Transcript Document 7517319
Error Analysis for Iterative Methods
p n 1 g(p n ) Let
n
0 is a sequence that p n p with p n p for all n If n lim p n 1 p n p p α λ then
n
0 converges to p of order α α 1 linear convergenc e α 2 quadratica l convergenc e Note : an error
e n
p
p n
or
e n
x n
in previous notation
תודוקנ
n
ס " ע " Fixed Point " תטיש
תויראיניל אל תואוושמ לש ןורתפל תוטיש שולש ונחתיפ תמדוקה האצרהב
f
(
x
) 0 תלחתהל )
a
,
b
( םיכרע 2 ושרד " Regula Falsi " תטישו הייצחה תטיש
.
α
שרושל וסנכתהש ...
,
x
2 ,
x
1 םיבוריק ובשיח ולא םינותנ ךמס לעו תויצארטיאה דחא ןותנ ךמס לע קר אבה בוריקה תא םילבקמ " תבש תדוקנ " תטישב , תאז תמועל
x i
1
F
(
x i
) : החסונה יפל םדוק בוריק האוושמה תא םייקמש
α
שרושל לובגב האיבמ תאזה הטישה , תסנכתמ םא
F
( ) :) Fixed Point ( " תבש תדוקנ " לש
F
( ) 1 : אוה תוסנכתהל יחרכה יאנת רשאכ תיטיא תוסנכתה ← ןושאר רדסמ תוטיש ןה הכ דע ונחתיפש תוטישה לכ
n
ל " תבש תדוקנ " לש הטישה תא לילכנ תוסנכתהה בצק תא ץיאהל ידכ
x i
1
F
(
x i
,
x i
1 ,
x i
n
1 ) : תודוקנ .
םימדוק םיבוריק
n
ס " ע אבה בוריקה תא םילבקמ , רמולכ ...
קוידב אל ...
לבא , ןכ ?
הז גוסמ תוטיש ונל ויה רבכ םאה
) Secant ( רתימה תטיש
וז הטישב לבא )
n
= 2 םע ( תושירדה לע הנוע .
םינמיסה תקידב ללגב
טעמכ
" Regula Falsi " תטיש
x i
,
x
i-1 ב יולת דימת אל
x i
+1 אבה בוריקה ." רתימה תטיש " תארקנ םינמיסה תקידב ילב לבא " Regula Falsi " ונבשיחש ומכ בשחנ ל המוד הטיש
x
2 אבה בוריקה תא
x
2 .
x
0 ,
x
0
f f x
1 ( (
x
1
x
1 ב ) )
a
0 ,
b
0 הלחתהה תודוקנ ןמסנ
f x
1 (
x
0
f
) (
x
0 ) : RF ב
m
תא
x
0
x
2
x
1
x i x
2
F
( 1
F
( .
תודוקנ : החסונה יפל בשוחמ
x
1
x i
2 , ,
x
0 )
x
2 א " ז
x i
םע 1 ) , Fix Point האלה ןכו תטיש תאז ?
" תבש תדוקנ " תטיש תמאב תאז םאה : שרושה ותוא תא הריזחמ היצקנופה ) ל " שמ (
F
( ,
x i
)
x i
f f
( ( ) )
, F
ל שרושה תא םיביצמ רשאכש קודבל ךירצ
f F
( (
x i f
) ( ,
x i x i
) )
x i
0 0
f
(
x i f
( )
x i
) : קודבנ
הטישה תוסנכתהו המגוד – רתימה תטיש
i
1 2 3 4 5 .
רתימה
x i
1.16667
1.25311
1.33721
1.32385
1.32471
e i
0.158
e i
/
e i
1
x
x
1 0 : תויצארטיא עצבנו
x
0 = 2 ,
x
1 = 1 מ ליחתנ 0.0716
0 .
453 ?
המל .
1 מ הובג ?
הטישה רדס והמ 0.0125
0.00087
0 .
175 0 .
0696 תואיגשה סחיש םיאור הנורחאה הדומעב .
ןטקו ךלוה אוה .
עובק אל
e i
1 /
e i
0.00001
0 .
0115 1.67
אוה הטישה רדס , ןכבו .
e
C e x
0
x
2
x
1 רמוא תיסחי הובגה הטישה רדס םאה ?
תומדוקה תוטישמ הפידע הטישהש תסנכתמ דימת אל הטישה : !
