Transcript ÜN*TE I - iop-teo-20C-BayramARSLAN-13042011
Slide 1
ÜNİTE I
MANTIK
1. ÖNERMELER
a. Mantık
b. Terim,tanımlı ve tanımsız terimler
c. Önermenin tanımı sembolle gösterim
ç. Önermenin doğruluk değeri
d. Önermenin doğruluk değerleri tablosu
e. Denk (eşdeğer) önermeler
f. Bir önermenin değili (olumsuzu)
Slide 2
BİLEŞİK ÖNERMELER
a. Bileşik önermeler
b. Veya (V) bağlacı ile kurulan bileşik
önermeler ve özelikleri
c. Ve (Λ) bağlacı ile kurulan bileşik önermeler
ve özelikleri
d. (V) ve (Λ) işlemlerinin birbiri üzerine
dağılma özeliği
e. De Morgan (Dö Morgan) kuralları
f. Totoloji ve çelişki
Slide 3
Koşullu (şartlı) önermeler
I. ise (⇒) bağlacı ile kurulan bileşik
önermeler
II. Koşullu önermenin karfşıtı, tersi, karşıt
tersi
III. Koşullu önerme ile ilgili özelikler
IV. Ancak ve ancak (⇔) bağlacı ile kurulan iki
yönlü koşullu önermeler
V. iki yönlü koşullu önerme ile ilgili özelikler
Slide 4
AÇIK ÖNERMELER
a. Açık önermeler
b. Açık önermenin doğruluk (çözüm)
kümesi
c. Niceleyiciler
I. Evrensel niceleyici (her)
II. Varlıksal niceleyici (bazı)
III. Niceleyicilerin değili
Slide 5
İSPAT YÖNTEMLERi
a. Tanım
b. Aksiyon
c. Teorem
d. İspat yöntemleri
I. Doğrudan ispat yöntemi
II. Olmayana ergi ile ispat yöntemi
III. Deneme yöntemi ile ispat
IV. Aksine örnek verme yöntemi ile ispat
V. Tümevarım yöntemi ile ispat
VI.Tümden gelim yöntemi ile ispat
Slide 6
BU ÜNİTENİN AMAÇLARI
* Önermelerle ilgili temel kavramların bilgisi olan
terimi, tanımlı ve tanımsız terimleri
örneklerle açıklayabilecek,
* Önermenin tanımını, sembolle gösterimini, doğruluk
değerini, iki önermenin
denkliğini açıklayabilecek ve doğruluk değerleri
tablosu yapabilecek,
* Bir önermenin değilini açıklayabilecek,
* Birleşik önermeyi açıklayabilecek,
* “ Ve”, “veya”, bağlaçları ile kurulan birleşik
önermelerin özelliklerini açıklayabilecek,
* De Morgan kuralları ile totoloji ve çelişkiyi doğruluk
tablosu yaparak gösterebilecek,
Slide 7
* Koşullu önermeleri açıklayabilecek, iki yönlü koşullu
önerme ile koşullu önermeler
arasındaki ilişkiyi ve özelikleri açıklayabilecek,
* Açık önermeyi ve doğruluk kümesini açklayabilecek,
* Evrensel ve varlıksal nieceleyicilerini örneklerle
açıklayabilecek, bu niceleyecileri
içeren önerme ve bileşik önermelerin olumsuzunu
yazabilecek,
* Verilen bileşik önermede, terim, aksiyom, teorem ve ispat
kavramlarını açıklayabilecek,
* Bir teoremin hipotezini ve hükmünü belirtebilecek, bir
teoremin karşıtını, tersini,
karşıt tersini, yazabilecek,
* İspat yöntemlerini açıklayabileceksiniz.
Slide 8
Mantık, doğru düşünme bilimidir. Doğru
düşünme ve doğru yargıya, mantık
kuralları
ile ulaşılır.
Matematiğin amacı, doğru ve sistemli
düşünebilmeyi kazandırmaktır. Mantık
Kuralları bilinmeden, matematiğin amacına
ulaşılamaz.
Slide 9
Mantığa matematiksel yapı kazandıran
ingiliz bilim adamı George Boole’dir.
Boole’ün ortaya koyduğu sistem, sembolik
mantık adıyla anılır. Biz, bu bölümde
matematiğin dilini oluşturmak amacıyla,
sembolik mantığın temel kurallarını
inceleyeceğiz.
Slide 10
Terim, Tanımlı ve Tanımsız Terimler
Bir bilim dalı içerisinde, konuşma dilinden
farklı anlamı (özel anlamı) olan
sözlüklerden
her birine, o bilim dalının bir terimi denir.
Slide 11
Bir terimin anlamını belirtmeye, terimi
tanımlamak denir.
Üçgen, çember, doğru parçası birer
matematiğin tanımlı terimleridir.
Bazı terimleri tanımlayamayız. Sezgi yolu
ile bu terimleri kavrarız. Bu tür terimlere
tanımsız terim denir.
Nokta, doğru, düzlem birer matematiğin
tanımsız terimidir.
Slide 12
Önermenin Tanımı, Sembolle
Gösterimi
Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm
bildiren ifadelere, önerme denir.
Önermeler
genel olarak p, q, r, s, vb. gibi harflerle
gösterilir.
