Transcript yunan matematikçiler

Empirik Bilgi : Sonuçları deneye dayalı olarak bulunan bilgidir.
Postulat
: Doğru olduğu kabul gören ancak bunu kanıtlamanın
mümkün olmadığı önermelere denir.
Sav
: İleri sürülerek savunulan düşünce, iddia, dava.
Apriori Bilgi : Bilginin gerçekte matematik alanında elde edilebilir
olduğu varsayılan bilgi.
Önerme
: Doğru veya yanlış yargı bildiren cümle.
Tümdengelim : Genel yargılarda akıl yolu ile tek tek sonuçlar
çıkarılmasına dayanan akıl yürütme biçimi.
Tümevarım : Tek tek deney ve gözlemlerden akıl yolu ile genel
ilkelere ulaşmaya yönelik bir akıl yürütme biçimi.
Aksiyomatik : Temel bir gerçeği kimliklendiren bir önerme.
Uslamlama
: Bilinen önermelerden bilinmeyen önermeleri
çıkarmayı dile getirir, bir değişle bir takım önermelerden mantıksal
önermeler çıkartmak ve bunlardan yeni önermeler çıkartmaktır.
Eski uygarlıklarda özellikle Mısırda arazilerin sınır çizgilerinin
yerinin planını çizmek için ölçüm yapmak önemli bir işti.Her yıl
Nil’in taşan suları,önceki yılın sınır işaretlerini silerek bereketli
toprakları sular altında bırakıyordu.Bu nedenle her yıl Mısırlılar yeni
baştan tarlaların ana hatlarını çizmek zorunda
kalıyorlardı.Mısırlılar,her yıl bu sınırların planını çizmede
ustalaşmışlar ve çizgiler,açılar ve şekillerle ilgili birçok kullanışlı
ilkeleri örneğin, bir üçgenin üç açısının toplamının iki dik açıya eşit
olması kuralı ve bir paralel kenarın alanının aynı yükseklik ve
uzunluğa sahip bir dikdörtgenin alanına eşit olması kuralı gibi
keşfedip kullanmak zorunda kalmışlardı.
Eski Mısırlılar bu ilkelere muhtemelen, gözlem ve deneyle
varmış olmalılar yani tümevarımsal uslamlamayla.Örneğin üç
açının toplamının iki dik açıya eşit olmasını bulmaları yani
parçadan bütünü görme.
Mısırlıların, mimari tasarımın ve inşaat mühendisliğinin
problemlerinde olduğu gibi, tarlaların karşılaştırmalı büyüklükleri ve sınır
çizgilerinin yerleri hakkındaki problemleri çözmede onlara yardım eden
noktaların, çizgilerin ve şekillerin bir deneysel bilgisini toplamayla tatmin
olmuş oldukları gözüküyor.
Yunanlılar, Mısırlıların ne yapabildiğini gördüler ve onların deneysel
ilkelerinden bilgi sahibi oldular. Bu bilgiye Yunanlılar geometri yani
yeryüzünün ölçümü adını verdiler. Fakat Mısırlılardan farklı olarak
Yunanlılar, geometriye yalnızca onun pratik yararlılığı açısından değil aynı
zamanda onun kuramsal alakasından dolayı çok önem verdiler;
geometriyi, geometrinin kendisi için anlamayı istediler. Ve deneysel
yaklaşımla tatmin olmadılar; bütün geometri uygulamalarının altında
yatan, uzamın genel yasalarının katı tümdengelimsel ispatlarını bulmayı
istediler.
Bazı Yunanlı filozoflar, özellikle Pisagor ve Platon, geometriye çok
daha entelektüel öneme sahip bir şey olarak baktılar. Çünkü onun saflığı
ve soyutluğu onlara, bir din metafiziğiyle akrabalığa sahip gözüktü. Sonra
yaklaşık M.Ö. 300de Öklid klasik kitabı Öğeler'i (Elements) yazdı. Bu
kitapta o, kendinden öncekilerin bütün ana geometrik keşiflerini sistematik
bir biçimde bir araya getirerek sundu.






Öklid’in işlemlerinin ayırıcı özellikleri şunlardır:
Öklid daima geometrik yasalarını evrensel bir biçimde formüle etmiştir.
Öklid’in yasaları daima, asla yaklaşımlar olarak nitelendirilmeyen mutlak
ve katı bir biçimde anlatılır. Örneğin der ki; her üçgenin açılarının toplamı
daima iki açıya eşittir. Bunu o, yaklaşık olarak veya genellikle doğru
olduğunu söyleyerek nitelendirmiyor katı ve mutlak katı doğru olan bir
şey olarak sunuyor.
Öklid bu yasaların bir çoğunun yalnız içeriğini vermiyor onları; ispatlıyor
da.
Öklid’in kitabının bütünü sistematik bir biçimde düzenlenmiş ispatlardan
oluşur.