חרכהב אל ףרגב תוארל ןתינש יפכ ץיאה םינמיסה תקידב לע רותיו .
:
הנקסמ
רשוכב הרמחהל םרג לבא הטישה תא התוסנכתה
(Newton-Raphson) ןוספאר ןוטוינ תטיש
הריזגו תושרופמ העודי
f f
(
x
) איה רתימה תטיש לש אחסונה .
רתימה תטיש תא רפשל רשפא יזא
x i
1
x i
1
f f
(
x
(
x i
)
i
)
x i
1
x i
f
(
x i
1 )
f x i
(
x i
1 )
f f
( (
x i x i
) )
x i
f x
(
x i
)
i
: לבקנ יזא .
x i x i
1
f
1 (
x i
1 )
x i f
(
x i
) .) NR ( ןוספר ןוטוינ תטיש תאז ?
" תבש תדוקנ " תטיש םג תאז םאה :
F
(
x
)
x
f
(
x x i
) )
F
( )
f f
( ( ) ) 0
f
(
x i
1
x i
.
תרזגנ םע היצקנופל תללכומ " תבש תדוקנ " תטיש הניה NR , ןכ
ןוספאר ןוטוינ תטיש תוסנכתה
F
( ) 1 : שורד " תבש תדוקנ " תטיש תוסנכתהל יכ ונחכוה
F
(
x
)
d dx
x
: ר " נ תטיש רובע הזה יאנתה תא קודבנ
f f
( (
x
)
x
) 1
f
(
x
) 2
f
(
f x
) ( 2
x
)
f
(
x
)
f
(
f x
( )
f x
( ) 2
x
) : םייקתמ ) לופכ שרוש ונניא אוה
α
האוושמה שרוש א " ז (
f
( ) 0
F
( )
f
(
f
) (
f
) ( 2 ) 0 1
.
α
ל בורק קיפסמ ) ]
x
0 ,
α
[
x
0 יתלחתה שוחינ םא תסנכתמ הטישהש חיכומ הזו עטקל ךיישה
x F
(
x
) 1 , השעמל (
ןוספאר ןוטוינ תטיש לש האיגשה תכרעה
x i
1
e i
1
f
(
x i
)
e i
f
( ) (
x i
f f
( (
x i x i
) ) : הטישה תחסונ לש םיפגאה ינשמ
α
ריסחנ )
f
( :
α
) 1 2 (
x i
) 2
f
(
f
(
x i
)...
),
f
(
x i
)
e i f
( ) 1 2
e i
2
f
( )
e i
1
f
(
x i
)
f
( )
e i f
( )
O
(
e i
2 ) םגו
e i
e i
e i e i f
1 (
f
) ( ) 1 2
e i
2
e i
e i f f
( ( ) )
f f
( : לבקנ .
האיגשה תחסונל םירוטה תא ביצנ ) ( 1 2 )
e i
2
f f
( ( ) )
e i
1 1 2
f f
( ( ) )
e i
2
!
2 רדסמ הטיש איה NR תטיש
המגוד ןוספאר ןוטוינ תטיש
.
ר "
x i
1
x i
x i
3 3
x
i
2
x i
1
x
1
x
1 0 יפל תויצארטיא עצבנו
x
0 = 1 מ ליחתנ
i
1
x i
1.5
-
e i
0.175
e i
/
e i
2 1 2 3 4 5 1.34783
1.32520
1.3247182
1.32471796
0.023
0.00048
2.2
10 7 4.4
10 14 0.752
0.903
0.931
0.931
e i e i
2 1 1 2
f f
( ( ) ) 3 3 2 1 : יטרואיתה ךרעה תא בשחנ 0 .
932 !
ירמונה בושיחל דאמ בורק
ןנורתפל םיכרדו ןוספאר ןוטוינ תטיש תולבגמ
שי וז הטישל םג לבא .
הכ דע ונדמלש תוטישה לכמ הריהמה איה ר " נ תטיש : תולבגמו תונורסח
f
(
x
.
א : תסנכתמ דימת אל הטישה .
ב ?
