Transcript Bileşik önerme nedir? - iop-teo-20C-BayramARSLAN

Hazırlayan:

Hakan Bozkurt
Temel Soru
Aristo
kimdir?
Ünite Soruları
Doğru
ve sistemli
düşünmeyi biliyormuyuz?
İçerik Soruları
Terim nedir?
 Önerme nedir?
 Bir önermenin tersi nedir?
 Bileşik önerme nedir?

Ünite Özeti

Mantık nedir? Önermeler ,bileşik
önermeler ve bağlaçlar, ispat yöntemleri
ÜNİTE I
MANTIK
 1. ÖNERMELER
 a. Mantık
 b. Terim,tanımlı ve tanımsız terimler
 c. Önermenin tanımı sembolle gösterim
 ç. Önermenin doğruluk değeri
 d. Önermenin doğruluk değerleri tablosu
 e. Denk (eşdeğer) önermeler
 f. Bir önermenin değili (olumsuzu)

BİLEŞİK ÖNERMELER
 a. Bileşik önermeler
 b. Veya (V) bağlacı ile kurulan bileşik
önermeler ve özelikleri
 c. Ve (Λ) bağlacı ile kurulan bileşik önermeler
ve özelikleri
 d. (V) ve (Λ) işlemlerinin birbiri üzerine
dağılma özeliği
 e. De Morgan (Dö Morgan) kuralları
 f. Totoloji ve çelişki

Koşullu (şartlı) önermeler
 I. ise (⇒) bağlacı ile kurulan bileşik
önermeler
 II. Koşullu önermenin karşıtı, tersi, karşıt tersi
 III. Koşullu önerme ile ilgili özelikler
 IV. Ancak ve ancak (⇔) bağlacı ile kurulan iki
yönlü koşullu önermeler
 V. iki yönlü koşullu önerme ile ilgili özelikler

AÇIK ÖNERMELER
 a. Açık önermeler
 b. Açık önermenin doğruluk (çözüm)
kümesi
 c. Niceleyiciler
 I. Evrensel niceleyici (her)
 II. Varlıksal niceleyici (bazı)
 III. Niceleyicilerin değili












İSPAT YÖNTEMLERi
a. Tanım
b. Aksiyon
c. Teorem
d. İspat yöntemleri
I. Doğrudan ispat yöntemi
II. Olmayana ergi ile ispat yöntemi
III. Deneme yöntemi ile ispat
IV. Aksine örnek verme yöntemi ile ispat
V. Tümevarım yöntemi ile ispat
VI.Tümden gelim yöntemi ile ispat
BU ÜNİTENİN AMAÇLARI








* Önermelerle ilgili temel kavramların bilgisi olan
terimi, tanımlı ve tanımsız terimleri
örneklerle açıklayabilecek,
* Önermenin tanımını, sembolle gösterimini, doğruluk
değerini, iki önermenin
denkliğini açıklayabilecek ve doğruluk değerleri
tablosu yapabilecek,
* Bir önermenin değilini açıklayabilecek,
* Birleşik önermeyi açıklayabilecek,
* “ Ve”, “veya”, bağlaçları ile kurulan birleşik
önermelerin özelliklerini açıklayabilecek,
* De Morgan kuralları ile totoloji ve çelişkiyi doğruluk
tablosu yaparak gösterebilecek,









* Koşullu önermeleri açıklayabilecek, iki yönlü koşullu
önerme ile koşullu önermeler
arasındaki ilişkiyi ve özelikleri açıklayabilecek,
* Açık önermeyi ve doğruluk kümesini açklayabilecek,
* Evrensel ve varlıksal niceleyicilerini örneklerle
açıklayabilecek, bu niceleyicileri
içeren önerme ve bileşik önermelerin olumsuzunu
yazabilecek,
* Verilen bileşik önermede, terim, aksiyom, teorem ve ispat
kavramlarını açıklayabilecek,
* Bir teoremin hipotezini ve hükmünü belirtebilecek, bir
teoremin karşıtını, tersini,
karşıt tersini, yazabilecek,
* İspat yöntemlerini açıklayabileceksiniz.
Mantık, doğru düşünme bilimidir. Doğru
düşünme ve doğru yargıya, mantık
kuralları
 ile ulaşılır.
 Matematiğin amacı, doğru ve sistemli
düşünebilmeyi kazandırmaktır. Mantık
 Kuralları bilinmeden, matematiğin amacına
ulaşılamaz.