İspatları tümevarımsal değil, tümdengelimsel ispatlardır. Öklid bu
ispatlarla sonuçlarını, mutlak mantıksal zorunluluğun katılığı ile kurmaya
çalışır.
Fakat onlar ne ölçüde ispatlanabilirler?
Bir ispat, bir sonucun doğru olduğu zaten bilinen öncüllerden
mantıksal olarak çıktığını göstermekle, o sonucu kurma yönünde
ilerleyen bir uslamlama zinciridir. Eğer ispatın dayandığı bir temele
hizmet eden öncülleri zaten bilmiyorsak, ya da onlardan biriyle
başlamıyorsak, bir ispata sahip olamayız. Ve eğer, noktalar, çizgiler,
şekiller ve buna benzer şeyler hakkındaki geometrik yasalardan biri
olan öncüllerden başlayamıyorsak, herhangi bir geometrik sonucun
nasıl ispatlandığını görmek zordur. Öklid kesinlikle düşündü ki,
geometrik öncüller, geometrik sonuçların kurulması için
vazgeçilmezdir. Varsayın ki bir geometrik sonuç, yalnızca, en
azından geometrik olan bazı öncüllerin temelinde ispatlanabilir
demekteyiz. Bu,her geometrik yasayı ispatlamayı beklemememiz
gerektiği anlamına mı gelmektedir? Eğer bazı geometrik yasalardan
başlamış olsaydık, onlardan diğerlerini çıkarsaydık, sonra yine
bunlardan diğerlerini çıkarsaydık ve sonuçta bu sonrakilerden
orijinal yasalarımızı çıkarsaydık ne olurdu?
Şüphesiz bu yapılabilirdi; şüphesiz her bir geometrik yasa diğer
geometrik yasalardan çıkarsanabilir. Öyleyse bu, onların hepsini
ispatlayamayacağımız anlamına mı gelecekti? Elbette yanıt
hayırdır, çünkü böyle varsayılan her ispat, bir çembersel
uslamlamanın hatasına düşecekti (yasayı ispatlanmış kabul ederek).
Çembersel uslamlama bir ispat değildir, çünkü böyle bir uslamlama
kendi sonuçlarının doğruluğunu kurmada başarılı değildir.
Hatırlamalıyız ki, tümdengelim ispatla aynı değildir:
Öncüllerden bir sonucu çıkarsama, yalnızca eğer öncüller zaten
doğru olarak biliniyorsa sonucun bir ispatını verme sayılır. ("Bütün
domuzların uçtuğu" sonucunu, "bütün domuzlar memelidir ve
bütün memeliler uçar" öncülünden yeterince kolay bir şekilde
çıkarsayabiliriz. Fakat bu bütün domuzların uçtuğunu ispatlamada
düpedüz başarısızdır.)
Böylece öyle gözüküyor ki, bazı geometrik yasalar, eğer
diğerleri ispatlanacaksa, ispatlanmadan bırakılmalıdır. Yani
geometrinin yasaları iki gruba bölünmek zorundadır: Bir yanda
ispatlanmayacak, ama öncüller olarak alınacak yasaların bir küçük
grubu olacak; öte yanda, her biri bu temel öncüllere başvurmayla
kesinkes ispatlanacağını umduğumuz diğer geometrik yasaların
sonsuz geniş bir grubu olacak. Öklid'in Öğeler'i yasaların bu ilk
grubuna "postulatlar" adını verir: Bunlar, Öklid'in doğru olarak
baktığı, ispatlamaya niyet etmediği fakat diğer geometrik yasaların
ispatları için kullanacağı, çizgiler, açılar, şekiller hakkındaki
yasalardır. İspatlanacak bu yasalara "teoremler" adı verilir (veya
daha eski moda terminolojide, basitçe "önermeler" adı verilir).
Öklid'in, aslında kendi sisteminde verdiği beş postulata bakalım.
Aşağıda verilen postulatlardan şöyle bahseder:





Herhangi bir noktadan diğer herhangi bir noktaya düz bir çizgi
çizilebilir.
Herhangi sonlu düz bir çizgi, bir düz çizgide daimi olarak
uzatılabilir.
Verilen herhangi bir nokta ve uzunluk için, o noktayı merkez alan
ve yarıçap uzunluğu o uzunluk olan bir çember çizilebilir.
Bütün dik açılar birbirine eşittir.
Eğer bir düz çizgi, diğer iki düz çizgiyi keserse, öyle ki, bir
kenardaki iki iç açının toplamı iki dik açıdan küçükse, şu halde iki
düz çizgi yeterince uzatıldığında, bu açıların olduğu ilk çizginin
aynı kenarında kesişirler.
