Transcript lec11.ppt
סיבוב בג'ודו ,מתחרה חלש שמבין פיסיקה יכול לנצח מתחרה חזק יותר. עובדה זו מודגמת בהטלה בסיסית שבה המתחרה מסובב את יריבו סביב הירך ומטילו למזרן .ללא ידיעת פיסיקה ההטלה דורשת הרבה כוח ונכשלת לעיתים קרובות. מהו היתרון שמציעה הפיסיקה? כל תנועה של גוץ מוצק היא שילוב של שתי תנועות ,סיבוב והזזה. הזזה היא תנועה בקו ישר. סיבוב הוא תנועה מחזורית דוגמת התנועה של מחוגי שעון. המשתנים הסיבוביים נטפל בסיבוב של גוף קשיח ,גוף שכל חלקיו מסתובבים יחד באותו קצב והוא שומר על צורתו .הסיבוב נעשה סביב ציר קבוע שאיננו זז. השמש אינה דוגמה של גוץ קשיח כיון שהשמש היא כדור של גזים וחלקי הכדור אינם נעים יחד. סיבוב של ביצה קשה נופל במסגרת סיבוב הגוף הקשיח .סיבוב ביצה רכה אינו כלול .מדוע? z ציר סיבוב נתון גוף הסובב סביב ציר סיבוב: בגוף יש קו ייחוס ,המסתובב יחד עם הגוף. קו ייחוס y קו הייחוס מאונך לציר הסיבוב. y x המיקום הזוויתי של קו הייחוס היא הזווית שבין רכיב קו הייחוס על מישור ה xy-לבין ציר ה.x- קו ייחוס s x s θ r r y ההעתק הזוויתי ניתן ע"י Δθ θ 2 θ1 t2 t1 2 קו ייחוס x המהירות הזוויתית הממוצעת: θ 2 θ1 Δθ ω avg t 2 t1 Δt המהירות הרגעית: Δθ dθ ω lim Δt 0 Δt dt והתאוצה הרגעית: dω α dt 1 [] = rad/sec2 [] = rad/sec [] = rad ?האם סיבוב הוא וקטור כלומר סיבוב בזווית סופית אינו וקטור! עכשיו נקטין את זוויות הסיבוב .בגבול ,בסיבוב בזוויות אינפיניטסימליות ,d1 ,d2נקבל d θ1 d θ 2 d θ 2 d θ1 זאת אומרת שהמהירות הזוויתית = d / dtהיא וקטור! וגם תאוצה זוויתית היא וקטור. סיבוב נגד כיוון השעון מגדר כחיובי. סיבוב בתאוצה זוויתית קבועה הקינמטיקה של תנועה זוויתית ותנועה קווית: 0 +t t ½t2 ) 2 02 + 2 ( v = v0 + at x – x0 = v0t +½at2 )v2 = v02 + 2a(x – x0 המשוואות של תנועת הסיבוב ,לגוף הנע בתאוצה זוויתית קבועה, זהות למשוואות של תנועה קווית (לאחר החלפה מתאימה של המשתנים). כל נקודה ,הנמצאת במרחק אנכי rמציר הסיבוב ,נעה בקשת שאורכה s=r כאשר קו הייחוס מתווה זווית . s rθ y ds dθ r dt dt v ωr זמן המחזור: 2π T ω התדירות: ω 1 ν 2π T v r x תאוצה משיקית: dv dω r dt dt תאוצה רדיאלית (צנטריפיטלית): a T αr v2 ar ω2 r r תאוצה צנטריפיטלית היא תנאי הכרחי לתנועה סיבובית .תאוצה משיקית יש רק אם המהירות הזוויתי משתנה. בתמונה :צנטריפוגה (עם 15 m = )rלאימון אסטרונאוטים כדי שיתרגלו לתאוצות גבוהות. .1מהי המהירות הזוויתית הקבועה של הסיבוב כדי שהאסטרונאוטים ירגישו תאוצה של ?11g התאוצה המשיקית היא אפס .