הפ הרוק המ
α x
2
x
1
x
0 אוה תוסנכתהל יאנת יכ ונחכוה ]
x
0 ,
f
(
f x
( )
f x
( ) 2
x
)
α
[ עטקל ךיישה 1
x
לכ רובע
f
(
x
) 0 : ןוציק תודוקנ שי הזה עטקב רשאכ אוה ןכוסמ יכהו תויצארטיאה תא םיליחתמ םא תוסנכתה חיטבהל רשפא רויצבש המגודב .
α
שרושל רתוי הבורק
x
0 הדוקנמ
םיבורמ םישרושל ןוספאר ןוטוינ תטיש לש הללכה
f
( ) 0 םג לבא
ונא שרושה תברקב יזא !
תורצל םיפצמ
f
(
f f
) 0 ( (
x i x i
) ) םג יזא , הבורמ שרוש אוה
α
רשאכ ב תשמתשמ NR תטישש ןוויכ , ןכלו ?
2 רדסמ ראשית תוסנכתהש ךכ היעבה תא םירתופ ךיא : איה הז הרקמל NR תטיש יזא )
p
רדסמ יובירהש חיננ (
: הליגרה
α
לש יובירה עודי םא
u
(
x
) .
f f
( ( !
x
)
x
2 רדסמ איהו )
יוביר אלל לבא
u
(
x
)
x i
1 0
x i
רזע תיצקנופ רידגנ ןכל
.
p f f
( (
x i x i
) )
עודי אל יובירה ללכ ךרדב לבא האוושמה לש שרוש םג אוה
α
ש חיכונו NR תטיש יפל עצבל ןתינ
α
לש בושיח יזא
p
1 רדסמ יובירב ההז שרוש
x i
1
f
(
x
)
x i
u
(
u
(
x i x i
) ) ל יזא ,
p
יוביר לעב שרוש
f
(
x
) ל םא
: החכוה
) ל " שמ ( .
1 רדסמ יוביר לעב שרוש
u
(
x
) ל ןכלו
Newton-Raphson ) םיבורמ םישרוש ( - Exam
: איה NR תטיש יזא )
p
רדסמ יובירהש חיננ ( !
2 רדסמ איהו
x i
1
x i
α
שרוש לש יובירה עודי םא
f p f
( (
x i x i
) )
: תובושתו תולאש .
ןכ ?
רחא C עובקב p םוקמב םישמתשמ םא סנכתת הטישה םאה .
א .
אל ?
2 היהי תוסנכתהה רדס הז הרקמב םאה .
ב ?
p תא אצומ תייה ךיא .
עודי וניא p יובירה לבא הבורמ אוה שרושה יכ עודי .
ג
: הלאש תוסנכתהה יכ וארהו NR
x 4 16x 3 90x 2 200
x
תטישב םישרושה ינש תא ואצמ .
125 0
הבורמ שרוש אוה ?
ינשה שרושה לש יובירה והמ .
2 רדסמ איה
Newton-Raphson Method for Nonlinear Systems
The idea of fixed point methods x g(x) : to construct (x) that g(x) x (x)f(x) Newton Raphson : (x) 1/ f (x) assuming f (x) 0
How to generalize this idea for a system of equations ?
Newton-Raphson Method for Nonlinear Systems
g(x)
x -
(x)f(x)
How to generalize this idea for a system of equations ?
G
(
x
)
x
A
(
x
) 1
F
(
x
)
x
(x 1 , x 2 ,..., x n ) T a vector of unknows
F
(
x
) (f 1 , f 2 ,..., f n ) T a vector of systems
A
a matrix
Newton-Raphson Iteration Method for Nonlinear Systems
G
(
x
)
x
A
(
x
) 1
F
(
x
)
Then the iteration process is defined by:
x
n 1
x
n
A
(
x
n ) 1
F
(
x
n )
Newton-Raphson Method for Nonlinear Systems x
2
xy
2 cos(
y
) 0 : תכרעמה תא רותפל שורד : המגוד
f
1 (
x
1 ,
x
2 )
f
2 (
x
1 ,
x
2 )
x
2 1
x
1
x
2
x
2 3
x
1
x
2 2 2 cos(
x
2 ) 3 : תירוטקו הרוצב רתוי רצק וא
F
(
x
)
y
3
xy
2 3 0 0 : תויצקנופבו ב שמתשנ תויללכ םשל
x
: םינתשמ
x
1
x
2
y
f
1 (
x
1 ,
x
2 , ,
x n
)
f
2 (
x
1 ,
x
2 , ,
x n
) 0 0 : יללכ ןפואבו
f n
(
x
1 ,
x
2 , ,
x n
) 0 : תואוושמה תכרעמ תא םייקמש ( 1
F
( ) , 0 2 , ,
n
) רוטקו אוצמל ךירצ , ןכבו
תואוושמ תכרעמל ןוספאר ןוטוינ תטיש
: שרושה ביבס רולייט רוטב תכרעמה לש תויצקנופה חתפנ
: הטישה חותיפ
f
1 (
x
)
f
2 (
x
)
f
1 ( ) (
x
1 1 )
f
1
x
1
f
2 ( ) (
x
1 1 )
f
x
2 1
x
x
f n
(
x
)
f n
( ) (
x
1 1 )
f
x n
1 (
x
2 2 )
x f
1 2 (
x
2 2 )
x f
2 2
x
(
x n
n
)
x f n
1
x
(
x n
n
)
x f
2
n
x
x
x
(
x
2
f
(
x
) 2 )
x f n
2
x
x
f
x
f
x
1 1
n
1 (
x
)
f
x
1
n
f
x n n
...