Slide 13
p : “Türkiyenin başkenti Ankara’dır.”
q : “Bir yıl 12 aydır.”
r : “İyi günler.”
s: “Tavuk dört ayaklı bir hayvandır.”
Burada p, q ve s ifadeleri birer önermedir.
Çünkü doğru veya yanlış bir hüküm
bildirmektedir. r ifadesi ise bir önerme
değildir. Kesin olarak, doğru veya yanlış bir
hüküm bildirmemektedir.
Slide 14
Önermenin Doğruluk Değeri
Bir önerme do¤ru ise doğruluk değeri “1”
veya “D” ile, önerme yanlış ise doğruluk
değeri “0” veya “Y” ile gösterilir.
Slide 15
Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerini
belirtelim
p: “Bir gün 24 saattir.”
q: “9 asal bir sayıdır.”
r: “Adana Ege bölgesindedir.”
s: “Eşkenar üçgenin bütün kenarlarının
uzunlukları eşittir.”
Burada ki p, q ve s önermeleri doğrudur.
Doğruluk değerleri “1”dir. r önermesi ise
yanlıştır. Doğruluk değeri “0” dır.
Slide 16
Aşağıda verilen önermelerin, doğruluk değerlerini
bulalım. Bu önermelerden,
birbirine denk olanları ≡ sembolü ile denk olmayanları
ise ≡ sembolünü kullanarak
gösterelim.
p : “En küçük doğal sayı sıfırdır.”
q : “Bir tek ve bir çift doğal sayının çarpımı, tek doğal
sayıdır.”
r : “Köpek memeli bir hayvandır.”
s : “Dikdörtgenin bütün kenarları, birbirine eşittir.”
Verilen önermelerin doğruluk değerleri için, p ≡ 1, q≡ 0,
r ≡1 ve s ≡ 0 dır.
O halde, p ≡ r, q ≡ s, p ≡ q, p ≡ s, q ≡ r yazabiliriz.
Slide 17
Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)
Verilen bir önermenin hükmünün
değiştirilmesiyle, elde edilen yeni
önermeye, bu
önermenin değili (olumsuzu) denir.
Bir p önermesinin değili p′, p ya da ~p
sembollerinden birisi ile gösterilir.
“p nin değili” diye okunur.
Slide 18
BİLEŞİK ÖNERMELER
Bu bölümde, “veya”, “ve”, “ise”, “ancak ve ancak”
bağlaçlarını kullanarak yeni
önermeler oluşturacağız.
iki veya daha çok önermenin, “ve”, “veya”, “ise”, “ancak
ve ancak” gibi bağlaçlarla
bağlanmasından elde edilen yeni önermelere, bileşik
önermeler denir.
Bileşik olmayan önermelere de basit önerme denir.
Önermeleri birbirine bağlayan, “ve”, “veya”, “ise”,
“ancak ve ancak” gibi terimlere
mantıksal bağlaç denir. Bu bağlaçlarla birbirine
bağlanan önermelere, bileşik önermenin
bileşenleri denir.
Slide 19
Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere,
bu basit önermelerin “veya”
bağlacı ile bağlanmasından meydana gelen bileşik
önermeye, p veya q bileşik önermesi
denir. pVq şeklinde gösterilir.
pVq bileşik önermesinde, bileşenlerden en az birisi
doğru iken doğru, ikisi de
yanlış iken yanlıştır.
pVq bileşik önermesinin doğruluk değerleri
tablosu, aşağıdaki şekilde yapılmıştır.
Bu tablodan görüldüğü gibi, 1V1 ≡ 1, 1V0 ≡ 1 ,
0V1 ≡ 1, 0V0 ≡ 0 olduğu görülmektedir.
Slide 20
p: “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölüdür.”
q: “Her çift sayı 2 ile bölünür.” önermeleri
veriliyor. Bu önermeler için pVq bileşik
önermesini yazalım ve doğruluk değerini
bulalım.
pVq : “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölü
veya her çift sayı 2 ile bölünür.” diye yazılır.
p ve q önermeleri doğru önermelerdir. Buna
göre, pVq ≡ 1V1 ≡ 1 olup, bu bileşik
önerme doğrudur.
Slide 21
Veya Bağlacı ile Kurulan Bileşik
Önermelerin Özelikleri
Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun.
Bu önermeler için aşağıdaki özelikler
vardır.
1. pVp ≡ p (Tek kuvvet özelliği)
2. pVq ≡ q V p (Değişme özeliği)
3. p V (q Vr) ≡ ( p V q ) Vr (Birleşme
özelliği)
4. pV1 ≡ 1 ve pV0 ≡ p
Slide 22
Verilen [(1V0) V0] V (1V0) bileşik
önermesinin doğruluk değerini bulalım.
Verilen [(1V0) V0] V (1V0) ≡ (1V0) V1 ≡
1V1 ≡ 1 olur.
O halde, verilen bileşik önerme doğrudur.