Mantığa matematiksel yapı kazandıran
İngiliz bilim adamı George Boole’dir.
 Boole’ün ortaya koyduğu sistem, sembolik
mantık adıyla anılır. Biz, bu bölümde
 matematiğin dilini oluşturmak amacıyla,
sembolik mantığın temel kurallarını
 inceleyeceğiz.

Terim, Tanımlı ve Tanımsız Terimler
 Bir bilim dalı içerisinde, konuşma dilinden
farklı anlamı (özel anlamı) olan
sözlüklerden
 her birine, o bilim dalının bir terimi denir.

Bir terimin anlamını belirtmeye, terimi
tanımlamak denir.
 Üçgen, çember, doğru parçası birer
matematiğin tanımlı terimleridir.
 Bazı terimleri tanımlayamayız. Sezgi yolu
ile bu terimleri kavrarız. Bu tür terimlere
 tanımsız terim denir.
 Nokta, doğru, düzlem birer matematiğin
tanımsız terimidir.

Önermenin Tanımı, Sembolle
Gösterimi
Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm
bildiren ifadelere, önerme denir.
Önermeler
 genel olarak p, q, r, s, vb. gibi harflerle
gösterilir.

p : “Türkiyenin başkenti Ankara’dır.”
 q : “Bir yıl 12 aydır.”
 r : “İyi günler.”
 s: “Tavuk dört ayaklı bir hayvandır.”
 Burada p, q ve s ifadeleri birer önermedir.
Çünkü doğru veya yanlış bir hüküm
 bildirmektedir. r ifadesi ise bir önerme
değildir. Kesin olarak, doğru veya yanlış bir
 hüküm bildirmemektedir.

Önermenin Doğruluk Değeri
Bir önerme doğru ise doğruluk değeri “1”
veya “D” ile, önerme yanlış ise doğruluk
 değeri “0” veya “Y” ile gösterilir.

Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerini
belirtelim
 p: “Bir gün 24 saattir.”
 q: “9 asal bir sayıdır.”
 r: “Adana Ege bölgesindedir.”
 s: “Eşkenar üçgenin bütün kenarlarının
uzunlukları eşittir.”
 Burada ki p, q ve s önermeleri doğrudur.
Doğruluk değerleri “1”dir. r önermesi ise
 yanlıştır. Doğruluk değeri “0” dır.










Aşağıda verilen önermelerin, doğruluk değerlerini
bulalım. Bu önermelerden,
birbirine denk olanları ≡ sembolü ile denk olmayanları
ise ≡ sembolünü kullanarak
gösterelim.
p : “En küçük doğal sayı sıfırdır.”
q : “Bir tek ve bir çift doğal sayının çarpımı, tek doğal
sayıdır.”
r : “Köpek memeli bir hayvandır.”
s : “Dikdörtgenin bütün kenarları, birbirine eşittir.”
Verilen önermelerin doğruluk değerleri için, p ≡ 1, q≡ 0,
r ≡1 ve s ≡ 0 dır.
O halde, p ≡ r, q ≡ s, p ≡ q, p ≡ s, q ≡ r yazabiliriz.
Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)
Verilen bir önermenin hükmünün
değiştirilmesiyle, elde edilen yeni
önermeye, bu
 önermenin değili (olumsuzu) denir.
 Bir p önermesinin değili p′, p ya da ~p
sembollerinden birisi ile gösterilir.
 “p nin değili” diye okunur.

