
‫‪-d1F + d2Fg = I‬‬
‫‪F = 610N‬‬
‫זרוע הכוח ‪ d1‬של‬
‫ההטלה‬
‫הטלה לא נכונה‬
‫עבודה ואנרגיה קינטית סיבובית‬
‫הכוח ‪ F‬מסובב את הגוף ‪ ,‬עושה עבודה ומשנה את‬
‫האנרגיה הקינטית‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪Ft‬‬
‫‪Fr‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1 2 1 2‬‬
‫‪K  I f  Ii  W‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dW  Ft ds  Ft rd‬‬
‫‪dW  d‬‬
‫‪f‬‬
‫‪dW‬‬
‫‪d‬‬
‫‪P‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪W   d‬‬
‫‪i‬‬
‫פסל‪ ,‬המורכב מחישוק שמסתו ‪ m‬ורדיוסו ‪ ,R‬ומוט דק שמסתו ‪ m‬ואורכו‬
‫‪ 2R‬מסודרים כפי שנראה בציור‪.‬‬
‫‪ .1‬מהו מומנט ההתמד של הפסל לגבי סיבוב סביב הציר‬
‫הנתון?‬
‫‪R‬‬
‫מומנט ההתמד של החישוק לגבי סיבוב‬
‫סביב קוטרו‬
‫‪R‬‬
‫‪h=2R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪I =½mR2‬‬
‫ציר סיבוב‬
‫מומנט ההתמד של המוט לגבי ציר‬
‫במרכזו‬
‫‪Icm = mR2/12‬‬
‫)‪I = Icm + mh2 = mR2/12 + m(2R)2 = 49/12(mR2‬‬
‫)‪Itotal = ½mR2 + 49/12(mR2) = 55/12(mR2‬‬
‫‪.2‬הפסל מתחיל ממנוחה ומסתובב סביב‬
‫הציר הנתון ומתהפך‪ .‬מהי מהירותו‬
‫הזוויתית בסוף ההיפוך?‬
‫‪R‬‬
‫‪h=2R‬‬
‫‪R‬‬
‫ציר סיבוב‬
‫‪R‬‬
‫הגוף מתהפך היפוך "טבעי" הודות לכוח הגרביטציה‪ .‬אין כוחות חיצוניים‪.‬‬
‫מרכז המסה היה בגובה ‪ ycm‬מעל ציר הסיבוב ויורד לגובה ‪ ycm‬מתחת לציר‬
‫הסיבוב‬
‫‪K  U  0‬‬
‫‪m ( 0)  m 2 R‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪y cm‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪I  2mg (2R )  0 K  1 I 2  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8mgR‬‬
‫‪96g‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪I‬‬
‫) ‪55R U  2mg (y cm‬‬