Öklid'in ilk üç postulatı açık kılacaktır ki, o, yeryüzünün ölçümünün
somut problemleri gibi herhangi edimsel bir şeyi doğrudan
tartışmamaktadır; çünkü incelenen edimsel olgu altında, her noktadan
diğer her noktaya düz bir çizgi çizileceği doğru değildir. Engeller (dağlar,
deniz, yabancı bir ülkenin sınırı) sık sık bunu önler.
Fakat elbette Öklid bütün bunları biliyordu; o, basitçe bu pratik
sınırlamalarla ilgilenmedi. Onun kavramsallaştırması ilkece, bir düz
çizginin, herhangi iki nokta arasına edimsel olarak yapabilelim ya da
yapamayalım çizilebileceğine dair bir kavramsallaştırmadır. Böylece
Öklid'in kavramsallaştırması, içinde hiçbir mutlak engelin olmadığı ve
çevresinde hiçbir mutlak dış sınırın olmadığı bir uzayın
kavramsallaştırmasıdır.
Öklid'in dördüncü postulatı bilmecemsi gözükebilir, Eğer iki açı birlikte
dik açıysa, şu halde elbette eşit oldukları gözükmektedir; Öklid neden bu
postulata gerek duydu? Çünkü o bildirim, yalnızca mantıksal formu
yüzünden doğrudur; bir mantık doğruluğudur, bir geometri doğruluğu
değil. Buna rağmen Öklid'in kavramsallaştırması, eğer açı, bir düz
çizginin diğer düz çizgi üzerine bitişik açıları eşit kılacak bir şekilde
ayarlanmasıyla elde edilen bir açı ise, bu, açının bir dik açı olduğuna
ilişkin bir kavramsallaştırmadır.
Böylece, dördüncü postulat, Öklid'in anladığı gibi salt kendi
mantıksal biçimi yüzünden doğru değildir ve Öklid daha sonra onu
kendi ispatlarında kullanacağından, onu açıkça bir postulat olarak
belirtmek gerekmektedir. Beşinci postulat, öncekilerden çok daha
karmaşık bir yasadır. Onun anlamı bir şekil aracılığıyla
betimlenebilir.
Varsayın ki AA', BB' ve CC' gibi üç düz çizgiye sahibiz. Postulat
bize der ki, eğer AA', hem BB' hem de CC' ü keserse ve CEA ve
BDA' açılarının toplamı iki dik açıdan az olacak bir şekilde olursa
ve şu halde BB' ve CC' eğer yeterince uzatılırsa, ilerde bir yerde
birbirlerini keseceklerdir.





Öklid için aksiyomlarla Postulatlar arasındaki temel fark,
postulatlar özellikle geometrinin konusu olan nesneler (çizgiler,
açılar, şekiller ve diğerleri) hakkında konuşurken, aksiyomlar özel
olan geometrik herhangi bir şeyden konuşmaz, daha genel olandan
konuşur gözükür. Aksiyomlar, geometrinin yanı sıra birçok
konunun tartışmasında kullanılan bir kavram olan büyüklüğün
eşitliğiyle ilişkilidirler. Öklid'in aksiyomları şunlardır:
Aynı şeye eşit olan şeyler, birbirlerine eşittirler.
Eşit şeylere eşit şeyler eklenirse, toplamlar eşit olur.
Eşit şeylerden eşit şeyler çıkarılırsa, kalanlar eşit olur.
Birbirleriyle çakışan şeyler, birbirleriyle eşittir.
Bütün parçasından büyüktür.
Eğer bir kişi büyüklük hakkındaki aksiyomlardan kuşku duymuş
ya da reddetmiş olsaydı, böylece kendini pratik olarak tüm ciddi
entelektüel konular hakkında düşünmede mesnetsiz bırakmış
olacaktı; çünkü bütün konular veya hemen hemen bütün konular şu
ya da bu şekilde büyüklük kavramıyla çalışır.
Öklid, bu geometrik yasalarda yer alan terimlerin her birinin
anlamını yeterince sabitlemek için, bu terimlerle sistematik bir
şekilde ilgilendi. Her bir terimin anlamının yeterince
sabitlendiğinden emin olma isteği ve kısmen saf bir açıklık
isteğinden dolayı bütün terimlerin kullanılmadan önce
tanımlanması, Öklid yönteminin ana noktasını oluşturur. Fakat bu
amaç yine kısmen, teoremlerin ispatında mantıksal hataları
önlemeye de yardım eder; çünkü tanımlanmamış terimlerin
habersizce teoremlerimize girmesine izin verirsek, bu engellenemez
bir şekilde bu terimleri içeren yeni ve çürük öncüllerin
uslamlamamıza habersizce sızmasına izin vermek olacaktır
sonuçta, sonuçlarımızı olması gerekenden daha az öncülden
çıkarıyor olmak gibi bir yanlış yapmış olacağız.
Öğeler’in I. Kitabının başlangıcında yer alan bazı tanımlar aşağıdadır:
 Nokta, parçası olmayandır.
 Çizgi, genişliği olmayan uzunluktur.