BİLEŞİK ÖNERMELER








Bu bölümde, “veya”, “ve”, “ise”, “ancak ve ancak”
bağlaçlarını kullanarak yeni
önermeler oluşturacağız.
iki veya daha çok önermenin, “ve”, “veya”, “ise”, “ancak
ve ancak” gibi bağlaçlarla
bağlanmasından elde edilen yeni önermelere, bileşik
önermeler denir.
Bileşik olmayan önermelere de basit önerme denir.
Önermeleri birbirine bağlayan, “ve”, “veya”, “ise”,
“ancak ve ancak” gibi terimlere
mantıksal bağlaç denir. Bu bağlaçlarla birbirine
bağlanan önermelere, bileşik önermenin
bileşenleri denir.
Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere,
bu basit önermelerin “veya”
 bağlacı ile bağlanmasından meydana gelen bileşik
önermeye, p veya q bileşik önermesi
 denir. pVq şeklinde gösterilir.
 pVq bileşik önermesinde, bileşenlerden en az birisi
doğru iken doğru, ikisi de
 yanlış iken yanlıştır.
 pVq bileşik önermesinin doğruluk değerleri
tablosu, aşağıdaki şekilde yapılmıştır.
 Bu tablodan görüldüğü gibi, 1V1 ≡ 1, 1V0 ≡ 1 ,
0V1 ≡ 1, 0V0 ≡ 0 olduğu görülmektedir.

p: “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölüdür.”
 q: “Her çift sayı 2 ile bölünür.” önermeleri
veriliyor. Bu önermeler için pVq bileşik
 önermesini yazalım ve doğruluk değerini
bulalım.
 pVq : “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölü
veya her çift sayı 2 ile bölünür.” diye yazılır.
 p ve q önermeleri doğru önermelerdir. Buna
göre, pVq ≡ 1V1 ≡ 1 olup, bu bileşik
 önerme doğrudur.

Veya Bağlacı ile Kurulan Bileşik
Önermelerin Özelikleri
Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun.
Bu önermeler için aşağıdaki özelikler
vardır.
 1. pVp ≡ p (Tek kuvvet özelliği)
 2. pVq ≡ q V p (Değişme özeliği)
 3. p V (q Vr) ≡ ( p V q ) Vr (Birleşme
özelliği)
 4. pV1 ≡ 1 ve pV0 ≡ p

Verilen [(1V0) V0] V (1V0) bileşik
önermesinin doğruluk değerini bulalım.
 Verilen [(1V0) V0] V (1V0) ≡ (1V0) V1 ≡
1V1 ≡ 1 olur.
 O halde, verilen bileşik önerme doğrudur.

Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak
üzere, p ile q önermelerinin “ve” bağlacı
 ile bağlanmasından oluşan bileşik
önermeye, p ve q bileşik önermesi denir. p
Λ q şeklinde
 gösterilir.
 p Λ q bileşik önermesi, p ve q
önermelerinin ikisi de doğru iken doğru,
diğer durumlarda yanlıştır

p : “Portakal meyvedir.”
 q: “Üzüm sebzedir.” önermeleri için p Λ q
bileşik önermesini yazalım. Doğruluk
 değerini bulalım.
 p Λ q: “Portakal meyve ve üzüm sebzedir.”
 p önermesi doğru, q önermesi yanlıştır.
p≡1, q≡ 0 dır.
 Buna göre, p Λ q ≡ (1Λ 0) ≡ 0 olup, bileşik
önerme yanlıştır.

Ve Bağlacı ile Kurulan Bileşik
Önermenin Özelikleri
Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun.
Bu önermeler için aşağıdaki özelikler
vardır
 1. p Λ p ≡ p (Tek kuvvet özelliği)
 2. p Λ q ≡ q Λ p (Değişme özelliği)
 3. p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) r (Birleşme özelliği
 4. p Λ 1≡ p ve p Λ 0 ≡ 0

De Morgan (Dö Morgon) Kuralları
(Bileşik Önermenin Olumsuzu)
Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak
üzere, “V” ya da “Λ” bağlacı ile elde edilen
 bileşik önermeler ile bu önermelerin
olumsuzları arasında, (p V q)´≡ p´ Λ q´ ile
 (p Λ q)´≡ p´Vq´ bağıntısı vardır. Bu
bağıntılar, De Morgan Kuralı adını alırlar.

Totoloji ve Çelişki
Bir bileşik önerme, kendisini oluşturan her
değeri için daima doğru oluyorsa, bu
 bileşik önermeye totoloji, daima yanlış
oluyorsa, bu bileşik önermeye de çelişki
denir.

