Transcript PowerPoint Sunusu

FREG, RUSSEL, HİLBERT,
BROUWER VE GÖDEL GİBİ
MATEMATİK
FELSEFESİ ÖNCÜLERİNİN
ÇALIŞMALARI
090335 HÜLYA ÖZCAN
090326 HÜLYA ŞAHİN
090325 SEVİNÇ ÖNÜR
ADI: Kurt Gödel
YAŞADIĞI DÖNEM:
1906-1978
UYRUĞU: Avusturyalı
matematikçi
MATEMATİĞE
KATKISI: Gödel
numaralandırması
tekniğini buldu…
KURT GÖDEL
Gödel Avusturyalı-Amerikan
mantıkçı, matematikçi ve matematik
felsefecisidir. Kendi ismiyle anılan
Gödel'in Eksiklik Teoremi ile tanınır.
 Kurt
tam sayı aritmetiğini içerecek
kadar karmaşık herhangi bir sistemin içinde,
sistemin aksiyomlarından yola çıkarak
doğruluğu veya yanlışlığı kanıtlanamayacak
önermeler bulunacağını ispatlamıştır.
 Teoremlerinde
için ise Gödel numaralandırması ismi
verilen bir metod geliştirmiştir. Meşhur
teoremini Viyana Üniversitesindeki doktora
çalışması sırasında 1931 yılında ispatlamış,
bununla 20. yüzyıl matematiğinin yönünü
değiştirmiştir.
 Bunun
 Bugünkü
modern matematiksel mantığın Gödel’in
eseri olduğu rahatlıkla söylenebilir. Çok genç bir
yaşta, aritmetikte doğruluğu ya da yanlışlığı
kanıtlanamayan önermelerin mutlaka olmak zorunda
olduğunu kanıtlamışltır (Birinci Eksiklik Teoremi,
yayımlanması 1931) Gödel en çok bu teoremiyle
bilinir.
Teoremi şunu söyler: Doğal sayıları,
toplamayı ve çarpmayı ifade edecek güçte olan ve
neyin belit olup olmadığı anlaşılabilen çelişkisiz bir
sistemde, doğru olan ama kanıtlanamayan bir önerme
olmak zorundadır. .
 Eksiklik
 Gödel,
“ben kanıtlanamam” diyen matematiksel
bir tümce yazmayı başarır. Bu tümcenin kanıtı
olsa, sistem çelişkili olurdu. Demek ki sistem
çelişkisizse tümcenin kanıtı olamaz. Tümcenin
kanıtı olmadığından, “ben kanıtlanamam” tümcesi
doğrudur.
 Demek ki matematik çelişkisizse, “ben
kanıtlanamam” tümcesi doğrudur ama
kanıtlanamaz. Gödel, bu tümceyi yazmak için
doğal sayıları, toplamayı ve çarpmayı
kullanmıştır; matematiksel tümceleri ve kanıtları
aritmetikte sayılarla kodlamıştır. Bu kodlamaya
göre her tümcenin ve her kanıtın bir “Gödel
sayısı” vardır.
ADI: David Hilbert
YAŞADIĞI DÖNEM: 18621943
UYRUĞU: Alman
matematikçi
MATEMATİĞE KATKISI:
Hilbert uzayı kavramına
öncülük etti…
DAVİD HİLBERT
 David
Hilbert, (1862- 1943) ünlü Alman
matematikçi.
 Geometriyi
bir dizi aksiyoma indirgeyen ve
matematiğin biçimsel temellerinin
oluşturulmasına önemli katkıda bulunan Alman
matematikçi David Hilbert integralli
denklemlere ilişkin çalışmalarıyla fonksiyonel
analizin 20. yüzyıldaki gelişmesine öncülük
etmiştir.
 1897
yılında cisim kavramını ve cebirsel sayılar
cisminin kuramını kurdu.
 1890 yıllarındaki ilk çalışmaları sırasında, cebirsel
geometri ve modern cebirde önemli bir rol
oynayan çok terimli idealleri kuramının
temellerini atarak, invaryantlar kuramının temel
kanunlarını ortaya koymayı başardı.
 1899 yılında, geometrinin temelleri üstüne
araştırmalarının bir sentezi olan "Geometrinin
Temelleri" adlı eserini yayınladı. Bu, matematiğin
çeşitli bölümlerinde aksiyomlaştırma amacına
yönelen birçok verimli çalışmaya yol açtı.
 Somut
görüntülere başvurmaktan kaçınan
Hilbert, noktalar, doğrular ve düzlemler diye
adlandırdığı "Üç nesne sistemini" matematiğe
soktu.
 Ne oldukları kesin olarak gösterilmeyen bu
nesneler, 5 grupta toplanmış 21 aksiyomla
açıklanan bazı ilişkiler ortaya koyar.
 Ait
olma, sıra, eşitlik veya denklik, paralellik
ve süreklilik aksiyomu bunlardandır
ADI: Bertrand Russell
(Bertrand Rasıl)
YAŞADIĞI DÖNEM:
1872-1970
UYRUĞU: Britanyalı
matematikçi
MATEMATİĞE
KATKISI: Felsefe
alanında “mantıksal
atomculuk” öğretisini
geliştirdi. Whitehead'le
birlikte “Principia
Mathematica” kitabını
yazdı.
 Başlıca
ilk çalışması ve felsefeye yaptığı en
kalıcı katkı matematiksel mantık alanında, A. N.
Whitehead'le birlikte ortaya koyduğu,
matematiği mantığa indirgemeye yönelik bir
çalışma olan, anıtsal Principia Mathematica'dır
(1910-13).
 Bir
deneyci olduğundan, Russell bu mantıksal
dilin değişkenlerinin deneyimlerimizle
doldurulacağını öne sürdü.
 Matematikte
bu değerler, sözgelimi 'bir',
'iki', 'üç' gibi sayıların ne anlama
geldiğini biliyorsak onunla sağlanacaktı,
bilimde ve günlük yaşamda ise
deneyimle, duyu verileri ve zihinsel
imgeler gibi şeylerle bilinebilen
şeylerden oluşacaklardı.