התאוצה הרדיאלית צריכה להיות .11g ar 11 9.8 rad rev ω 2.68 26 r 15 s min .2מהי התאוצה המשיקית של האסטרונאוטים אם הצנטריפוגה מואצת בקצב קבוע ממנוחה למהירות הנ"ל במשך 120שניות? ω ω0 2.68 0 a T αr r 15 0.34 m/s 2 0.034 g t 120 למעשה aTהיא זניחה בהשוואה ל.ar- אנרגיה קינטית של סיבוב הביטוי K = mv2/2אינו שימושי לגוף מסתובב .אם נתייחס למסת הגוף כמרוכזת במרכז המסה ואם ציר הסיבוב עובר דרך מרכז המסה הרי שביטוי זה יתאפס על עף שלגוף יש אנרגיה קינטית. כל אלמנט של הגוף נע במהירות משיקית שונה אבל באותה מהירות זוויתית .מחלקים את הגוף למספר רב של מסות קטנות :m i … K = m1v122/+m2v22/2+ m3v32/2 + = mivi2/2 = (½) mi(ri)2 = (½) 2 miri2 I=mi ri2הוא מומנט ההתמד סביב ציר הסיבוב. v2 v1 r2 r1 מסה מרוכזת יותר רחוק מציר הסיבוב. מסה מרוכזת קרוב לציר הסיבוב. מומנט ההתמד של הגוף בצד שמאול גדול מזה של הגוץ בצד ימין, אל עף שמדובר באותו גוף. 1 2 K Iω 2 כאשר 2 I m r או I r dm ii 2 i דוגמה – חישוב מומנט ההתמד של דיסקה לדיסקה רדיוס ,Rעובי bומסה .M dr נחלק את הדיסקה לטבעות דקות בעלות רדיוס r ועובי .dr r R dm ρdV ρ(2πrdr)b dI r dm ρ 2π r b dr 3 2 2 2 4 R R R 2 I ρ 2π r b dr ρ 2π b (ρR b) M 0 4 2 2 R 3 מומנטי ההתמד של גופים שונים נתונים: משפט הצירים המקבילים: גוף מסתובב מסביב ציר העובר דרך מרכז המסה .מומנט ההתמד שלו הוא .Icmמסת הגוץ היא .M משפט :מומנט ההתמד של הגוץ ביחס לציר מקביל במרחק dמציר זה ניתן ע"י הנוסחה cm d I = Icm + Md2 הוכחת משפט ההתמד נצמיד לגוף מערכת צירים שראשיתה היא מרכז המסה שלו .ציר y נוסץ הוא הקו dm P rציר סיבוב y-b ,x=a, y=bהעובר דרך Pבמרחק dמציר .z x-a d אלמנט המסה dmנמצא בנקודה ) .( x, y b x (x 2 y 2 ) dm 2a x dm 2b y dm (a 2 b 2 ) dm I r 2dm [(x a) 2 (y b)2 ]dm } } } } Md 2 0 2amx cm 0 I cm I I cm Md 2 a cm מומנט ההתמד של מוט שאורכו Lומסתו ,Mביחס לציר A למטה ,הוא .ML2/12מהו מומנט ההתמד ביחס לציר ?B 1 L 2 1 2 2 I I cm md mL m( ) mL 12 2 3 A 2 L/2 B L/2 I Icm פיתול )(Torque ידוע לנו מחיי יום-יום שהפעלת כוח על דלת לא בהכרח תפתח את הדלת. F Fהדלת תיפתח. הדלת לא תיפתח. הדלת תיפתח. לא F המסקנה :לא די להפעיל סתם כוח .מיקומו וכיוונו של הכוח חשובים לא פחות מגודלו. F F F בכל המקרים בהם הדלת לא נפתחת ,קו הפעולה של הכוח עובר דרך הציר. מומנט הפיתול או המומנט או מומנט הכוחt הינו τ rF כשכוח Fפועל על נקודה rהביחס לציר הסיבוב. F FT זרוע הכוח Fr τ rFsinφ r τ r (Fsin φ) r FT r τ (r sin φ) F r F חוק IIשל ניוטון לגבי סיבוב: F FT ma T τ FT r maT r t m(r )r mr FT Fr r a T αr 2 t I ואם פועל יותר מכוח אחד אזי כאשרτ net Iα tnetהוא סכום המומנטים החיצוניים הפועלים על הגוף .