Koşullu (şartlı) Önermeler
İse (⇒) Bağlacı ile Kurulan Bileşik
Önermeler:
 Verilen p ile q önermelerinin “ise”
sözcüğü ile bağlanmasından oluşan bileşik
önermesine
 koşullu (şartlı) önerme denir. “p ise q”
diye okunur. Bu koşullu önerme p ⇒ q
şeklinde yazılır.

Verilen bileşik önermede, p doğru ve q
yanlış iken yanlış, diğer durumlarda
 doğrudur.
 Bu tanıma göre, p ⇒ q bileşik önermenin
doğruluk değerleri tablosu aşağıdaki
 şekilde yapılmıştır.
 Bu tabloda gösterildiği gibi, 1 ⇒ 1≡ 1 ⇒ 0
≡ 0, 0 ⇒1 ≡ 1, 0 ⇒ 0 ≡ 1 olduğu
 görülmektedir

Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi,
Karşıt Tersi
Verilen p, q önermesi ile p ⇒ q koşullu
önerme meydana getirildiğinde;
 1. q ⇒ p koşullu önermesine, p ⇒ q
önermesinin karşıtı denir.
 2. p′ ⇒ q′ koşullu önermesine, p ⇒ q
önermesinin tersi denir.
 3. q′ ⇒ p′ koşullu önermesine, p ⇒ q
önermesinin karşıt tersi denir.

Koşullu Önerme ile ilgili Özellikler:
1. (p ⇒ q) ≡ (q′ ⇒ p′)
 2. (p ⇒ q) ≡ (p′ V q)
 3. ( p⇒ q)′ ≡ p Λ q′
 4. (p ⇒ p) ≡ 1
 5. (p ⇒ p′) ≡ p′
 6. (0 ⇒ p) ≡ 1

“Ancak ve Ancak” Bağlacı ile
Kurulan İki Yönlü Koşullu
Önermeler
 Verilen p ile q önermesinde (p ⇒ q) Λ (p ⇒
q) bileşik önermesine, iki yönlü
 koşullu önerme denir. Burada p ⇒ q koşullu
önermesi ile bunun karşıtı olan q ⇒ p
 bileşik önermesinin “ve” bağlacı ile
bağlanmasından meydana gelmiştir. p ⇔ q
 biçiminde yazılır ve “p ancak ve ancak q” diye
okunur.
 Bu tanıma göre, (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) Λ (q ⇒ p)
olur
p⇔q iki yönlü koşullu önermesi, p ile q
nun doğruluk değerleri aynı iken
 doğru, farklı iken yanlıştır.
 Verilen p ⇔ q iki yönlü koşullu
önermesinin doğruluk değeri “1” yani
doğru ise
 bu önermeye çift gerektirme denir.

İki Yönlü Koşullu Önerme ile ilgili
Özellikler
1. ( p ⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q ) Λ ( q⇔ p )
 2. ( p⇔ q )´ ≡ ( p´⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q´ )
 3. ( p⇔ p ) ≡ 1 (Totoloji)
 4. ( p ⇔ q ) ≡ ( q⇔p ) (değişme özelliği)
 5. ( p⇔ q ) ⇔ r ≡ p ⇔ ( q ⇔ r )
(birleşme özelliği)
 6. p ⇔1 ≡ p ; p ⇔ 0 ≡ p´
 7. ( p ⇔ p´) ≡ 0 (çelişki)

AÇIK ÖNERMELER
Doğruluğu içindeki değişkene bağlı olan
önermelere açık önerme veya önerme
 fonksiyonu denir.

Niceleyiciler
Doğruluk kümelerini oluşturan veya
verilen önermeleri doğrulayan,
elemanların
 miktarını belirtmek için, “her”, “bazı”,
“hiçbiri” gibi kelimeler kullanırız.
Varlıkların
 miktarını belirtmek için kullanılan bu
ifadelere niceleyici denir.

Evrensel Niceleyici (her)

Her biri, hepsi, bütünü anlamına gelen “∀"
sembolü evrensel niceleyicidir
Varlıksal niceleyici (Bazı)
Verilen p(x) açık önermesi E evrensel
kümesi üzerinde tanımlanmış olsun. E
 kümesinde, her x elemanı için, p(x) açık
önermesini doğrulayan en az bir x elemanı
 için, p(x) açık önermesini doğrulayan en az
bir x elemanı varsa, bu açık önermeye
 varlıksal niceleyici denir. ∃ sembolü ∃ x ∈
E, p(x) veya ∃ x, p(x) şeklinde yazılır.

