Transcript Matematik Felsefesi Ödev Şablon

DİKKAT! Arkadaşlar BU FORMAT sunuyu slayt
formatında inceledikten sonra SİZDEN
İSTENİLEN SUNUYU HAZIRLAYIN.
Aksi taktirde istenilen özelliklerde bir sunu
hazırlamakta güçlük yaşarsınız!!!
Ayrıca adınızı soyadınızı, öğrenci
numaralarınızı göndereceğiniz emailde
([email protected]) ve slaytta kesinlikle
belirtin.


Giriş
Mantıkçılık


Formalizm



Mantıkçılık-Eleştiri
Gödel darbesi
Formalizm-Sonuç
Sezgicilik


Sezgicilik-Eleştiri
Sezgicilik-Sonuç




Filozofların matematikle ilgilenmeleri Antik Yunan döneminden beri sürüp
gelen bir olaydır. Platon “Geometri bilmeyeni Akademi’sine almıyordu”.
Modern felsefenin kurucusu Descartes aynı zamanda seçkin bir
matematikçiydi.
Analitik geometriyi en başta ona borçluyuz. Sonsuz küçükler teorisine
yönetilen ilk ciddi eleştirinin bir filozof olan Berkley’den gelmiş olması da
bir rastlandı değildir.
Felsefe ile matematiğin ilişkisi, bu örneklerden görüleceği gibi, Pragmatist
felsefenin kurucusu C.S. Peirce’ın, “ Metafizik sürgit matematiğin taklitçisi
olmuştur” yargısının tersine, salt özenti olmaktan ileri bir şeydir.
Kaldı ki, matematiğin bunalıma girdiği kimi dönemlerde matematikçilerin
de az çok felsefeye başvurduklarını biliyoruz. Özellikle son yıllarda yoğun
bir yöneliş var.
İÇERİĞE GERİ DÖN




Geçen yüzyılın ikinci yarısında ortaya çıkan kimi gelişmeler, matematiğin
temellerine ilişkin felsefeyi ilgiyi geniş ölçüde artırır. O dönemin sonunda
matematiğin içine düştüğü bunalıma yol açan gelişmeleri iki başlık altında
toplayabiliriz:
1. Euclides-dışı geometrilerin ortaya çıkışı. Bu olay matematiğin
doğruluğu zorunlu ya da apaçık aksiyomlara dayandığı görüşünü
çökeltir.
2. Kümeler teorisinden kaynaklanan paradokslar ve bunlara
doyurucu bir çözümün bulunamaması. Matematiğin
tutarlığına ilişkin genel bir ispatın yokluğuyla birleşen bu olay
matematiğe duyulan geleneksel güveni temelden sarsar.
İÇERİĞE GERİ DÖN





Her iki gelişme de, klasik matematik etkinliği dışında yeni bir arayışa,
“felsefi çözümleme” diyebileceğimiz bir yaklaşıma yol açacak nitelikteydi.
Bunların sonucunda seçkin matematikçiler arasında yoğun tartışmalar
olmaya başladı. Bu tartışmalar 3 temel öğretinin çatışmasına dönüştü.
Bunlar:
Mantıkçılık(Logicism)
Biçimcilik(Formalism)
Sezgicilik(Intuitionism)
İÇERİĞE GERİ DÖN

Matematiğe sağlam bir temel oluşturma yolunda en göz alıcı felsefi girişimin
mantıkçılık olduğu söylenebilir.

Frege’nin (1848-1925) öncülüğünde belirgin bir kimlik kazanan mantıkçılık,
kökeni daha ilerlere dayanan bir görüştür.

XVII. Yüzyılda Leibniz mantıkçılık tezini andıran düşünceler ileri sürmüştü. Ona
göre mantığın kavram ve ilkeleri tüm diğer bilimlerin temelinde yer alan
düşünceleri oluşturuyordu.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Frege’nin yaklaşımı daha kesindi: Aritmetik mantığa indirgenerek temellendirilmeliydi.