Slide 23
Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak
üzere, p ile q önermelerinin “ve” bağlacı
ile bağlanmasından oluşan bileşik
önermeye, p ve q bileşik önermesi denir. p
Λ q şeklinde
gösterilir.
p Λ q bileşik önermesi, p ve q
önermelerinin ikisi de doğru iken doğru,
diğer durumlarda yanlıştır
Slide 24
p : “Portakal meyvedir.”
q: “Üzüm sebzedir.” önermeleri için p Λ q
bileşik önermesini yazalım. Doğruluk
değerini bulalım.
p Λ q: “Portakal meyve ve üzüm sebzedir.”
p önermesi doğru, q önermesi yanlıştır.
p≡1, q≡ 0 dır.
Buna göre, p Λ q ≡ (1Λ 0) ≡ 0 olup, bileşik
önerme yanlıştır.
Slide 25
Ve Bağlacı ile Kurulan Bileşik
Önermenin Özelikleri
Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun.
Bu önermeler için aşağıdaki özelikler
vardır
1. p Λ p ≡ p (Tek kuvvet özelliği)
2. p Λ q ≡ q Λ p (Değişme özelliği)
3. p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) r (Birleşme özelliği
4. p Λ 1≡ p ve p Λ 0 ≡ 0
Slide 26
De Morgan (Dö Morgon) Kuralları
(Bileşik Önermenin Olumsuzu)
Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak
üzere, “V” ya da “Λ” bağlacı ile elde edilen
bileşik önermeler ile bu önermelerin
olumsuzları arasında, (p V q)´≡ p´ Λ q´ ile
(p Λ q)´≡ p´Vq´ bağıntısı vardır. Bu
bağıntılar, De Morgan Kuralı adını alırlar.
Slide 27
Totoloji ve Çelişki
Bir bileşik önerme, kendisini oluşturan her
değeri için daima doğru oluyorsa, bu
bileşik önermeye totoloji, daima yanlış
oluyorsa, bu bileşik önermeye de çelişki
denir.
Slide 28
Koşullu (şartlı) Önermeler
İse (⇒) Bağlacı ile Kurulan Bileşik
Önermeler:
Verilen p ile q önermelerinin “ise”
sözcüğü ile bağlanmasından oluşan bileşik
önermesine
koşullu (şartlı) önerme denir. “p ise q”
diye okunur. Bu koşullu önerme p ⇒ q
şeklinde yazılır.
Slide 29
Verilen bileşik önermede, p doğru ve q
yanlış iken yanlış, diğer durumlarda
doğrudur.
Bu tanıma göre, p ⇒ q bileşik önermenin
doğruluk değerleri tablosu aşağıdaki
şekilde yapılmıştır.
Bu tabloda gösterildiği gibi, 1 ⇒ 1≡ 1 ⇒ 0
≡ 0, 0 ⇒1 ≡ 1, 0 ⇒ 0 ≡ 1 olduğu
görülmektedir
Slide 30
Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi,
Karşıt Tersi
Verilen p, q önermesi ile p ⇒ q koşullu
önerme meydana getirildiğinde;
1. q ⇒ p koşullu önermesine, p ⇒ q
önermesinin karşıtı denir.
2. p′ ⇒ q′ koşullu önermesine, p ⇒ q
önermesinin tersi denir.
3. q′ ⇒ p′ koşullu önermesine, p ⇒ q
önermesinin karşıt tersi denir.
Slide 31
Koşullu Önerme ile ilgili Özellikler:
1. (p ⇒ q) ≡ (q′ ⇒ p′)
2. (p ⇒ q) ≡ (p′ V q)
3. ( p⇒ q)′ ≡ p Λ q′
4. (p ⇒ p) ≡ 1
5. (p ⇒ p′) ≡ p′
6. (0 ⇒ p) ≡ 1
Slide 32
“Ancak ve Ancak” Bağlacı ile
Kurulan İki Yönlü Koşullu
Önermeler
Verilen p ile q önermesinde (p ⇒ q) Λ (p ⇒
q) bileşik önermesine, iki yönlü
koşullu önerme denir. Burada p ⇒ q koşullu
önermesi ile bunun karşıtı olan q ⇒ p
bileşik önermesinin “ve” bağlacı ile
bağlanmasından meydana gelmiştir. p ⇔ q
biçiminde yazılır ve “p ancak ve ancak q” diye
okunur.
Bu tanıma göre, (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) Λ (q ⇒ p)
olur
Slide 33
p⇔q iki yönlü koşullu önermesi, p ile q
nun doğruluk değerleri aynı iken
doğru, farklı iken yanlıştır.
Verilen p ⇔ q iki yönlü koşullu
önermesinin doğruluk değeri “1” yani
doğru ise
bu önermeye çift gerektirme denir.
Slide 34
İki Yönlü Koşullu Önerme ile ilgili
Özellikler
1. ( p ⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q ) Λ ( q⇔ p )
2. ( p⇔ q )´ ≡ ( p´⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q´ )
3. ( p⇔ p ) ≡ 1 (Totoloji)
4. ( p ⇔ q ) ≡ ( q⇔p ) (değişme özelliği)
5. ( p⇔ q ) ⇔ r ≡ p ⇔ ( q ⇔ r )
(birleşme özelliği)
6. p ⇔1 ≡ p ; p ⇔ 0 ≡ p´
7. ( p ⇔ p´) ≡ 0 (çelişki)
Slide 35
AÇIK ÖNERMELER
Doğruluğu içindeki değişkene bağlı olan
önermelere açık önerme veya önerme
fonksiyonu denir.