Matematikte ya da bilimsel ve günlük
bilgideki her şey bu temel verilerden
'mantıksal inşa' yoluyla, ilki için
Principia Mathematica'da diğerleri için
Our Knowledge of the External World'de
(1914: Dış Dünya Üzerine Bilgimiz), The
Philosophy of Logical Atomism'de (1918:
Mantıksal Atomculuğun Felsefesi ) ve
Human Knowledge: Its Scope and
Limits'de (1948: İnsan Bilgisi: Alanı ve
Sınırları) gösterildiği gibi kurulacaktı.
ADI: Gottlob Frege
(Gotlob Frege)
YAŞADIĞI DÖNEM:
1848-1925
UYRUĞU: Alman
matematikçi ve mantıkçı
MATEMATİĞE
KATKISI: Önermeler
(sembolik) mantığının
kurucularından…
GOTTLOB FREGE
 Frege,
en temelinde önerme'nin fonksiyonargüman analizi, özel isimlerin anlam ve
gönderim ayrımı, kavram ve nesne ayrımı ve
bağlam prensibinin geliştirilmesi bulunan, Dil
felsefesi'ne yaptığı derin sistematik katkılarla
Analitik Felsefe'nin kurucularından sayılır.
 Edmund
Husserl ve Max Schröder gibi
zamanının önde gelen birçok mantıkçı ve
felsefecisiyle yazışmıştır.
 Frege,
mantıkçılığın, matematiğin mantığına
indirgenebileceği düşüncesinin önde gelen ilk
savunucusudur.
 Grundgesetze
der Aritmetik isimli çalışmasında,
aritmetiğin kanunlarını mantıktan çıkarmaya
çalışır. (Masraflarını kendi karşıladığı) ilk cildi
yayınladığında, Russell ismiyle anılan
paradoksu keşfetmiş ve Grundgesetzenin
aksiyomlarının bu çelişkiye yol açtığını ifade
etmiştir.
 Frege,
bu paradoksun varlığını kabul
edip, kitabın ikinci cildinin ek kısmında
bu soruna yol açtığını düşündüğü
aksiyomu belirtmişse de, aksiyomlarında
tatmin edici bir değişikliğe gidememiştir.
Russell ve John Von Neumann'ın sonraki
çalışmalarında, bu problemin nasıl
çözümleneceği yer almıştır.
 Frege
ayrıca kesişim ve bileşimi de
bulmuştur.
ADI: Jan Brouwer
YAŞADIĞI DÖNEM:
1881 yılında
Hollanda‘da doğdu
MATEMATİĞE
KATKISI: Matematikte ,
sezgisel yöntem denilen
yeni bir çığırın doğuşunu
hazırladı
JAN BROUWER
Matematik bilimleriyle mantık arasındaki
bağıntıların genel kuramını buldu .
 Geometri ve özellikle topolojide çok sayıda
çalışmaları vardır .
 Matematikte , sezgisel yöntem denilen yeni bir
çığırın doğuşunu hazırladı .

 Whitehead
ve Russell'ın kuramlarına karşıt olarak ,
saf mantıktan tümden gelim yoluyla matematik
ilkelerini kurmanın olanaksızlığını ve mantığın ,
matematik bilimlerini aşmaksızın bunlarla beraber
gelişen bir yönteme indirgenmesi fikrini savunur .
Hollanda'lı bu matematikçi , matematiğin
kuruluşuna döndü ve sezgisel yöntemin önderi oldu
.
 Matematik sezgicilik olarak adlandırılmaktadır.
 Matematiksel
belitler (aksiyom)
doğrudan doğruya sezgi yoluyla
kavranabilirler.
 Matematiksel önsellikler sezgi yoluyla
kavranırlar ve bu nedenle de bu durum,
matematiğin üstünlüğünü gösterir.
SORULAR 

1) Mantıkçılığın, matematiğin mantığa
indirgenebileceği düşüncesinin önde gelen ilk
savunucusu kimdir?
 2)
Russell’ın matematiği mantığa
indirgemeye yönelik bir anıtsal çalışma
olarak nitelendirilen kitabın adı nedir?
 3)
Geometriyi bir dizi aksiyoma indirgeyen ve
matematiğin biçimsel temellerinin
oluşturulmasına önemli katkıda bulunan
matematikçi kimdir?
CEVAPLAR 


1) Gottlob
Frege
2) Principia Mathematica'dır
 3)
David Hilbert