Transcript Eukleides Dışı Geometriler

Eukleides Dışı
Geometriler
Onur Satıcı
Eukliedes geometrisi doğru,
çember, paralel doğrular,
açılar, benzer üçgenler,
düzgün çokgenler, düzlemler,
…vs gibi konuları inceleyen
geometridir.
Bu isimle anılmasının nedeni
yaklaşık olarak M.Ö. 300
yıllarında bu geometrinin
temellerinin İskenderiyeli
Eukliedes(Öklid) tarafından
sistematik olarak 13 kitap
halinde işlenmiş
olmasındandır.
Bu geometri üç temel kavrama dayandırılmıştır: tanımlar,
aksiyomlar ve postülatlar.
Tanımlar, alışılan anlamda, yani kendine özgü bir takım
özellikleri olan geometrik nesneleri belirlemek ya da
diğerlerinden ayırmak için onlara kısaca ad vermekten
ibarettir.
Bununla birlikte Öklid’in orijinal tanımlarında oldukça çok
eksiklikler ve belirsizlikler vardır. Örneğin doğruyu
tanımlayan “çizgi genişliği olmayan bir uzunluktur.” ve
“doğru bir noktada kendisinin aynı kalan bir çizgidir.”
şeklinde tanımlamalar kullanılmıştır.
Aksiyomlar, doğruluğundan şüphelenmeksizin
ispatsız olarak kabul edilen temel önermelerdir.
Postülatlar da aksiyomlar gibi ispatsız kabul
olunan ama doğruluklarına o zamanki anlayışa
göre aksiyomlar kadar kesin gözle bakılmayan
temel önermelerdir.
Günümüzde bu çeşit temel önermeler arasında
ayrım yapılmamaktadır.
Öklid geometrisinin aksiyomları şunlardır:
1- Aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine de
eşittirler.
2- Eğer eşit miktarlara eşit miktarlar eklenirse,
elde edilenler de eşit olur.
3- Eğer eşit miktarlardan eşit miktarlar
çıkartılırsa, eşitlik bozulmaz.
4- Birbirine çakışan şeyler birbirine eşittir.
5- Bütün, parçadan büyüktür.
Öklid geometrisinin postülatları ise şunlardır.
1- İki yol arasını birleştiren en kısa yol, doğrudur
2- Doğru olarak sonsuza kadar uzatılabilir.
3- Bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların
geometrik yeri çemberdir.
4- Bütün dik açılar birbirine eşittir.
5- İki doğru bir üçüncü doğru tarafından kesilirse, içte
meydana gelen açıların toplamının 180 dereceden küçük
olduğu tarafta bu iki doğru kesişir.
6- Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
7- Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek
paralel çizilebilir.
Eukleides aksiyomlarının kesinliği, XIX. yy .dan itibaren
tartışılmağa başladı.
Alman matematikçisi Riemann ve Rus matematikçisi
Lobaçevski, Eukleides aksiyomlarının tam karşıtı olan
aksiyomlardan işe başladılar.
Böylece ilk bakışta hiç bir pratik yararı yokmuş gibi
görünen değişik geometriler (Eukleides dışı geometriler)
doğdu. Ve bu yeni geometriler o zamandan beri birçok
alanda (nükleer fizik, astronotik v.b.) işe yaradı (Einstein
bunlar sayesinde bağıllık kuramını kurabildi).
Lobaçevski ve Riemann Eukliedes’in 7.
aksiyomunu değiştiren uzaylar
tanımladılar.
Riemann’ın pozitif bükülmüş uzayında
paralel doğrular çizilemezken,
Lobaçevski’nin uzayında sonsuz sayıda
paralel doğru çizilebiliyor.
Üçten fazla boyutlu bir uzayın üç boyutlu manifoldu (solda)
Riemann
Geometri ve matematiksel çözümleme
alanlarındaki önemli buluşları 20. yüzyıl
matematiğini derinden etkilemiş, ortaya
koyduğu n boyutlu eğri uzay geometrisi modern
kuramsal fiziğin gelişmesinde önemli rol
oynamış, görelilik kuramının kavram ve
yöntemlerinin temellerini oluşturmuştur.