 Düz çizgi, kendi üzerindeki noktalarla bir hizada uzanan bir
çizgidir.
 Yüzey, uzunluğa ve genişliğe sahip olandır.
 Düzlem yüzey, kendi üzerindeki düz çizgilerle bir hizada uzanan
yüzeydir.
 Düzlem açı, ikisi de bir düz çizgide uzanmayan ve birbirleriyle bir
düzlemde karşılaşan iki çizginin birbirleriyle kurdukları eğimdir.
 Bir düz çizgi, diğer bir düz çizgi üzerine bitişik açılar birbirlerine
eşit olacak şekilde dikildiğinde, eşit açılardan her birine dik açı adı
verilir ve diğerinin üzerinde dikilen düz çizgiye dikey adı verilir.
 Şekil, herhangi bir sınır ya da sınırlar tarafından kapsanan şeydir.
 Çember, bir çizgi tarafından kapsanan bir düzlem şeklidir, öyle ki,
şeklin içinde uzanan düz çizgiler arasındaki bir noktadan çizgi
üzerine düşen tüm düz çizgiler birbirine eşittir.
 Paralel düz çizgiler, aynı düzlemde yer alan ve hiçbir yönde
birbirleriyle buluşmayan her iki yönde de sonsuzca uzatılabilen düz
çizgilerdir.
Postulatlar, aksiyomlar ve tanımlar, Öklid'in ispatları için
başlangıç noktası sağlarlar. Öğeler'de ispatlanan şeyler iki
türdendir. Bazıları evrensel yasalardır: Örneğin 1. Kitabın 4.
önermesi der ki "Eğer iki üçgenin karşılıklı olarak iki kenarı
birbirine eşit ise ve eşit kenarlar tarafından kapsanan açılar eşit ise,
tabanlar ve üçgenler eşit olacak ve eşit kenarların karşısında
bulunan kalan açılar karşılıklı olarak kalan açılara eşit olacaktır"
Buna rağmen evrensel yasalar olarak formüle edilmemiş, fakat
daha çok uygulanacak görevler olarak ifade edilmiş diğer teoremler
vardır. Bu uygulanacak görevlerin tarifesi, teoremin ispatını
olanaklı kılacak şekilde verilir ve bu tarifenin uygulanmasıyla
teoremin ispatı gerçekleşmiş olur. Öklid yöntemine kısa bir
bakış elde etmek için, onun I. Kitabın 1. Önermesini ele alışına
bakalım.
Verilen sonlu bir düz çizgiden bir eşkenar üçgen oluşturmak üzere AB gibi
sonlu düz bir çizgi alalım
AB gibi sonlu düz bir çizgi alalım. Böylece istenen, AB düz çizgisi
üzerinde eşkenar üçgen oluşturmak olsun. A merkezli ve AB yarıçaplı BCD
çemberi çizilsin.Yine B merkezli BA yarıçaplı ACE çemberi çizilsin; ve C
noktasından çemberlerin birbirini kestiği yerden, A ve B noktalarına düz
çizgiler CA ve CB çizilsin.Şimdi A noktası CDB çemberinin merkezi
olduğundan AC, AB'ye eşittir.Yine B noktası, CAE üçgeninin merkezi
olduğundan BC, BA'ya eşittir.Fakat CA'nın da AB'ye eşit olduğu ispatlandı;
dolayısıyla CA, CB düz çizgilerinin her biri AB'ye eşittir .Ve CA, CB'ye
eşittir. Dolayısıyla CA, AB, BC düz çizgileri birbirlerine eşittir. Sonuç olarak
ABC üçgeni eşkenardır ve verilen sonlu düz çizgi AB üzerine kurulmuştur.
Öklid'in sistemini örgütleyişinin temel şekli hakkında biraz daha
düşünelim. Öklid, kendi şemasında, ispatlanmamış postulatlara
açıkça ihtiyaç duymuş olmasına rağmen, tanımlanmamış terimlerin
de olması gerektiğine inanmadığı gözükmektedir. Öğeler,
tanımlanmamış terimler listesini içermemektedir, fakat tersine,
Öklid kullandığı bütün terimleri tanımlamaya teşebbüs etmiştir.
Öklid'in postulat ve teoremlerinde yer alan terimler, gerçekte
sisteme ait olmayan (yani, postulat ve teoremlerde yer almayan)
diğer terimlerin aracılığıyla kısmen açıklanır. Bu tanımlar Öklid'in
ispatlarında Öklid tarafından kullanılmamıştır. Diğer birçok tanım
onun sistemindeki bazı terimleri yine sistemde yer alan diğer
terimlerle açıkça bir ilişkiye sokar.