Slide 36
Niceleyiciler
Doğruluk kümelerini oluşturan veya
verilen önermeleri doğrulayan,
elemanların
miktarını belirtmek için, “her”, “bazı”,
“hiçbiri” gibi kelimeler kullanırız.
Varlıkların
miktarını belirtmek için kullanılan bu
ifadelere niceleyici denir.
Slide 37
Evrensel Niceleyici (her)
Her biri, hepsi, bütünü anlamına gelen “∀"
sembolü evrensel niceleyicidir
Slide 38
Varlıksal niceleyici (Bazı)
Verilen p(x) açık önermesi E evrensel
kümesi üzerinde tanımlanmış olsun. E
kümesinde, her x elemanı için, p(x) açık
önermesini doğrulayan en az bir x elemanı
için, p(x) açık önermesini doğrulayan en az
bir x elemanı varsa, bu açık önermeye
varlıksal niceleyici denir. ∃ sembolü ∃ x ∈
E, p(x) veya ∃ x, p(x) şeklinde yazılır.
Slide 39
Verilen varlıksal niceleyicinin doğru olması
için, bazı x ler için p(x) doğru veya en
az bir x için p(x) doğru oluyorsa, ∃ x, p(x)
önermesi doğrudur. Bütün x ler için p(x)
yanlış oluyorsa ∃ x, p(x) önermesi yanlış
olur.
Slide 40
Niceleyicilerin Değili
Verilen bir doğru önermenin değilinin
yanlış, yanlış bir önermenin değili ise
doğrudur. Buna göre, x bir değişken ve
p(x) bir açık önerme ise “∀ x ∈ E, p(x)”
tir.
Önermesinin olumsuzu “∃ x ∈ E, p(x)
değilidir.”
Slide 41
Verilen “Bazı sayılar asaldır.” önermesinin
değilini yazalım.
“Bazı sayılar asaldır.” önermesinin değili
“Bütün sayılar asal değildir” olur.
Slide 42
İSPAT YÖNTEMLERİ
Aksiyom
Doğru olduğu ispatlanmadan kabul edilen
önermelere, aksiyom denir. Aksiyomlar
kendi aralarında tutarlı, sisteme yeterli ve
birbirinden bağımsız olmalıdır. Aksiyomlar
bir bilimsel yapının temel taşlarıdır.
Slide 43
Teorem
Matematikte ispatlanması gereken önermelere
teorem denir. Teoremlerin doğruluğunu,
önceden verilen tanım ve aksiyomlardan yararlanarak
ispatlayabiliriz. Bir teoremin
ispatında, kendinden önce gelen teoremlerde kullanılır.
Verilen p ⇒ q koşullu önermesinde, başlangıçta olan p
önermesine hipotez
(varsayım), varılan sonuca q önermesine hüküm
(yargı) denir.
Hipotezin doğruluğundan başlayarak hükmün
doğruluğunu göstermeye teoremin ispatı denir.
Teoremde, hipotezin daima doğru olması gerekir.
Slide 44
İspat Yöntemleri
I. Doğrudan ispat:
Verilen bir teoremde, hipotezin doğru olduğu
kabul edilerek, hükmünde doğru
olduğu gösterilirse, bu ispat şekline, doğrudan
ispat yöntemi denir.
II. Olmayana Ergi ile ispat Yöntemi:
Bir koflullu önermelerde, (p ⇒ q) ≡ (p´ ⇒ q´) dür.
p ⇒ q teoreminin ispatlanması yerine p´⇒ q´
teoremi ispatlanırsa p ⇒ q teoremi
ispat edilmiş olur. Bu yönteme, olmayana ergi ile
ispat yöntemi denir.
Slide 45
III. Deneme Yöntemi ile ispat
Verilen önermedeki değişkene farklı
değerler verilir. Bu değerler, ayrı ayrı
yerlerine
yazılarak önermenin doğruluğu kontrol
edilir. Buna deneme yöntemi ile ispat
denir.
Slide 46
IV. Aksine Örnek Verme Yöntemi ile ispat
Verilen bir önermenin doğru olduğu
ispatlanamıyorsa, aksine örnek verilerek, veya
çelişki olduğu gösterilerek, yanlış olduğu
ispatlanır.
Bu yöntem genellikle p ⇒ q şeklindeki bir
önermenin, yanlış olduğunu ispatlamak
için kullanılır.
O halde, verilen önermenin doğru olmadığını
gösteren en az bir değer varsa, bu
önermenin yanlış olduğu ispatlanmış olur.
Slide 47
V. Tüme Varım Yöntemi ile ispat
Tüme varım yöntemi, özel kurallardan
hareket ederek genel kurala ulaşma
yöntemidir.
O halde, bu yöntemde yapılan ispat,
parçalardan giderek bütünün doğruluğunu
bulmaktır.
Slide 48
VI. Tümden Gelim Yöntemi ile ispat
Tümden gelim, genel kuraldan özel
kuralların çıkarılması yöntemidir.
Bütünden
giderek istenilenin doğruluğunu ispatlama
yöntemidir.