Frege’nin mantıkçılık diye bilinen bu tezi çarpıcı olduğu kadar özünde basittir:
Matematik temelde mantıkla özdeştir.

Frege aritmetiği, Russell ise tümüyle matematiği mantığa indirgeme (ya da mantığın
bir uzantısı olarak gösterme) yolundan mantıkçılık tezini ispatlamaya koyulurlar.

Girişim gerçeklik kazanması şu iki koşulun yerine getirilmesine bağlı görülmüştür:
1. Tüm matematiksel kavramların (daha doğrusu bu kavramları belirleyen terimlerin)
salt mantıksal terimlerle belirtik tanımlarını vermek
2. Matematiğin tüm aksiyom ve teoremlerini mantığın temel ilkelerinden çıkarsamak.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Bir tanımlama sorunu olan ilk koşul, her şeyden önce, tanımlayıcı olarak kullanılacak mantık
terimlerinin belirlenmesini gerektirmekteydi. Bunlar örneğin “mantıksal değişmezler” denen
“değil”, “ve”, “veya”, “ise”, “tüm”, “bazı” gibi hiçbir bağlamda vazgeçilemeyen sözcüklerdir.

Frege’den önce kimi matematikçiler matematiksel kavramlar arasındaki ilişkilerle ilgilenmiş,
aritmetiğin tüm kavramlarının doğal sayılara (1,2,3,..9 indirgenebileceğini göstermişlerdir..
mantıkçılığa kalan iş doğal sayıları mantık terimleriyle dile getirmekti. Frege sayı kavramın
küme kavramının yanı sıra eşdeğerlik ilişkine başvurarak tanımlama yoluna gider. Örneğin,
bir pardesüdeki düğmelerin kümesiyle iliklerin kümesi eşdeğer kümelerdir. “bir kümenin
sayısı” kendisine eşdeğer olan tüm kümelerin kümesi demektir.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Frege’nin yanı sıra G.Peano’nun (1858-1932) bir yandan
aritmetiği aksiyometik bir sistem olarak kurması, öte yandan bu
sistemin önermelerini postulat ve teoremlerini son derece işlek
bir notasyonla dile getirmesi ki başarısı mantıkçılığa önemli bir
güç katar. Peano’ya gelinceye dek aritmetik, geometrideki iki bin
yıl önce gerçekleşmiş olan mantıksal düzenlemeye uzak
kalmıştır. İlk kez Peano tüm aritmetiği 3 temel terime ve bu
terimelerin ilişkilerini dile getiren beş postulata dayanan bir
sistem kurar.
İÇERİĞE GERİ DÖN
Üç temel terimi söyle ifade edelim:
 1.Sayı
 2. Sıfır
 3….ni izleyen
Beş postulatı ise;

Sıfır bir sayıdır.

Herhangi bir sayıyı izleyende bir
sayıdır.

Aynı sayı farklı iki sayı izlemez.

Sıfır hiçbir sayıyı izlemez.

Sıfıra ait bir özellik, herhangi bir
sayıya ait olduğunda onu izleyen
sayıya da aitse, tüm sayılara aittir.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Yakından bakıldığında Peano postulatlarının birlikte doğal sayılar türünden dizileri
tanımlamakta olduğu görülür. Seçilen dizi bir sayı olan, ama hiçbir sayıyı izlemeyen
“sıfır”la başlamaktadır. Dizide her sayıdan sonra gelen de bir sayıdır, ancak farklı iki
sayıyı aynı sayı izlemez. Postulatlardan sonuncusu dizideki tüm elemanlara ait
özellikleri saptayan “matematiksel indüksiyon” ilkesini savunmaktadır.