Daha modern bir bakış açısından diyebiliriz ki, bunun gibi bir
sistem göz önüne getirildiğinde, başlangıçta verilmesi gereken ve
açık kılınması gereken iki temel karar vardır. Birinci karar,
terimlerle ilişkilidir. Eğer sistematikleştirdiğimiz konu geometri ise,
onda yer alan bütün terimler dizisine göz atmalıyız ve ilkel
terimlerimiz olarak hizmet edecek olanların bir listesini seçmeliyiz.
Bu terimlerin hangilerinin, organize edilmiş tekil sistemde ilkel
olarak sayılabileceğine karar vermeliyiz. Doğal olarak, ilkel
terimlerin listesi böylece bize, konunun diğer terimlerinin
bütününün veya bir çoğunun tanımlanmasına izin vermiş olacaktır.
İkinci temel karar, aksiyomlar veya postulatların seçimiyle ilgili
olarak verilmelidir. Öklid'in aksiyomlar ve postulatlar arasındaki
ayrımı, "aksiyom" ve "postulat" sözcüklerini genellikle birbirinin
yerine konulabilir olarak kullanan modern yazarlar tarafından
korunmaz. Bu ikinci kararı vermede, bizim ilkel ve tanımlı
terimlerimizi kullanarak ifade edilebilen yasaların bütününü
düşünürüz ve kendilerinden teoremlerimizi ispatlayacağımız,
ispatlanmamış varsayımlarımız olarak hizmet edecek olan bunların
sınırlı bir listesini seçeriz. Bu ispatlanmamış varsayımların tümüne
aksiyomlar adı verilir.
Öğeler'de Öklid, halihazırda bilinen yasaların sağlamış olduğu
katılığı artırarak, noktalar, çizgiler ve şekillere dair bilgimizi
kuvvetlendirmeyi amaçlamıştır; aynı zamanda yeni ve şimdiye
kadar bilinmeyen yasaları ispatlayarak bu bilgiyi genişletmeyi de
amaçlamıştır. Öklid, sistematik tümdengelimsel bir biçimde
geometriyi kurmayı çabalar, çünkü o böyle yapmakla, ispatlarının
katılığını artırdığı gibi, yeni yasaları ispatlamayı da kolaylaştırır.
Aksiyomların ve teoremlerin bu tümdengelimsel kuruluşu aynı
zamanda, diğer bir amaca, şık ve kavrayışlı bir biçimde
geometrinin yasalarını göstermeye, onlar arasındaki mantıksal
bağları sergilemeye hizmet eder.
Gerçekte, hem ilkel terimlerin kümesinin seçimi açısından hem
de aksiyomların kümesinin seçimi açısından çalışmada birbirine
karşıt sıkıntılar vardır. Bir yandan, bu kümelerin seçiminde,
olanaklı olduğu ölçüde ekonomik olmak arzu edilen bir durumdur;
aksiyomlar ve ilkel terimler listesi daha basit olan bir sistem, daha
şıktır. Öte yandan, ne ilkel terimler listemiz ne de aksiyomlar
listemiz keyfen çok kısa tutulabilir.
Tanımları, sistemin tümdengelimsel gücünü artırmak için
kullanırız. Daha geniş bir sözlük kullanmakla, ilkel terimlerin ve
aksiyomların listesini ekonomik olarak korurken, ilkel terimlerin
yanı sıra diğer terimleri içeren teoremleri ispatlayabiliriz. Bu
tanımlara ilişkin ne istenebilir? Öklid bir dik açıyı tanımladığında,
doğru bir tanım veriyor muydu? Bazı kişiler belki de "90 derecenin
eşitinin" bir dik açının daha iyi bir tanımı olduğunu
düşünmeyecekler miydi? Burada yine modern bir bakış açısının,
bunun gibi bir terimin çok farklı ve eşit oranda meşru tanımları
olabileceğine ilişkin bir bakışı vardır.
Öklid'in geometri sistemi çok yüksek önemde bir
entelektüel başarıydı, fakat filozoflar için ciddi problemler
doğurdu. Öklid'in noktalar, çizgiler ve şekiller hakkındaki
teoremlerine, onun postulatlarının sırf mantıksal sonucu
olarak bakılabilir gözükmektedir. Fakat postulatların konumu
nedir? Onlar doğru olduklarını bilebileceğimiz doğruluklar
mıdır? Eğer öyleyse, empirik doğruluklar mı yoksa a priori
doğruluklar mıdır? Onlar ne türden bir bilgidirler ve onların
doğru olduklarını nasıl bilebiliriz? Öklid'in kendisi basit bir
tarzda geometri yapmıştı, geometrinin anlamı ile ilgili bu gibi
felsefi sorular hakkında yazmamıştı. Fakat hem eski hem
modern filozoflar bu konularla bizzat ilgilendiler; ve en
azından on dokuzuncu yüzyıla kadar, temel bazı noktalar
hakkında uyuşmakta kendi aralarında önemli bir ölçüt vardı.
Öklid'in ilkelerinin, doğruluğu ya da yanlışlığı olmayan boş
formüller olduğuna dair bir öneriyi saçma olarak düşünmüşlerdir.