ÜNİTE I
MANTIK
1. ÖNERMELER
a. Mantık
b. Terim,tanımlı ve tanımsız terimler
c. Önermenin tanımı sembolle gösterim
ç. Önermenin doğruluk değeri
d. Önermenin doğruluk değerleri tablosu
e. Denk (eşdeğer) önermeler
f. Bir önermenin değili (olumsuzu)
Slide 2
BİLEŞİK ÖNERMELER
a. Bileşik önermeler
b. Veya (V) bağlacı ile kurulan bileşik
önermeler ve özelikleri
c. Ve (Λ) bağlacı ile kurulan bileşik önermeler
ve özelikleri
d. (V) ve (Λ) işlemlerinin birbiri üzerine
dağılma özeliği
e. De Morgan (Dö Morgan) kuralları
f. Totoloji ve çelişki
Slide 3
Koşullu (şartlı) önermeler
I. ise (⇒) bağlacı ile kurulan bileşik
önermeler
II. Koşullu önermenin karfşıtı, tersi, karşıt
tersi
III. Koşullu önerme ile ilgili özelikler
IV. Ancak ve ancak (⇔) bağlacı ile kurulan iki
yönlü koşullu önermeler
V. iki yönlü koşullu önerme ile ilgili özelikler
Slide 4
AÇIK ÖNERMELER
a. Açık önermeler
b. Açık önermenin doğruluk (çözüm)
kümesi
c. Niceleyiciler
I. Evrensel niceleyici (her)
II. Varlıksal niceleyici (bazı)
III. Niceleyicilerin değili
Slide 5
İSPAT YÖNTEMLERi
a. Tanım
b. Aksiyon
c. Teorem
d. İspat yöntemleri
I. Doğrudan ispat yöntemi
II. Olmayana ergi ile ispat yöntemi
III. Deneme yöntemi ile ispat
IV. Aksine örnek verme yöntemi ile ispat
V. Tümevarım yöntemi ile ispat
VI.Tümden gelim yöntemi ile ispat
Slide 6
BU ÜNİTENİN AMAÇLARI
* Önermelerle ilgili temel kavramların bilgisi olan
terimi, tanımlı ve tanımsız terimleri
örneklerle açıklayabilecek,
* Önermenin tanımını, sembolle gösterimini, doğruluk
değerini, iki önermenin
denkliğini açıklayabilecek ve doğruluk değerleri
tablosu yapabilecek,
* Bir önermenin değilini açıklayabilecek,
* Birleşik önermeyi açıklayabilecek,
* “ Ve”, “veya”, bağlaçları ile kurulan birleşik
önermelerin özelliklerini açıklayabilecek,
* De Morgan kuralları ile totoloji ve çelişkiyi doğruluk
tablosu yaparak gösterebilecek,
Slide 7
* Koşullu önermeleri açıklayabilecek, iki yönlü koşullu
önerme ile koşullu önermeler
arasındaki ilişkiyi ve özelikleri açıklayabilecek,
* Açık önermeyi ve doğruluk kümesini açklayabilecek,
* Evrensel ve varlıksal nieceleyicilerini örneklerle
açıklayabilecek, bu niceleyecileri
içeren önerme ve bileşik önermelerin olumsuzunu
yazabilecek,
* Verilen bileşik önermede, terim, aksiyom, teorem ve ispat
kavramlarını açıklayabilecek,
* Bir teoremin hipotezini ve hükmünü belirtebilecek, bir
teoremin karşıtını, tersini,
karşıt tersini, yazabilecek,
* İspat yöntemlerini açıklayabileceksiniz.
Slide 8
Mantık, doğru düşünme bilimidir. Doğru
düşünme ve doğru yargıya, mantık
kuralları
ile ulaşılır.
Matematiğin amacı, doğru ve sistemli
düşünebilmeyi kazandırmaktır. Mantık
Kuralları bilinmeden, matematiğin amacına
ulaşılamaz.
Slide 9
Mantığa matematiksel yapı kazandıran
ingiliz bilim adamı George Boole’dir.
Boole’ün ortaya koyduğu sistem, sembolik
mantık adıyla anılır. Biz, bu bölümde
matematiğin dilini oluşturmak amacıyla,
sembolik mantığın temel kurallarını
inceleyeceğiz.
Slide 10
Terim, Tanımlı ve Tanımsız Terimler
Bir bilim dalı içerisinde, konuşma dilinden
farklı anlamı (özel anlamı) olan
sözlüklerden
her birine, o bilim dalının bir terimi denir.
Slide 11
Bir terimin anlamını belirtmeye, terimi
tanımlamak denir.
Üçgen, çember, doğru parçası birer
matematiğin tanımlı terimleridir.
Bazı terimleri tanımlayamayız. Sezgi yolu
ile bu terimleri kavrarız. Bu tür terimlere
tanımsız terim denir.
Nokta, doğru, düzlem birer matematiğin
tanımsız terimidir.
Slide 12
Önermenin Tanımı, Sembolle
Gösterimi
Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm
bildiren ifadelere, önerme denir.
Önermeler
genel olarak p, q, r, s, vb. gibi harflerle
gösterilir.