Frege ile Peano’nun çalışmaları mantıkçılığın ilk aşamasını oluşturur. İkinci aşama
Bertrand Russell(1872-1970) ile başlar. Russell, matematiğin mantığa indirgenmesi
ötesinde iki disiplinin özdeş olduğu tezinin tüm kapsamıyla Principia Mathematica
(1910-1913)’da kanıtladığı savındadır. Frege’de olduğu gibi Russell’ın çalışmasında da
hareket noktasının Peano postulatları oluşturur. Bu ise gerçel sayıların doğal sayılara,
doğal sayıların küme kavramına indirgenmesi demekti. Ne var ki, kümler teorisin yol
İÇERİĞE GERİ DÖN
açtığı parodokslar mantıkçılık için beklenmedik bir sorun yaratmıştı.

Russell bu soruna çözüm getiren “Tipler Teorisi”ni oluşturur. Tipler teorisi, kısaca demek
gerekirse, kümeler teorisin konusu nesnelerin hiyerarşik bir düzende işlem görmesini
öngörmektedir. Buna göre çoklukları oluşturan asal nesneler 0(sıfır)-tipini, asal
elemanları içeren kümeler 1(bir)-tipini, 1-tipindeki nesneleri içeren kümeler 2-tipini, vb.
oluşturur. Kümeler teorisi uygulanmasında tiplerin karıştırılmaması, işlem gören
kümenin tüm elemanlarının aynı tipten olması kuralına bağlı kalınması gereği vardır.

Mantıkçılığın yadsınamaz önemli bir başarısı, formel mantıkla matematiğin ilişkisini
kanıtlamanın yanı sıra, tüm klasik matematiğin tek bir formel sisteme indirgenme
olanağını göstermiş olmasıdır. Bu sonuç, Hilbert gibi mantıkçılık tezinin benimseyen
matematikçi düşünürlerin de gözünden kaçmamıştır. Çünkü öyle formel bir sistem, her
şeyden önce, matematikte aranan tutarlılığı göstermesi bakımından önemliydi.
İÇERİĞE GERİ DÖN
ELEŞTİRİ

Mantıkçılığı değerlendirirken eleştirel nitelikte birkaç noktaya değinmeden geçmemeliyiz.
Bu noktalardan biri matematiksel kesinliğin doğasına ilişkindir.

Mantıkçılar, Kant’ın tam tersine, matematiğin bir konusu olmadığı, yalnızca analitik
nitelikte kavramsal ilişkilerle uğraştığı sayıltısından hareket ediyorlardı.

Onlara göre matematiksel doğruluğun kesinliği, matematiğin tümüyle dedüktif olan
mantıksal temelinden kaynaklanan totolojik bir kesinliktir

.Matematiksel kesinliği insan aklının yapısal özelliğine ya da sezgi yetisine bağlayan
matematikçi düşünürlerin (örneğin Poincare) matematiği totolojik bir dizge sayan
mantıkçılık tezini benimsemeleri beklenemezdi kuşkusuz.

Nitekim Poincare, matematiksel kesinliği matematiğin dedüktif olduğu savıyla değil,
“matematiksel indüksiyon” ilkesiyle açıklamaktadır. Onun gözünde bu ilke, “akıl” denen
İÇERİĞE GERİ DÖN
zihinsel yetenek yada sezginin bir ürünüdür.

Matematiği verimli ve yaratıcı bir çalışma kimliği kazandıran şey mantık değil, akıl ya
da sezgimizin temel özelliğini yansıtan matematiksel indüksiyon türünden düşünme
biçimleridir. Böyle bir ilkeye başvurmaksızın matematiği mantığa indirgemeye olanak
yoktur. Sezgiye yer vermeyen matematikte yeni buluşlara gitme şöyle dursun, ispat
bile yapılamaz. Başvurulduğunda ise ortaya konan indirgeme döngülü bir çıkarım
olmaktan ileri geçmez.