“Grundlagen für eine allegemeine Theorie der Functionen einer
veranderlichen complexen Grösse”(Karmaşık Değişkenli Fonksiyonların
Genel Kuramının Temelleri) adlı bir tez, karmaşık değişkenli fonksiyonlar
teorisini alt üst etti; kendi adıyla anılan ünlü yüzeylerden yararlanarak, bu
teori çerçevesinde, bir biçimli olmayan fonksiyonları kolaylıkla incelemeyi
başardı.
Yalnızca cebirsel hesaba dayanmak yerine
geometrik kavramları temel alan ve karmaşık
değişkenli çok değerli bir fonksiyonun bir değerli
olarak ele alınmasına olanak sağlayan çok
katmanlı yüzeyi de buldu. (bu yüzey sonradan
“Riemann Yüzeyi” olarak adlandırılmıştır.)
“Riemann Yüzeyi” kavramı, topoloji alanında
yeni yöntemlerin yetiştirilmesine katkıda
bulundu. Riemann 1853’te fonksiyonların
trigonometrik serilerle gösterilişine ilişkin
doçentlik tezini çalıştığı üniversiteye sundu.
Tezin kabul edilmesinin ardından vermesi gereken deneme dersi için
önerdiği üç konu arasından, Gauss kendisinin de üzerinde yoğun
çalışmalar yapmış olduğu “Geometrinin Temellerini Oluşturan
Varsayımlar” konusunu seçti.
Riemann Eukleidesçi Geometrinin yetersizliklerinin belirliyordu ve
bugün “Riemann Geometrisi” olarak bilinen n boyutlu eğri uzayların
diferansiyel geometrisini ortaya koyuyordu.
Riemann’ın çok genel bir biçimde kurduğu bu geometri, özel
durumlar olarak Eukleidesçi Geometriyle birlikte Nikolay
Lobaçevski’nin 1829’da, Janos Bolyai’nin de 1832’de yayınlamış
oldukları Hiperbolik Geometriyi ve “dar anlamda Riemann
Geometrisi” olarak adlandırılacak olan eliptik geometriyi de
içeriyordu.
Eliptik geometri, bir doğruya dışındaki bir
noktadan hiçbir paralel çizilemeyeceği
postulatına dayanır. Aynı çalışmada ileri
sürdüğü, fiziğin temellerinin de geometriye
dayandırılabileceği görüşü altmış yıl sonra
Einstein’in ortaya koyduğu genel görelilik
kuramıyla (İzafiyet Teorisi) doğrulanacaktı.
Bu kuramla, kütle çekimi, dört boyutlu bir
eğri uzay zaman geometrisine
indirgeniyordu.
1857’de yayımladığı Abel Fonksiyonlarına ilişkin
dört makalesiyle fonksiyonlar kuramına önemli
katkıda bulunan Riemman 1859’da Berlin
Akademisine sunduğu “Über die Anzahle der
Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”
(Verili bir sayıdan Küçük Asal Sayıların Sayısına
İlişkin İnceleme) başlıklı ünlü makalesinde de
sayılar kuramı alanında önemini günümüzde de
koruyan görüşler ileri sürdü.
Günümüzde Riemman Zeta Fonksiyonu olarak
adlandırılan fonksiyon da bu makalede ele alınıp
ayrıntılı olarak inceleniyordu.
Riemman Geometrisi, Riemman Yüzeyleri
cebirsel fonksiyonlara ilişkin Riemman-Roch
Teoremi, Riemman gönderim teoremi, Riemman
integrali, trigonometrik serilerle ilgili Riemman
Yöntemi, Abel Fonksiyonları konusundaki
Riemman matrisleri, hiperbolik kısmi diferansiyel
denklemlerin çözümünde kullanılan Riemman
Yöntemi, Riemman-Lebesgue Teoremi,
Riemman eğriliği, Riemman-Liouville integralleri
ve günümüzde hala kanıtlanamamış olan
Riemman varsayımı gibi kendi adıyla anılan
kavram, yöntem ve teoremlerin sayısı,
çalışmalarını anlatmaya yeterlidir.