Slide 13
p : “Türkiyenin başkenti Ankara’dır.”
q : “Bir yıl 12 aydır.”
r : “İyi günler.”
s: “Tavuk dört ayaklı bir hayvandır.”
Burada p, q ve s ifadeleri birer önermedir.
Çünkü doğru veya yanlış bir hüküm
bildirmektedir. r ifadesi ise bir önerme
değildir. Kesin olarak, doğru veya yanlış bir
hüküm bildirmemektedir.
Slide 14
Önermenin Doğruluk Değeri
Bir önerme do¤ru ise doğruluk değeri “1”
veya “D” ile, önerme yanlış ise doğruluk
değeri “0” veya “Y” ile gösterilir.
Slide 15
Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerini
belirtelim
p: “Bir gün 24 saattir.”
q: “9 asal bir sayıdır.”
r: “Adana Ege bölgesindedir.”
s: “Eşkenar üçgenin bütün kenarlarının
uzunlukları eşittir.”
Burada ki p, q ve s önermeleri doğrudur.
Doğruluk değerleri “1”dir. r önermesi ise
yanlıştır. Doğruluk değeri “0” dır.
Slide 16
Aşağıda verilen önermelerin, doğruluk değerlerini
bulalım. Bu önermelerden,
birbirine denk olanları ≡ sembolü ile denk olmayanları
ise ≡ sembolünü kullanarak
gösterelim.
p : “En küçük doğal sayı sıfırdır.”
q : “Bir tek ve bir çift doğal sayının çarpımı, tek doğal
sayıdır.”
r : “Köpek memeli bir hayvandır.”
s : “Dikdörtgenin bütün kenarları, birbirine eşittir.”
Verilen önermelerin doğruluk değerleri için, p ≡ 1, q≡ 0,
r ≡1 ve s ≡ 0 dır.
O halde, p ≡ r, q ≡ s, p ≡ q, p ≡ s, q ≡ r yazabiliriz.
Slide 17
Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)
Verilen bir önermenin hükmünün
değiştirilmesiyle, elde edilen yeni
önermeye, bu
önermenin değili (olumsuzu) denir.
Bir p önermesinin değili p′, p ya da ~p
sembollerinden birisi ile gösterilir.
“p nin değili” diye okunur.
Slide 18
BİLEŞİK ÖNERMELER
Bu bölümde, “veya”, “ve”, “ise”, “ancak ve ancak”
bağlaçlarını kullanarak yeni
önermeler oluşturacağız.
iki veya daha çok önermenin, “ve”, “veya”, “ise”, “ancak
ve ancak” gibi bağlaçlarla
bağlanmasından elde edilen yeni önermelere, bileşik
önermeler denir.
Bileşik olmayan önermelere de basit önerme denir.
Önermeleri birbirine bağlayan, “ve”, “veya”, “ise”,
“ancak ve ancak” gibi terimlere
mantıksal bağlaç denir. Bu bağlaçlarla birbirine
bağlanan önermelere, bileşik önermenin
bileşenleri denir.
Slide 19
Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak üzere,
bu basit önermelerin “veya”
bağlacı ile bağlanmasından meydana gelen bileşik
önermeye, p veya q bileşik önermesi
denir. pVq şeklinde gösterilir.
pVq bileşik önermesinde, bileşenlerden en az birisi
doğru iken doğru, ikisi de
yanlış iken yanlıştır.
pVq bileşik önermesinin doğruluk değerleri
tablosu, aşağıdaki şekilde yapılmıştır.
Bu tablodan görüldüğü gibi, 1V1 ≡ 1, 1V0 ≡ 1 ,
0V1 ≡ 1, 0V0 ≡ 0 olduğu görülmektedir.
Slide 20
p: “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölüdür.”
q: “Her çift sayı 2 ile bölünür.” önermeleri
veriliyor. Bu önermeler için pVq bileşik
önermesini yazalım ve doğruluk değerini
bulalım.
pVq : “Van gölü Türkiye’nin en büyük gölü
veya her çift sayı 2 ile bölünür.” diye yazılır.
p ve q önermeleri doğru önermelerdir. Buna
göre, pVq ≡ 1V1 ≡ 1 olup, bu bileşik
önerme doğrudur.
Slide 21
Veya Bağlacı ile Kurulan Bileşik
Önermelerin Özelikleri
Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun.
Bu önermeler için aşağıdaki özelikler
vardır.
1. pVp ≡ p (Tek kuvvet özelliği)
2. pVq ≡ q V p (Değişme özeliği)
3. p V (q Vr) ≡ ( p V q ) Vr (Birleşme
özelliği)
4. pV1 ≡ 1 ve pV0 ≡ p
Slide 22
Verilen [(1V0) V0] V (1V0) bileşik
önermesinin doğruluk değerini bulalım.
Verilen [(1V0) V0] V (1V0) ≡ (1V0) V1 ≡
1V1 ≡ 1 olur.
O halde, verilen bileşik önerme doğrudur.