Mantıkçılığın eleştirisi günümüzde de sürmektedir. Örneğin, Steiner, aritmetiğin
indirgendiği teoriyi aritmetikten daha az kesin saymaktadır. Gerçekten sayıları küme
kavramına indirgemenin matematiğe daha sağlam bir temel oluşturduğu pek çok
kimsenin gözünde kuşku konusudur. Kaldı ki, her şeyden önce kümeler teorisinin,
matematiğin değil mantığın bir parçası olduğu ortaya konmalıdır. Bu nokta bugün bile
İÇERİĞE GERİ DÖN
açıklığa kavuşturulmuş değildir.

Tüm eleştirilere karşı çıkmalara karşın, matematiğin temelde mantıktan başka bir
şey olmadığı öğretisinin etkinliğini yitirdiği söylenemez.

Russell iki disiplinin özdeş olduğu savını kendine özgü açık ve çarpıcı diliyle şöyle
ortaya koymaktadır:

Matematik ve mantık, tarihsel gelişimleri bakımından tümüyle farklı konular
olmuştur. Matematik bilimle, mantık ise Grekçe ile birlikte yürümüştür. Ama
ikisininde modern çağlarda büyük atılım içine girdiğini görmekteyiz. Mantık daha
çok matematikleşmiş, matematik mantıksal nitelik kazanmıştır. Öyle ki, ikisi
arasında bir çizgi çizmeye artık olanak yoktur. Çünkü ikisi özdeştir. Aralarındaki fark
gençle yetişkin arasındaki farka benzer: mantık matematiğin gençliği, matematik
mantığın olgunluk çağını temsil etmektedir. Bu görüşü hem matematikçiler hem de
mantıkçılar tepkiyle karşılamakta.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Mantıkçıların tepkisi, tüm zamanlarını klasik metinleri incelemeye vermiş olmaları nedeniyle simgesel
terimlerle dile getirilmiş herhangi bir çıkarsamayı anlama yetersizliğinden, matematikçilerin tepkisi ise,
öğrenmiş oldukları bir tekniğin anlam ve rasyoneline eğilme çabasını göze alamamaktan doğmaktadır.

Ne var ki tepkiyi gösterenler her iki alanda da azalmaktadır. İki disiplin çeşitli yönleriyle öylesine
kesişmektedir ki, aralarındaki sıkı ilişki konuyu bilen hiçbir öğrencinin gözünden kaçmayacak kadar
açıktır.

Özdeşlik savımızın ispatı teknik ayrıntılara inmeyi gerektiren bir sorundur. Mantığa ait olduğu kuşku
götürmez öncüllerden başlayıp, dedüktif çıkarımla matematiğe ait olduğu sonuçlara ulaştığımızda, iki
alan arasında hiçbir noktada kesin bir ayırım yapılamayacağını kolayca görürüz.

Ama gene de sözünü ettiğimiz özdeşliği içine sindiremeyenler çıkarsa, onları, Principia Mathematica’nın
zincirleme giden tanım ve çıkarımlarının hangi noktasında mantığın bitip matematiğin başladığını
göstermeye çağırırız. Görülecektir ki, verecekleri yanıt keyfi olmaktan ileri geçmeyecektir.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Mantıkçılık, matematiği kendi dışında bir alana, mantığa giderek temellendirmeyi
öngörüyordu.

Formalizm ise temellendirmeyi matematiğin kendi içinde bir yeniden düzenleme ya
da arındırmayla gerçekleştirmeyi öngörmüştür.

David hilbert (1862-1943)’in öncülüğünde oluşan formalist öğreti bir reform
programı niteliğindedir. Program, kümeler teorisinden kaynaklanan paradokslar ile
sezgicilerin klasik matematiğe yönelttikleri eleştiriler karşısında matematiğin
tutarlılığını güvence altına almayı amaçlıyordu.