Verilen varlıksal niceleyicinin doğru olması
için, bazı x ler için p(x) doğru veya en
 az bir x için p(x) doğru oluyorsa, ∃ x, p(x)
önermesi doğrudur. Bütün x ler için p(x)
 yanlış oluyorsa ∃ x, p(x) önermesi yanlış
olur.

Niceleyicilerin Değili
Verilen bir doğru önermenin değilinin
yanlış, yanlış bir önermenin değili ise
 doğrudur. Buna göre, x bir değişken ve
p(x) bir açık önerme ise “∀ x ∈ E, p(x)”
tir.
 Önermesinin olumsuzu “∃ x ∈ E, p(x)
değilidir.”

Verilen “Bazı sayılar asaldır.” önermesinin
değilini yazalım.
 “Bazı sayılar asaldır.” önermesinin değili
“Bütün sayılar asal değildir” olur.

İSPAT YÖNTEMLERİ
Aksiyom
 Doğru olduğu ispatlanmadan kabul edilen
önermelere, aksiyom denir. Aksiyomlar
 kendi aralarında tutarlı, sisteme yeterli ve
birbirinden bağımsız olmalıdır. Aksiyomlar
 bir bilimsel yapının temel taşlarıdır.

Teorem







Matematikte ispatlanması gereken önermelere
teorem denir. Teoremlerin doğruluğunu,
önceden verilen tanım ve aksiyomlardan yararlanarak
ispatlayabiliriz. Bir teoremin
ispatında, kendinden önce gelen teoremlerde kullanılır.
Verilen p ⇒ q koşullu önermesinde, başlangıçta olan p
önermesine hipotez
(varsayım), varılan sonuca q önermesine hüküm
(yargı) denir.
Hipotezin doğruluğundan başlayarak hükmün
doğruluğunu göstermeye teoremin ispatı denir.
Teoremde, hipotezin daima doğru olması gerekir.
İspat Yöntemleri







I. Doğrudan ispat:
Verilen bir teoremde, hipotezin doğru olduğu
kabul edilerek, hükmünde doğru
olduğu gösterilirse, bu ispat şekline, doğrudan
ispat yöntemi denir.
II. Olmayana Ergi ile ispat Yöntemi:
Bir koflullu önermelerde, (p ⇒ q) ≡ (p´ ⇒ q´) dür.
p ⇒ q teoreminin ispatlanması yerine p´⇒ q´
teoremi ispatlanırsa p ⇒ q teoremi
ispat edilmiş olur. Bu yönteme, olmayana ergi ile
ispat yöntemi denir.
III. Deneme Yöntemi ile ispat
 Verilen önermedeki değişkene farklı
değerler verilir. Bu değerler, ayrı ayrı
yerlerine
 yazılarak önermenin doğruluğu kontrol
edilir. Buna deneme yöntemi ile ispat
denir.

IV. Aksine Örnek Verme Yöntemi ile ispat
Verilen bir önermenin doğru olduğu
ispatlanamıyorsa, aksine örnek verilerek, veya
 çelişki olduğu gösterilerek, yanlış olduğu
ispatlanır.
 Bu yöntem genellikle p ⇒ q şeklindeki bir
önermenin, yanlış olduğunu ispatlamak
 için kullanılır.
 O halde, verilen önermenin doğru olmadığını
gösteren en az bir değer varsa, bu
 önermenin yanlış olduğu ispatlanmış olur.


V. Tüme Varım Yöntemi ile ispat
 Tüme varım yöntemi, özel kurallardan
hareket ederek genel kurala ulaşma
yöntemidir.
 O halde, bu yöntemde yapılan ispat,
parçalardan giderek bütünün doğruluğunu
bulmaktır.

VI. Tümden Gelim Yöntemi ile ispat
 Tümden gelim, genel kuraldan özel
kuralların çıkarılması yöntemidir.
Bütünden
 giderek istenilenin doğruluğunu ispatlama
yöntemidir.