Slide 23
Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak
üzere, p ile q önermelerinin “ve” bağlacı
ile bağlanmasından oluşan bileşik
önermeye, p ve q bileşik önermesi denir. p
Λ q şeklinde
gösterilir.
p Λ q bileşik önermesi, p ve q
önermelerinin ikisi de doğru iken doğru,
diğer durumlarda yanlıştır
Slide 24
p : “Portakal meyvedir.”
q: “Üzüm sebzedir.” önermeleri için p Λ q
bileşik önermesini yazalım. Doğruluk
değerini bulalım.
p Λ q: “Portakal meyve ve üzüm sebzedir.”
p önermesi doğru, q önermesi yanlıştır.
p≡1, q≡ 0 dır.
Buna göre, p Λ q ≡ (1Λ 0) ≡ 0 olup, bileşik
önerme yanlıştır.
Slide 25
Ve Bağlacı ile Kurulan Bileşik
Önermenin Özelikleri
Verilen p, q, r herhangi üç önerme olsun.
Bu önermeler için aşağıdaki özelikler
vardır
1. p Λ p ≡ p (Tek kuvvet özelliği)
2. p Λ q ≡ q Λ p (Değişme özelliği)
3. p Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) r (Birleşme özelliği
4. p Λ 1≡ p ve p Λ 0 ≡ 0
Slide 26
De Morgan (Dö Morgon) Kuralları
(Bileşik Önermenin Olumsuzu)
Verilen p ile q herhangi iki önerme olmak
üzere, “V” ya da “Λ” bağlacı ile elde edilen
bileşik önermeler ile bu önermelerin
olumsuzları arasında, (p V q)´≡ p´ Λ q´ ile
(p Λ q)´≡ p´Vq´ bağıntısı vardır. Bu
bağıntılar, De Morgan Kuralı adını alırlar.
Slide 27
Totoloji ve Çelişki
Bir bileşik önerme, kendisini oluşturan her
değeri için daima doğru oluyorsa, bu
bileşik önermeye totoloji, daima yanlış
oluyorsa, bu bileşik önermeye de çelişki
denir.
Slide 28
Koşullu (şartlı) Önermeler
İse (⇒) Bağlacı ile Kurulan Bileşik
Önermeler:
Verilen p ile q önermelerinin “ise”
sözcüğü ile bağlanmasından oluşan bileşik
önermesine
koşullu (şartlı) önerme denir. “p ise q”
diye okunur. Bu koşullu önerme p ⇒ q
şeklinde yazılır.
Slide 29
Verilen bileşik önermede, p doğru ve q
yanlış iken yanlış, diğer durumlarda
doğrudur.
Bu tanıma göre, p ⇒ q bileşik önermenin
doğruluk değerleri tablosu aşağıdaki
şekilde yapılmıştır.
Bu tabloda gösterildiği gibi, 1 ⇒ 1≡ 1 ⇒ 0
≡ 0, 0 ⇒1 ≡ 1, 0 ⇒ 0 ≡ 1 olduğu
görülmektedir
Slide 30
Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi,
Karşıt Tersi
Verilen p, q önermesi ile p ⇒ q koşullu
önerme meydana getirildiğinde;
1. q ⇒ p koşullu önermesine, p ⇒ q
önermesinin karşıtı denir.
2. p′ ⇒ q′ koşullu önermesine, p ⇒ q
önermesinin tersi denir.
3. q′ ⇒ p′ koşullu önermesine, p ⇒ q
önermesinin karşıt tersi denir.
Slide 31
Koşullu Önerme ile ilgili Özellikler:
1. (p ⇒ q) ≡ (q′ ⇒ p′)
2. (p ⇒ q) ≡ (p′ V q)
3. ( p⇒ q)′ ≡ p Λ q′
4. (p ⇒ p) ≡ 1
5. (p ⇒ p′) ≡ p′
6. (0 ⇒ p) ≡ 1
Slide 32
“Ancak ve Ancak” Bağlacı ile
Kurulan İki Yönlü Koşullu
Önermeler
Verilen p ile q önermesinde (p ⇒ q) Λ (p ⇒
q) bileşik önermesine, iki yönlü
koşullu önerme denir. Burada p ⇒ q koşullu
önermesi ile bunun karşıtı olan q ⇒ p
bileşik önermesinin “ve” bağlacı ile
bağlanmasından meydana gelmiştir. p ⇔ q
biçiminde yazılır ve “p ancak ve ancak q” diye
okunur.
Bu tanıma göre, (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) Λ (q ⇒ p)
olur
Slide 33
p⇔q iki yönlü koşullu önermesi, p ile q
nun doğruluk değerleri aynı iken
doğru, farklı iken yanlıştır.
Verilen p ⇔ q iki yönlü koşullu
önermesinin doğruluk değeri “1” yani
doğru ise
bu önermeye çift gerektirme denir.
Slide 34
İki Yönlü Koşullu Önerme ile ilgili
Özellikler
1. ( p ⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q ) Λ ( q⇔ p )
2. ( p⇔ q )´ ≡ ( p´⇔ q ) ≡ ( p ⇔ q´ )
3. ( p⇔ p ) ≡ 1 (Totoloji)
4. ( p ⇔ q ) ≡ ( q⇔p ) (değişme özelliği)
5. ( p⇔ q ) ⇔ r ≡ p ⇔ ( q ⇔ r )
(birleşme özelliği)
6. p ⇔1 ≡ p ; p ⇔ 0 ≡ p´
7. ( p ⇔ p´) ≡ 0 (çelişki)
Slide 35
AÇIK ÖNERMELER
Doğruluğu içindeki değişkene bağlı olan
önermelere açık önerme veya önerme
fonksiyonu denir.