Riemann Zeta Fonksiyonu
Sayılar kuramında, asal sayıların özelliklerinin
incelenmesinde yararlanılan fonksiyondur. Simgesi
(x)olan zeta fonksiyonu, başlangıçta
(x)=1+(1/2)
+(1/3) +(1/4) +. . .biçimindeki sonsuz seri olarak
tanımlanmıştı. Bu seri, x=1 için harmonik fonksiyon
olarak adlandırılır ve ıraksaktır; x>1 için belirli bir sonlu
değere yakınsar, x<1 için yine ıraksak olur.
Bu fonksiyon ilk kez Leonhard Euler tarafından
incelenmişti. Adını fonksiyonun özelliklerini 1859’da
ayrıntılı biçimde ortaya koyan Alman matematikçi
Bernhard Riemman’dan alır.
Riemman bu fonksiyonu tanım
bölgesi x değişkeninin karmaşık
değerlerini de içerecek biçimde
genelleştirmiştir.
Bu fonksiyon, x’in 1’den büyük
gerçek değerleri için yukarıda
verilen seriye eşittir; gerçek kısmı
1’den faklı olan karmaşık x
değerleri için de sonlu değerler
alır.
Gerçek x değerleri için, x=-2, -4, -6, . . . olduğunda
fonksiyon sıfıra eşit olmaktadır; gerçek kısmı sıfır ile
1arasında olan karmaşık x değerleri için fonksiyonun
sonsuz sayıda sıfırı olduğu da bilinmektedir, ama bu
sıfırların x’in hangi değerlerine karşılık geldiği
bilinmemektedir. Riemman bu sıfırların, gerçek kısmı
1/2’ye eşit olan bütün karmaşık x değerlerinde ortaya
çıktığı varsayımını yapmıştır. Matematik tarihinde önemli
bir yeri olan ve Riemman varsayımı olarak adlandırılan
bu varsayım henüz kanıtlanamamıştır.
Riemman Geometrisi(Eliptik
Geometri)
Eukleides’in 7. postulatını tümüyle reddeden ve ikinci
postulatı üzerinde değişiklikler yapan, Eukleides’çi
olmayan geometridir. Eukleides’in 7. postulatı, bir
doğruya, dışındaki bir noktadan geçen ancak tek bir
paralel doğru çizilebileceğini ifade eder. Buna karşılık
eliptik geometride, verili doğruya paralel olan hiçbir
doğru yoktur. Eukleides’in ikinci postulatı, sonlu
uzunluktaki bir düzgün doğrunun sürekli olarak istenildiği
kadar uzatılabileceği biçimindedir. Bu durum eliptik
geometri için de geçerlidir ama burada bütün düzgün
doğrular eşit uzunluktadır. Eukleides’in öteki üç postulatı
ise, eliptik geometrinin ilkelerine uygun düşer.
Eukleides geometrisinde bir üçgenin iç
açılarının toplamı iki dik açıya eşittir, eliptik
geometride ise iç açıların toplamı iki dik
açıdan daha büyüktür. Eukleides
geometrisinde, alanları farklı çokgenler
birbirinin benzeri olabilir; eliptik geometride
ise alanları farklı benzer çokgenler yoktur.
Doğru parçasının konumunu değiştirerek yönünü değiştirmek.
Topoloji
Topoloji, matematiğin bir dalı olarak XIX. yüzyılın sonlarında ünlü
Fransız matematikçi Henri Poincaré'nin çalışmaları ile sistematik
oluşumuna başlamaıştır. Aslında, topoloji alanındaki araştırmaların
başlangıcı G. Riemann'ın XIX. yy. ortalarına rastlayan fonksiyonlar
teorisi ile ilgili çalışmaları olarak alınabilir. Fakat ilk topolojik
kavramları ortaya atıp üzerine derin bir teoriyi kuran Poincaré'dir. Ba
Poincaré’nin topoploji (o zamanlar analysis situs deniyordu) tanımı:
“Analysis situs, geometrik şekillerin, sadece alışılmış uzayda değil,
üçten fazla boyutlu uzaylarda da niteliklerini öğrenmemizi sağlayan
bir bilimdir. Üç boyutlu uzayda analysis situs, bizim için neredeyse
sezgisel bir bilgidir. Üçten fazla boyutlu uzaylarda ise, analysis situs
karşmıza çok büyük zorluklar çıkarır, üstesinden gelmeye çalışmak
için ise, bireyin bu bilimin büyük önemine inanmış olması gerekir.