Onlar geometriye, konusu, noktalan, çizgileri, şekilleri vb... içeren
bir bilim olarak baktılar; ve noktalar, çizgiler ya da şekiller
hakkında bir şey söylemek, doğru ya da yanlış olan bir şey
söylemektir.
Öklid'in geometrisi, mükemmel olarak doğru ve sağlam olan bir
bilginin, uzamın doğası hakkındaki bilimsel bir bilginin gövdesi
olarak kabul edildi. Ayrıca, düşünürlerin büyük bir çoğunluğu,
geometrik bilginin empirik olmayan a priori bir bilgi olduğu
hakkında uyuşmuşlardı. Onlar, Öklid'in postulatları ve teoremlerini
ileri sürmenin, duyu deneyinin desteğine ihtiyacı olmayan zorunlu
olarak doğru olan bildirimler yapmak olduğunu; buna rağmen
onları reddetmenin, duyu deneyiyle temellendirilmesine gerek
olmadan ve zorunlu olarak yanlış olan bildirimler yapmak olacağını
kabul etmişlerdi.
Platon, bu konu üzerine çarpıcı bir sav ileri sürdü. O, bizim
geometrik doğruluklara ilişkin bilgimizin, duyu deneyinden gelen
delil üzerine dayandırılamayacağını savundu. Çünkü duyular ile
asla mükemmel noktalar, düz çizgiler ya da şekillerin bilgisini elde
edemeyiz. Asla noktaları görmüyoruz; gördüğümüz parçaları olan
noktalardır. Asla düz çizgileri görmüyoruz; gördüğümüz, daima
biraz genişlikli ve daima bir parça eğri çizgilerdir. Asla mükemmel
bir çember veya mükemmel bir eşkenar üçgen görmüyoruz; çünkü
gördüğümüz şekiller asla mükemmel genişliksiz çizgilerden
yapılmamıştır, ne de mükemmel olarak orantılıdır. Dolayısıyla,
geometrik bilgi, duyusal gözlemlerden gelen delil üzerine dayanan
bilgi olamaz; çünkü böyle bir delil yoktur. Eğer bu sav doğru ise,
geometrik bilgi empirik olmayan a priori bilgi olmalıdır.
Platon'dan sonra birçok filozof, Platonun düşünme çizgisinden
derinden etkilendiler. O'nun savı, buna rağmen, inandırıcı değildir.
Şunun için, Platon'un, noktaların, çizgilerin ve şekillerin asla
mükemmel örneklerini gözlemleyemeyeceğimize ilişkin iddiasının
doğru olduğu açık değildir.
Dahası, eğer gerçekte var olan mükemmel bir düz çizgiye ilişkin
herhangi bir şeyi asla gözlemlememiş olsaydık bile, yine de bu,
noktalar, çizgiler ve şekillere ilişkin bilgimizin empirik bilgi
olamayacağını ispatlamamış olurdu. Bu durum bilimde, örnekleri
gözlemlenmemiş şeylere ilişkin yapılan empirik bildirimler için,
yaygın olmayan bir şey değildir. Kant, noktalar, çizgiler ve şekiller
hakkındaki Öklid'in postulatlarının ve teoremlerinin empirik
olamayacağını, çünkü empirik genellemelerden çok farklı olduğunu
ileri sürdü. Kant'a göre, Öklid'in teoremleri ve postulatları bir
genelliğe sahiptir ve hiçbir genellemenin sahip olamayacağı bir
zorunlulukla yakından ilintilidir. Kant, her üçgenin açılarının
toplamının tam olarak iki dik açı toplamına eşit olduğunu aslında
bildiğimizi ileri sürer. Bu ilkeye dair bilgimiz, istisnaların
olmadığını, hatta ufak istisnaların bile olmadığını bildiğimiz
anlamda genelliğe sahiptir.
Ayrıca, eğer bilgimiz empirik genellemeye dayanmış olsaydı,
toplanan ile gözlemsel delil daima, genellemenin sahip olduğu
kesinlik derecesini bizim için artırma meyilinde olurdu. Daha fazla
üçgeni ölçtüğümüzde, yasanın ifade ettiği kesinliği hissetme
hakkımız daha fazla olurdu. Kant, bunun olmadığı görüşündedir.
Kant‘ın savı değerli bir savdır, fakat mutlak tartışılmaz değildir.
Geometrik bilginin, a priori bilgi olup olmadığına ilişkin bu
sorunsa da daha sonra tekrar döneceğiz.