Formalist öğreti açısından matematik soyut nesne ve ilişkileri konu alan simgesel bir
sistemdir; öyle ki, sistemi oluşturan terimler anlamsız birer simge, ilişkileri dile
getiren tümceler içerikten yoksun birer önerme kalıbıdır.model olarak dizi ister
sayılardan, ister bir doğru üzerindeki noktalardan, isterse bir zaman parçasının
içerdiği anlardan oluşsun, sonuç değişmez.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Hilbert ve onu izleyenlere göre matematik, mantığa indirgenerek değil, simgesel
aksiyomatik bir yapıya dönüştürülerek temellendirmeliydi. Onarlın gözünde klasik
matematikte uygulanan tutarlılık ispat yöntemi de yetersizdi.

Hilbertin euclides geometrisini soyut aksiyomatik bir dizge olarak mantıksal yetkinliğe
ulaştırma çalışması ona, matematiğin tümünde aynı yetkinliği gerçekleştirme
umudunu vermişti.

Hilbert bu deneyim ine dayanarak, tutarlılık ispatı için matematiğin mantıksal bir dizge
ya da kuralları belli satranç türünden bir oyun olarak alınması görüşündeydi. Örneğin,
1+1=2 tümcesinde eşitliğin iki yanındaki sayılara, 1+1 ile 2’nin, birbirinin yerine
kullanabileceğimiz simgeler olmaktan başka bir anlam taşımadıkları gözüyle
bakılmalıydı. Kurduğumuz dizgenin tutarlılığı, dizgenin kendi kuralları içinde bizi 2 ≠2
İÇERİĞE GERİ DÖN
gibi bir sonuca götürme olasılığı taşımadığı gösterilerek sağlanmalıydı.
GÖDEL DARBESİ
Hilbert programının başlıca amaçlarını,
1. Matematiğin aritmetik geometri, analiz ve kümeler teorisi gibi dallarını
aksiyomatikleştirmek ;
2. Her dalda aksiyomatik dizgenin çelişki içermeyen tutarlı bir teori olduğunu
ispatlamak;
3. Tutarlılığı ispatlanan teorinin aynı zamanda tam (yani, dizgenin kurallarına göre
oluşturulan P yada P-değil gibi her tümcenin,dizgenin öncülleri aksiyomlardan
çıkarsanabilir) olduğunu göstermek;
4. Tutarlılığı ve tamlığı ispatlanan teorinin kategorik (yani, teorinin tüm yorum yada
modellerinin izomorfik) olduğunu belirlemek.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Diye dört noktada özetleyebiliriz. Gödel teoremleri, formalist programın can alıcı
iki amacına (tutarlılık ve tamlık), son derece basit dizgeler dışında, gerçekleşme
olanağı tanımamaktadır.

Başka bir deyişle, aritmetik dahil matematiğin hiçbir dalında tutarlılığın, o
dizgenin elverdiği yöntemle ispatlanamayacağı ortaya konmuştur.

Tutarlılığa ilişkin bu olumsuz sonuç, Gödel ‘in daha temel nitelikteki ikinci
teoremiyle birleştiğinde Hilbert programı gerçekleşme olanağını büsbütün
yitirmektedir.

Bu teoreme göre aritmetik ölçüsünde kapsamlı her alanda kurulacak her dizge
eksik kalmaktan kurtulamaz. Yani o çapta kurulacak her dizge de, dizgenin kendi
olanakları içinde ispatı verilemeyen önermeler , tanımı verilemeyen kavram yada
terimler olacaktır.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Gödel’in çalışması karşısında Hilbert ‘in içine düştüğü hayal kırıklığı, bir bakıma,
Russell paradoksunu öğrendiğinde Frege’ nin kapıldığı umutsuzluğunu
andırmaktaydı.