כוחות פנימיים אינם תורמים ל.tnet- דיסקה אחידה ,שמסתה 2.5ק"ג ורדיוסה 25ס"מ, מסתובבת על ציר אופקי קבוע .גוש שמסתו 1.2ק"ג תלוי במיתר חסר מסה המלופף סביב הדיסקה ואינו מחליק עליה. מצאו את תאוצת הגוש הנופל ,את התאוצה הזוויתית של הדיסקה ואת המתיחות שבמיתר. על הדיסקה פועלת רק המתיחות הגורמת לסיבוב .על הגוש פועל גם כוח הגרביטציה .תאוצת הגוש היא גם התאוצה המשיקית של הדיסקה. M = 2.5 kg m = 1.2 kg R = 0.25 m :גוש T - mg = ma -RT = I a = R :דיסקה I = MR2/2 T = -Ma/2 לכן a = -2mg / (2m + M) = - 4.8 m/s2 = a/R= - 19.2 rad/s2 T = 6.0 N להפיל יריב שמשקלו 80 kgבהטלת ירך ,יש למשוך את בגדו בכוח Fעם זרוע כוח של 0.30 mמנקודת ציר על הירך שלך. יש לסובב אותו סביב הציר בתאוצה זוויתית ,-6.0 rad/s2כלומר בכוון השעון לפי הציור .מומנט ההתמד של יריבך הוא 15 .kg.m2 זרוע הכוח d1 מרכז המסה של היריב ציר ההטלה .1מהו הכוח Fהדרוש להטיל את היריב ,אם מכופפים את מרכז המסה שלו קדימה לירך לפני שמטילים אותו? אם אין מגע בין רגליו לבין הקרקע ,אזי הכוחות הפועלים על היריב ,בנוסף לכוח ,F הם רק כוח הכובד Fgוהכוח הנורמלי של הירך בנקודת הציר. זרוע הכוח d1 מרכז המסה של היריב N רק הכוח Fיוצר מומנט מאחר ושני הכוחות האחרים פועלים דרך הציר. ציר ההטלה -d1F = I F = 300N הטלה נכונה זרוע הכוח d2של משקל יריבך .2מהו הכוח Fהדרוש אם היריב נשאר זקוף על הקרקע? כעת גם ל Fg -יש מומנט והוא מנוגד לכוון ההטלה .נניח שמרכז המסה שלו נמצא 12 cmמאחורי הציר. -d1F + d2Fg = I זרוע הכוח d1של ההטלה F = 610N הטלה לא נכונה עבודה ואנרגיה קינטית סיבובית F כוח Fמסובב גוף ,עובד עליו ומשנה את האנרגיה הקינטית שלו. 1 2 1 2 K Iωf Iωi W 2 2 Ft Fr r dW FT ds FT rdθ τ dθ f W td i dW dθ P τ τω dt dt פסל מורכב מחישוק שמסתו Mורדיוסו ,Rומוט דק שמסתו M ואורכו ,2Rהמסודרים לפי הציור: R .1מהו מומנט ההתמד של הפסל ביחס לסיבוב סביב הציר האפור? R h=2R R מומנט ההתמד של החישוק לגבי סיבוב סביב קוטרו הוא .I =MR2/2 ציר סיבוב מומנט ההתמד של המוט סביב ציר ניצב שבמרכזו הוא .Icm = MR2/12 I = Icm + Mh2 = MR2/12 + M(2R)2 = (49/12)MR2 Itotal = MR2/2 + (49/12)MR2 = (55/12)MR2 .2הפסל הנייח מתחיל להסתובב סביב הציר האפור ,ומתהפך .מהי מהירותו הזוויתית בסוף ההיפוך? R h=2R R ציר סיבוב K U 0 ) ΔU Mg(4R 1 2 Iω ΔK 4MgR 2 96g 55R 8MgR I ω R