Eğer bu önem herkes tarafından anlaşılmamış ise, demek ki herkes
yeterince üzerine düşünmemiştir.”
Moebius Dönüşümü
Denklem grafiklerinin düzlemlerinin veya
konumlarının değiştirilmesidir.
3 boyutlu bir uzayı 2 boyutlu hale de
getirebilir, 3’e 4’luk bir dikdörtgeni 2 birim
de kaydırabilir.
Üç boyutlu moebius değişiminin sonucu ve uygulanan formül
Küresel düzlemde i*2pi formülünün uygulanarak düzleme aktarılması.
Moebius dönüşümü
Topolojik bir yöntemdir ve bu örnekte Riemann küresinin
düzleme aktarılma sistemi gösterilmektedir.
Nikolai Lobachevsky
Nizhny Novgorod, Rusya doğumlu
matematikçi
Eukleides’in 7. postulatına uymayan bir
uzay tanımlamıştır.
Hyperboloid olan bu uzayda bir doğruya
sonsuz sayıda paralel doğru çizilebilir.
Lobacevski geometrisinde üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden
küçüktür.
Hyperboloid, negatif eğimli bir uzaydır.
Üçgenlerin iç açıları toplamı 180
dereceden küçüktür.
Bu uzayda, çemberlerin çevrelerinin
çaplarına oranı pi sayısından büyüktür.
Negatif bükülme
Öklid uzayı
Riemann küresi
Birden çok odak noktalı hiperboloid ve tek odak noktalı pozitif
bükümlü uzay.
Lobacevsky uzayı
hollandalı ressam
Escher tarafından
resmedilmiştir.
Moebius Şeridi
. Geometrik olarak,
uzunca bir şeridin bir
ucunu 180 derece
büküp diğer ucu ile
birleştirirsek elde
edilen şeride Möbius
şeridi denir
Moebius şeridinin temel çokgeni
Şekilde de görülebileceği gibi AD üzeindeki L(0,x) ve BC üzerindeki
L'(1,1-x) noktaları yapıştırma sonucunda aynı noktalar olacaktır
P noktasından bir böcek yola çıksın. BC sınırına gelen
böcek, BC AB ile yapıştırıldığından karşılık gelen yerden
duraksamadan, hiçbir değişiklik hissetmeden yoluna
devam eder. Böceğin BC'yi geçince simetrisini görürüz.
Möbius'un, bu şeridin yönlendirilemez olduğunu demesi
bundan ibarettir, böcek AD be BC'nin orta noktalarını
birleştiren doğru üzerinde gezseydi, başlangıç konumuna
tekrar vardığında sınırları aşmamasına rağmen, önceden
sırtı bize yönelmişken, bu sefer karnı bize yönelmiş olur.
Klein Şişesi
Möbius şeridi gibi tek yüzlü olan Klein şişesi, kapalı bir yüzeydir.
Bir silindirin sınır çemberlerini farklı yönlerde birleştirirsek elde edeceğimiz
şekil bir Klein şişesidir.
Klein şişesinin temel çokgeni şekildeki gibidir.
AD üzerindeki (0,x) noktası BC üzerindeki aynı hizalı (1,x) noktasıyla, AB
üzerindeki (x,0) noktası ise DC üzerindeki (1-x,1) noktası ile birleşir.
Üç boyutlu Öklid uzayında bu şişeyi gösterebilmek için silindirin kendi
kendisini kesmesi gerekmektedir.
Klein şişesi, Möbius şeridi içerir. Bu, Klein
şişesini basit kapalı bir eğri ile keserek
gösterilebilir.
Kesilip tekrar yerleştirildiğinde Klein şişesinin
içerisinde iki tane moebius şeridi olduğu görülür.