: (
x n
x n
)
x f n n
x
x
: ןמסנ הרוצ תלבקמ תכרעמה : ןאיבוקעי אוה ]
J
[ רשאכ
תואוושמ תכרעמל ר " נ תטיש חותיפ ךשמה
: לבקנ .]
J
1 [ תיכפוה הצירטמב תמדוקה האוושמה לש םיפגאה ינש תא ליפכנ
x
: האוושמהמ
x
F
(
x α
תא ץלחנו ) ...
x
x
יכ רוכזנ וישכע
x
x
F
(
x
) : שרושל בוריק לבקנ קיודמ שרוש םוקמב יזא 1 > רדסמ םירבא חינזנ םא
x i
1
x i
x
x i
F
(
x i
) .
תויראיניל אל תואוושמ תכרעמל ןוספאר ןוטוינ תטיש תאז !
יתלחתה שוחינב יולת הזו תסנכתמ דימת אל איה לבא
ינש רדסמ
איה הטישה
2
ר " נ תטיש י " ע תואוושמ תכרעמ לש ןורתיפ תמגוד
f x : הספילאו לגעמ תראתמש תכרעמה תא רותפל שורד 3 (
x
1 ) 2 (
y
2 ) 2 3 2 1
x
2 4
y
2 3 1 2 ( 0 .
69105 , 1 .
62537 ), : םישרוש 1 2 שי תכרעמל ( 1 .
90629 , 0 .
52398 ) x 1 1 1 2
α
1 ל סנכתנו ) 1.0
, 1.0
( יתלחתה שוחינב רחבנ
.) α
2 לבקנ זא ) 0 , 1.0
( ב ליחתנ םא (
f
1 (
x
,
y
) (
x
1 ) 2 (
y
1 ) 2 3
f
2 (
x
,
y
)
x
2 4
y
2 3 1
f
1
f x
2
x
: ) Jacobian ( ןאיבוקעי תא אצמנ
f
1
f y
y
2 2 (
x x
/ 2 1 ) 2 ( 2
y y
/ 2 ) 3
) ךשמה ( תואוושמ תכרעמ לש ןורתיפ תמגוד
x
1
x
0 1 1 2 (
x x
/ 2 2 1 / / 3 2 1 ) 2 ( 2
y y
/ 3 2 ) 1
x
x
0 2 0 2 0 .
4166
F
(
x i
) 3 .
1666 0 1 1 1 / 0 2 2 / 2 3 : תויצארטיא עצבנ 1 0 .
2 4166 : תחא היצאטיא דוע השענ .
ןורתיפהמ ונתוא הקיחרמ הנושאר היצארטיא
x
2 3 .
1666 0 2 ( 3 .
1666 3 .
1666 / 2 1 ) 2 ( 0 0 2 ) 1 2 .
1666 3 .
1666 2 2 / 4 4 0 3 1 3 .
1666 0 1 4 .
3333 .
58333 0 4 1 5 .
6944 1 .
5069
x
3 3 .
1666 0 1 .
927 0 .
515 0 .
9517 0 .
3925 2 .
249 0 .
3925 תנתונ תישילשה היצארטיאה 1 ( 1 .
90629 , 0 .
52398 ) שרושל הבורק רבכ האצותה