Slide 36
Niceleyiciler
Doğruluk kümelerini oluşturan veya
verilen önermeleri doğrulayan,
elemanların
miktarını belirtmek için, “her”, “bazı”,
“hiçbiri” gibi kelimeler kullanırız.
Varlıkların
miktarını belirtmek için kullanılan bu
ifadelere niceleyici denir.
Slide 37
Evrensel Niceleyici (her)
Her biri, hepsi, bütünü anlamına gelen “∀"
sembolü evrensel niceleyicidir
Slide 38
Varlıksal niceleyici (Bazı)
Verilen p(x) açık önermesi E evrensel
kümesi üzerinde tanımlanmış olsun. E
kümesinde, her x elemanı için, p(x) açık
önermesini doğrulayan en az bir x elemanı
için, p(x) açık önermesini doğrulayan en az
bir x elemanı varsa, bu açık önermeye
varlıksal niceleyici denir. ∃ sembolü ∃ x ∈
E, p(x) veya ∃ x, p(x) şeklinde yazılır.
Slide 39
Verilen varlıksal niceleyicinin doğru olması
için, bazı x ler için p(x) doğru veya en
az bir x için p(x) doğru oluyorsa, ∃ x, p(x)
önermesi doğrudur. Bütün x ler için p(x)
yanlış oluyorsa ∃ x, p(x) önermesi yanlış
olur.
Slide 40
Niceleyicilerin Değili
Verilen bir doğru önermenin değilinin
yanlış, yanlış bir önermenin değili ise
doğrudur. Buna göre, x bir değişken ve
p(x) bir açık önerme ise “∀ x ∈ E, p(x)”
tir.
Önermesinin olumsuzu “∃ x ∈ E, p(x)
değilidir.”
Slide 41
Verilen “Bazı sayılar asaldır.” önermesinin
değilini yazalım.
“Bazı sayılar asaldır.” önermesinin değili
“Bütün sayılar asal değildir” olur.
Slide 42
İSPAT YÖNTEMLERİ
Aksiyom
Doğru olduğu ispatlanmadan kabul edilen
önermelere, aksiyom denir. Aksiyomlar
kendi aralarında tutarlı, sisteme yeterli ve
birbirinden bağımsız olmalıdır. Aksiyomlar
bir bilimsel yapının temel taşlarıdır.
Slide 43
Teorem
Matematikte ispatlanması gereken önermelere
teorem denir. Teoremlerin doğruluğunu,
önceden verilen tanım ve aksiyomlardan yararlanarak
ispatlayabiliriz. Bir teoremin
ispatında, kendinden önce gelen teoremlerde kullanılır.
Verilen p ⇒ q koşullu önermesinde, başlangıçta olan p
önermesine hipotez
(varsayım), varılan sonuca q önermesine hüküm
(yargı) denir.
Hipotezin doğruluğundan başlayarak hükmün
doğruluğunu göstermeye teoremin ispatı denir.
Teoremde, hipotezin daima doğru olması gerekir.
Slide 44
İspat Yöntemleri
I. Doğrudan ispat:
Verilen bir teoremde, hipotezin doğru olduğu
kabul edilerek, hükmünde doğru
olduğu gösterilirse, bu ispat şekline, doğrudan
ispat yöntemi denir.
II. Olmayana Ergi ile ispat Yöntemi:
Bir koflullu önermelerde, (p ⇒ q) ≡ (p´ ⇒ q´) dür.
p ⇒ q teoreminin ispatlanması yerine p´⇒ q´
teoremi ispatlanırsa p ⇒ q teoremi
ispat edilmiş olur. Bu yönteme, olmayana ergi ile
ispat yöntemi denir.
Slide 45
III. Deneme Yöntemi ile ispat
Verilen önermedeki değişkene farklı
değerler verilir. Bu değerler, ayrı ayrı
yerlerine
yazılarak önermenin doğruluğu kontrol
edilir. Buna deneme yöntemi ile ispat
denir.
Slide 46
IV. Aksine Örnek Verme Yöntemi ile ispat
Verilen bir önermenin doğru olduğu
ispatlanamıyorsa, aksine örnek verilerek, veya
çelişki olduğu gösterilerek, yanlış olduğu
ispatlanır.
Bu yöntem genellikle p ⇒ q şeklindeki bir
önermenin, yanlış olduğunu ispatlamak
için kullanılır.
O halde, verilen önermenin doğru olmadığını
gösteren en az bir değer varsa, bu
önermenin yanlış olduğu ispatlanmış olur.
Slide 47
V. Tüme Varım Yöntemi ile ispat
Tüme varım yöntemi, özel kurallardan
hareket ederek genel kurala ulaşma
yöntemidir.
O halde, bu yöntemde yapılan ispat,
parçalardan giderek bütünün doğruluğunu
bulmaktır.
Slide 48
VI. Tümden Gelim Yöntemi ile ispat
Tümden gelim, genel kuraldan özel
kuralların çıkarılması yöntemidir.
Bütünden
giderek istenilenin doğruluğunu ispatlama
yöntemidir.