Unutmamak gerekir ki, formalizm, Gödel’den önce de matematikçilerin kolayca
benimsedikleri bir öğreti değildi. Matematiğe, tutarlılığın ispatı yada başka
nedenle de olsa içeriksiz, formel bir oyun gözüyle bakmak pek çok
matematikçinin içine sindiremediği bir tutumdu. Matematikçi normal
çalışmasında uğraş konusu nesne ve ilişkileri anlamsız saymak şöyle dursun,
onlara en azından kavramsal düzeyde bir gerçeklik kimliği tanıma eğilimindedir.
İÇERİĞE GERİ DÖN
SONUÇ
Hilbert programının gerekçesini şöyle belirtmişti:

Teoremin amacı matematiksel yöntemlerin güvenirliğini bir daha tartışılmayacak bir kesinlikle ortaya
koymaktı…
Kanımca bizi paradokslarla karşı karşıya bırakan şu saradaki gelişmelere göz yumup
geçemeyiz. Doğruluk ve kesinliğin kalesi bilinen matematikte herkesin öğrendiği, öğrettiği ve kullandığı
tanımlarla dedüktif yöntemlerin yol açtığı saçmalıklara bir bakın! Peki, matematiksel düşünme böylesine
kusurluysa doğruluk ve kesinliği nerede bulacağız?

Aranan matematiğin salt kendi içinde bir kesinlikse, bunu bulamayacağımızı Gödel teoremleri
göstermiştir. Artık matematiğin tutarlılığını ispatlama en azından kuşku konusudur. Ne var ki,bu durum
Hilbert programının iki temel amacının (tutarlılık ve tamlık) erişilemez olduğu demek değildir. Sorunun
bir ölçüde de olsa başlangıçta konan aritmetik ve mantık aksiyomlarıyla sınırlamadan kaynaklandığı
söylenebilir. Gentzen ‘in bu yöndeki çalışması oldukça umut vericidir. Gentzen, sonsuz indüksiyonu
içeren yöntemiyle tüm aritmetiğin tutarlı bir dizge olarak kurulabileceğini göstermiştir.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Matematiksel nesne ve kuruluşların varlık sorununu ön plana çıkarır. Sezgicilik kavram
ve çıkarımlara somut içerik sağlayan bir sezgiyi matematiğin tek geçerli yöntemi sayan
bir görüşü temsil etmektedir. Kısaca demek gerekirse, sezgicilik sonlu adımda inşa
yöntemiyle matematiğin, sezgisel olarak bildiğimiz doğal sayılar üzerine kurabileceği
tezini içermektedir. Bu görüşte kavram ve çıkarımların tam bir belirginlikle ortaya
konması gereği üzerinde durulur. Oysa, sezgicilere göre, matematik başlıca dallarında
(analiz, kümeler teorisi,hatta sayılar teorisi, vb)bu gereği karşılamaktan uzak kalmıştır.

Yüzyılımızın ilk yarısında felsefi bir görüş olarak etkinlik kazanan sezgiciliğin( kimi kez
“inşacılık “da denmektedir) iki tanınmış lideri L.E.J Brouwer ile A. Heyting’dir.
Brouwer’in 1907 ‘de yayımlanan çalışması bu yolda ilk önemli adım olmakla birlikte,
sezgici düşüncenin kökeni Kant ‘a, hatta antik yunan dönemine uzatanlar da vardır.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Matematikte tanım ve ispatlarda, ancak sonlu adım da inşa edilebilir nitelikte ise geçerli
sayılmalıydı. Kronecker, matematikte işlenen her nesne yada kavramın doğal sayılardan
kalkarak kurulabilir olduğunun gösterilmesini istiyordu. Kurulabilirlik matematiksel
varlık için vazgeçilmez bir koşuldu. Geçersiz bir işleme örnek olarak, Kronecker
,”olmayana ergi” yöntemini göstermişti. Bilindiği gibi bu yöntem bir nesnenin varlık
ispatını, o nesnenin yok sayıldığında ortaya çıkan çelişkiye dayanmakta, bu ise söz
konusu nesne nesne yada teoremin inşa edilebilirliğine bir kanıt sağlamamaktadır.
Gerçekten, geçerli her mantıksal çıkarımın mutlaka matematiksel bir ispat sağladığı
söylenemez.