İki moebüus şeridini yan yana yapıştırabilmek
mümkün olsaydı öklid uzayında klein şişesi elde
edebilirdik.
Henri Poincare
1912 yılında ölümüne dek
Sorbonne Üniversitesi'nde
profesörlük görevinde bulundu.
Poincaré, her yıl çok değişik
konularda çok parlak dersler
vermiştir; bunlar arasında,
potansiyel kuramı, ışık,
elektrik, ısının iletilmesi,
elektromagnetizma,
hidrodinamik, gök mekaniği,
termodinamik gibi
matematiksel fizik konuları ile
olasılık teorisi gibi matematik
konuları bulunmaktadır.
Poincaré vermiş olduğu derslerin yanı sıra,
yazmış olduğu çok sayıdaki yapıtla da etkili
olmuştur. Türkçe'ye de çevrilen "Bilimin Değeri"
ve "Bilim ve Varsayım" gibi bilim felsefesiyle ilgili
kitapları bunlardan sadece birkaçıdır.
Matematiğin temelleriyle ilgili olarak,
matematiksel düşünmenin gerçek aracının
matematiksel indüksiyon olduğunu düşünmüş ve
bu yöntemin sezgisel olarak daha basit bir
yönteme indirgenebileceğine ihtimal vermemiştir.
Poincaré Sanısı
her noktası çevresinde yerel olarak üç boyutlu
Öklit uzayına benzeyen topolojik uzaylara ilişkin
bir önerme ifade etmektedir.
Eğer bu uzayın içine atılmış her çember uzayın
içinde kalarak bir noktaya büzülebiliyorsa (deliği
yoksa), Poincaré sanısına göre bu uzay dört
boyutlu Öklit uzayında yatan üç boyutlu bir küre
olmalıdır.
Toruslarda (simit gibi) bu büzülmeden
bahsedilemez.
Kürede, çemberlerin bir noktaya büzülebilmesi.
Poincaré sanısına göre bir yüzey için, üzerindeki
delik sayısı tanımlayıcı bir unsurdur ve böyle iki
yüzey arasında sadece delik sayıları aynı olduğu
müddetçe bire bir, düzgün bir topolojik
karşılaştırmadan söz edilebilir.
Bu "topolojik karşılaştırma" problemi, daha
yüksek boyutlarda çok daha zordur.
Henri Poincaré, muhtemelen 3-boyutlu
manifoldlar üzerinde benzer bir çalışmayı
yürüten ilk kişidir.
Bunun en basit örneği, her bir noktanın merkeze birim
uzaklıkta olduğu, üç boyutlu birim küredir. Poincaré, bir
dairede her bir kapalı çevrimin, daireyi terk etmeden, bir
noktaya kadar büzülebileceğine dikkat çekip, aynı soruyu
3-boyut için tekrarlamıştır. Daha matematiksel bir
şekilde; Poincaré sanısını "düzgün, 3 boyutlu bir
manifold (manifold karmaşık cisimlerin algılanmasında
çok yardımcı olan soyut matematiksel bir kavramdır; bir
cisme yeterince yakından baktığımızda gördüğümüz
biçimidir, örneğin biz dünya küre olsa da onu iki boyutlu
olarak algılarız veya çembere yakından baktığımızda bir
doğruyu andıracaktır) , üzerindeki her bir kapalı eğrinin
(örneğin paket lastiğinin) tek bir noktaya kadar
büzülebilme özelliğine sahipse, 3 boyutlu manifold, 3
boyutlu küreye homeomorfik (koparmadan, kırmadan
sadece büzerek, eğip bükerek birbirlerine dönüşebilir)
midir?" sorusuyla ifade edebiliriz. Poincaré bu soruyu,
büyük bir ileri görüşlülükle "bizi çok meşgul edecek" diye
yorumlamıştır.
Poincaré sanısı şu
ana kadar çözülen tek
milenyum problemidir.
İspatlayan Grigori
Parelman ise 1 milyon
dolarlık ödülü ve
matematiğin nobeli
olarak kabul edilen
Fields ödülünü
reddetmiştir.