Öklid'in postulatlarının ve teoremlerinin durumu açısından bir başka önemli
nokta vardır ki, onlar en azından on dokuzuncu yüzyıla kadar birçok düşünür
tarafından kabul edilmişlerdir. Onların birçoğu, Öklid'in postulatlarını ve
onlardan çıkan diğer bütün önemli teoremleri filozofların dili açısından,
analitik olmalarından daha çok sentetik kılan bir tür içeriğe sahip a priori
doğruluklar olarak düşünmüşlerdir. Eğer Kant gibi bir kimse, mantıksal
doğruluklara, sentetik olmaktan daha çok analitik olan temel doğrulukların
örnekleri olarak bakarsa, bu kimse, geometrinin sıradan olmayan sentetik
doğrulukları ile mantığın sıradan analitik doğrulukları arasında önemli bir
farkın var olduğunu söyleyerek geometri hakkındaki bir noktayı ifade edebilir.
Geometrinin yasalarının analitik olmasından daha çok sentetik olduğunu
kabul etmek için gerekli olan temellendirme nedir? Bu temellendirme nasıl
kurulabilirdi? Bazı bildirimlerin analitik mi ya da sentetik mi olduğu üzerine
bir tartışma olduğunda, onun analitik olduğunu savunan kişi, haklılığını
ispatlamak için daha iyi bir konumdadır. Çünkü, bazen bir bildirimin analitik
olduğunun açık bir ispatı verilebilir.
Bir bildirimin sentetik olduğunu kabul etmek, böyle bir ispatın
yapılamayacağını kabul etmektir. Böyle bir ispatın
yapılamayacağını bir kimse nasıl ispatlayabilir? Bu negatif türden
tezin kurulması oldukça zor görülüyor; bir bildirimin sentetik
olduğunun herhangi bir ispatının olabileceği gibi bir şey güç
gözükmektedir.
Zaten Kant, geometrinin sentetik olduğu öğretisinin en açık
savunusunu yapan kişi olarak, bu tezini herhangi formel bir
biçimde ispatlama teşebbüsüne girmemiştir. O bizden basitçe,
geometrinin temel ilkelerinin anlamı üzerine düşünmemizi ister;
onların sırf sözel doğruluklar olmadığı ve boş mantıksal
doğruluklara denk olduklarının gösterilemeyeceğinin kendinden
açık olduğunu düşünür. Elbette, noktalar, çizgiler ve şekiller
hakkındaki bazı doğru bildirimler analitiktir; Kant bile bunu kabul
etmek zorunda kalmıştı. Örneğin Öklid'in geometri sisteminde
bütün çemberlerin şekil olduğu bildirimi analitiktir, çünkü bu
Öklid'in "çember" teriminin tanımının bir sonucudur.
Sentetik bilgi, salt terimlerin anlamını anlamanın üzerinde veya
altında bir şeye dayanır. Ve filozoflar, bu bilgi için olası bir temel
olarak duyu deneyini reddetmede genel olarak hem fikir
olmuşlardı.
Kant, insan zihninin geometrik yasaları neden kavrayabildiğine
ilişkin farklı bir teori öne sürer. Bu görüş, ona göre, zihnin
kendisine dışsal herhangi bir şeyi bilemeyeceğine ilişkin bir
görüştür; bu görüş, zihnin kendi "duyusallık formuna" yönelik
bütünüyle içsel bir kavrayıştır. Dış etkilenimler tarafından zihinde
açığa çıkan bütün duyumlar, Öklidci mekânsal form ile zihin
tarafından sağlanır; bu basitçe, zihnin duyu yetisinin çalışma
şeklidir Kant'a göre. Zihin, kendi sahip olduğu işlevselliğinin
kipine ilişkin kavrayışı elde etme yeteneğindedir ve böylece
duyulanabilen olanaklı her şeyin mekânsal olması ve Öklidci
yasalara uyması gerektiğini kavrayabilir. Böylece Öklidci uzayın
yasalarının, her şeyin evrenselliğini ve zorunluluğunu sağladığına
ilişkin bilgiye ulaşılır.
Kant, teorisinin, geometrinin nasıl bir bilim olabileceğini
açıkladığını hisseder; yani bu teori, bize göründüğü şekliyle
dünyanın mekânsal formunun sentetik a priori bilgisine nasıl sahip
olabileceğimizi açıklar.
Geleneksel felsefi terminolojinin bir kısmını kullanarak,
Platon'un kuramını, geometrik bilginin nesneleri hakkında gerçekçi
bir kuram olarak tarif edebiliriz. Çünkü Platon, bu nesnelerin
onlara duyu deneyiyle erişilemez olmasına rağmen bizim zihnimiz
dışında gerçek varlıklara sahip olduğunu iddia eder. Kant‘ın
kuramını kavramsala bir kuram olarak tarif edebiliriz. Çünkü o,
geometrik bilginin nesnelerinin gerçek olduğunu, buna rağmen,
onların zihnin içinde bir gerçekliğe sahip olduklarını iddia eder.
Daha sonra izleyen bölümde bu probleme yeniden döneceğiz.
YUNAN MATEMATİKÇİLER
EUCLID (M.Ö.330-260)



Mısırın İskenderiye kentinde doğmuştur.