Kimi düşünceleriyle sezgiciliğe katkıda bulunan bir başka matematikçide Poincare dir.
Poincare matematiksel her kavramın belirtik bir tanımlamaya elverişli olmasını ister.bu
ölçüte vurulduğunda Cantor un kümeler teorisinin bazı kavram teorem ve yöntemleri
onun için geçersizdi.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Matematik felsefesindeki üç akım arasında tartışma konusu olan bir başka önemli nokta da,
sonsuz sayı küme yada koleksiyon kavramıydı. Cauchy ile Weierstrass’ın daha önce kalkülüsü
“sonsuz nicelikler” kavramından arındırmadaki başarıları Hilbert gibi Brouwer ‘i de tüm
matematiği aynı kavramdan arındırmaya sevk etmiştir. Hilbert matematikte sonsuza yollamayı
anlamsız buluyordu. Ona göre, sonsuz koleksiyon yada yapımları var kabul etmemiz için hiçbir
kanıt yoktur. Hilbert fiziksel birimlerin bile o türden karanlık kavramlara artık yer vermediği
savındaydı.

Sezgicilerin sonsuz sorununa yaklaşımı benzer görünse de farklıdır. Onlar için tanımı belli
olmayan çokluklara ilişkin önermelerin doğruluk değeri, bu çokluklar ispatlanmadıkça yoktur.
Sezgiciler sonsuz kümelerin inşa edilebilir belirgin tanımlarının verilemeyeceği düşüncesiyle, klasik
matematikte geçerli sayılan pek çok ispatı reddetmişlerdir. Kuşkusuz belli adımlarla giderek
İÇERİĞE GERİ DÖN
genişleyen bir küme yada çokluğu sezgisel olarak kavrayabiliriz. Ancak “sonsuz” denen bir küme

Matematiğin ayırıcı özelliği felsefede sürgit tartışma konusu olmuştur.
Formalizm bu özelliği matematiğin tutarlı simgesel bir dizge olarak
kurulabilirliğinde mantıkçılık matematiğin mantığa indirgenebilirliğinde aramıştır.
Sezgiciler için ise matematiğin ayırıcı özelliği matematiğin zihinsel bir etkinlik
oluşunda, matematiksel kavramların sezgisel verilerle inşa edilebilirlik
yönteminde aranmalıdır. Buna göre, sayı, küme gibi matematiksel nesneler
zihinde inşa edilebildiği ölçüde varlık kimliği kazanır. Varlık olmayana ergi
türünden mantıksal çıkarımlarla yaratılamaz.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Varlık ispatı gibi tanımlamanın da etkili etkili bir işlem yada yöntemle inşa
edilebilir olması gerekir. Bir tamsayı onu hesaplamaya olanak veren bir yöntem
varsa, iyi tanımlanmış demektir. Örneğin,T1 ve T2 diye iki tanım alalım:
T1: n-1 asal sayı olduğunda n’ nin en büyük asal sayı olduğunu varsayalım;
ancak böyle bir sayı yoksa n=1 olsun.
Şimdi bu tanım çerçevesinde n sayısını 3 olarak hesaplayabiliriz. Çünkü
(3-1)=2 asal olan biricik çift sayıdır. Oysa aşağıdaki tanımda (T2) m sayısını
hesaplamak için elimizde hiçbir yöntem yoktur.
T2: m-2 asal sayı olduğunda m’nin en büyük asal sayı olduğunu varsayalım;
ancak böyle bir sayı yoksa m=1 olsun. ( Nitekim İ ve İ+2 gibi ikiz asal sayılar
dizisinin sonlu yada sonsuz olduğu bilinmemektedir.)
İÇERİĞE GERİ DÖN
Sezgicilik açısında birinci tanım (T1) geçerli, ikinci tanım (T2) geçersizdir.

Oysa klasik matematikte bu iki tanım arasındaki fark yeterince kavranmamıştır.