I. Ptolemaios döneminde İskenderiye’de
bir okul kurarak öğretmenlik yapmıştır.
Elements adlı kitabını yazmıştır.
YUNAN MATEMATİKÇİLER
EUCLID (M.Ö.330-260)
ÖĞELER (ELEMENTS)
 Verilen iki noktadan bir doğru
geçirilebilir.
 Sonlu bir doğru istenildiği kadar
uzatılabilir.
 Merkezi ve üzerindeki bir noktası verilen
çember çizilebilir
 Tüm dik açılar birbirine eşittir.
 İki doğru bir doğru ile kesildiğinde
kesenin aynı yanında oluşan iki iç açının
toplamı iki dik açıdan küçükse doğrular
uzatıldığında bu tarafta kesişirler.
YUNAN MATEMATİKÇİLER
EUCLID (M.Ö.330-260)
Genel Kabuller
 Aynı şeye eşit olan şeyler eşittir.
 Eşit şeylere eşit şeyler katılırsa oluşan
bütünler birbirine eşittir.
 Eşit şeylerden eşit şeyler çıkartılırsa
kalanlar birbirine eşittir.
 Birbiriyle çakışan şeyler birbirine
eşittir.
 Bütün, parçalardan büyüktür
YUNAN MATEMATİKÇİLER
EUCLID (M.Ö.330-260)
“ELEMENTS” HAKKINDA...
 İncilden sonra en çok basılan kitap.
 Kitap, Euclides’in ölümünden tam 700
yıl sonra İskenderiyeli Theon(365)
tarafından tam olarak düzenlenmiş ve
kopyalanmıştır.
 İlk baskısı M.S.1482 de yapılmıştır.
 Bu tarihten öncekiler el yazmaları
olarak çoğaltılmıştır.
 13 kitapta 465 tane önerme vardır.
 2300 yıldır bu kitabı kullanılıyor ve
kullanılmaya devam edilecek.
YUNAN MATEMATİKÇİLER
EUCLID (M.Ö.330-260)
“ELEMENTS” KİTABININ İÇERİĞİ
 İLK DÖRT CİLT: Düzlem Geometri,
Doğrular ve Açıların Temel Özellikleri,
Üçgenlerin Eşitliği, Pisagor Teoremi ,
Alanı Verilmiş Dikdörtgenle Aynı Alana
Sahip Kare Çizme, Altın Oran, Daire ve
Düzgün Çokgenler
 5. KİTAPTA: Eudoxus’un Oranlar Kuramı
 6. KİTAPTA: Oranlar kuramı benzer
düzlem şekillerine uygulanır. Çevresi
aynı olan dikdörtgenlerin en büyüğü
karedir. Yeniden Pisagor Teoremi ele
alınır. Benzerlikler ele alınır.
YUNAN MATEMATİKÇİLER
EUCLID (M.Ö.330-260)
“ELEMENTS” KİTABININ İÇERİĞİ



7. - 9. KİTAPTA: Sayılar Kuramı,
Bölünebilme, Geometrik Seriler
Toplamı, Asal Sayıların Özellikleri,
EBOB-Öklit Algoritması, Sonsuz Sayıda
Asalın Varlığı
10. KİTAPTA: Geometrik Tartışmalar,
İrrasyonel Sayılar (2. Derece Denklem
Çözümleri), Köklerin Sınıflandırılması
SON ÜÇ KİTAP (11-13): Uzay
Geometri, Paralelyüzlü-PrizmaPiramit-Küre Hacimleri, Platonun Beş
Düzgün Katı Cismi Tartışılır.

1)Apriori ve empirik bilgiyi tanımlayınız.
Apriori bilgi: Bilginin gerçekte matematik
alanında elde edilebilir olduğu varsayılan
bilgidir.
Empirik bilgi: Sonuçları deneye dayalı olarak
bulunan bilgidir
2)öklidin aksiyomlarına örnek veriniz.
Öklid'in aksiyomları şunlardır:
 Aynı şeye eşit olan şeyler, birbirlerine eşittirler.
 Eşit şeylere eşit şeyler eklenirse, toplamlar eşit
olur.
 Eşit şeylerden eşit şeyler çıkarılırsa, kalanlar eşit
olur.
 Birbirleriyle çakışan şeyler, birbirleriyle eşittir.
 Bütün parçasından büyüktür.

3)öklid için aksiyomlar ve postulatlar
arasındaki temel fark nedir:
Postulatlar özellikle geometrinin konusu olan
nesneler (çizgiler, açılar, şekiller ve diğerleri)
hakkında konuşurken, aksiyomlar özel olan
geometrik herhangi bir şeyden konuşmaz,
daha genel olandan konuşur gözükür.
BİZİ DİNLEDİĞİNİZ İÇİN
TEŞEKKÜR EDERİZ.