Sezgicilerin gözünde matematiksel inşalar, matematiğin güvenilirliğini
temellendirmede açık sağlam ve doğrudan kanıtlardır.

Matematik, Brouwer’e göre, bir teori olmaktan çok insan zekasının bir etkinliği,
yaşamın bir parçası, “doğal” diyebileceğimiz bir olaydır. Formel yada informel
hiçbir dil matematiksel etkinliği gerçek canlılık ve zenginliğiyle verecek yeterlikte
değildir.
İÇERİĞE GERİ DÖN
ELEŞTİRİ

Ne var ki sezgiciliğin varlık ispatını inşa yöntemine bağlı tutması önemli ölçüde sınırlayıcıdır. Öyle ki,
klasik matematikte geçerli sayılan pek çok ispatın bu ölçüte uymaması nedeniyle geçersiz sayılması
gerekmektedir.

Sezgicilere göre iki değerli mantık insan dilinin sonlu kümeler çerçevesindeki evriminin bir ürünüdür;
sonsuz kümeler uygulandığında paradoksların ortaya çıkması kaçınılmaz olur. İspatı sonlu adımda inşa
edilmeyen hiçbir önerme için” doğru” yada “yanlış” demek yersizdir. Heyting, sezgiciliğin mantığa
bakışını kısaca şöyle dile getirmektedir:

Mantık benim dayandığım zemin değildir. Nasıl olabilir ki? Mantık temel alındığında, onun da, ilkeleri
matematiksel ilkelerden daha karmaşık olan temele ihtiyacı olacaktır. Oysa matematiksel bir inşa
öylesine doğrudan, öylesine açık olmalıdır ki, ona herhangi bir temel arama gereğini duymayalım. Bir
çıkarım geçerli olup olmadığını mantık kullanmaksızın da bilebiliriz; bunun için açık, bilimsel bir
kavrayış yeterlidir.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Kronecker gibi Heyting için de matematiğin temeli doğal sayılardır. Doğal sayılar
az çok eğitim görmüş herkesin, hatta çocukların yadırgamaksızın kolayca
anladıkları, sayma sürecinde evrensel uygulama bulan kavramlardır.

Bu soru sezgiciliğin içinde taşıdığı bir sakıncayı, bir yetersizliği ortaya koymaktadır.
Bir başka yetersizliği, bir çözümleme yöntemi olarak sezgiciliğin istenilen
saydamlıkta olmayışı dolayısıyla değişik yorumlara yol açan bir bulanıklık içinde
olmasıdır.
İÇERİĞE GERİ DÖN
Matematiğin temellerine ilişkin gözden geçirdiğimiz görüşler başlangıç
dönemlerindeki canlılıklarını artık korumamakla birlikte tartışmalar bugünde
sürmektedir. Sözü fazla uzatmadan sunduğumuz tartışmaları, ilki bir felsefecinin,
ikincisi bir matematikçinin kaleminden iki alıntıyla kapatmak istiyoruz:

Filozoflar ile mantıkçılar son elli yıl boyunca matematiğe bir temel bulma
yolunda öylesine yoğun bir çaba içine girmişlerdir ki yalnızca birkaç cılız ses
matematiğin bir temele gereksinmesi olmadığını söyleme cesaretini
gösterebilmiştir. Ben bu cılız seslere katılmak istiyorum. Kanımca matematik
açıklık getiren bir konu değildir; temellendirilmesine ilişkin bir bunalımı da yoktur.
Dahası matematiğin temeli olmadığı gibi, bir temele ihtiyacı olduğuna da
inanmıyorum.
İÇERİĞE GERİ DÖN

Tüm sağlamlaştırma çabalarına karşın matematiğin temelleri sallantılı
durumdan çıkmış değildir. Belki de matematiği çökertecek yeni güçlüklerle
karşılaşacağız.
İÇERİĞE GERİ DÖN