Transcript 4.DurumDegiskeni - Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi

4. DURUM DEĞİŞKENi
MODELLERİ
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi
Elektronik ve Haberleşme Bölümü
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
1
DURUM DEĞİŞKENLERİ MODELİ
• Diferansiyel denklemlerle betimlediğimiz
fiziksel sistemleri daha önce Laplace
dönüşümlerini kullanarak karmaşık
düzlemde n. dereceden bir transfer
fonksiyonuyla modelleme yoluna gitmiştik.
Sistemleri doğrusal ve zamanla
değişmeyen kabul etmek ve alt sistemleri
blok şemalar halinde ifade edip
birleştirmek oldukça pratik bir yöntemdir
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
2
Va
1
Ra  sLa
Ta
T
Km
1
Js  6
V
y(s)
n. dereceden bir sistemi zaman
düzleminde n tane 1. dereceden
diferansiyel denklem ile ifade etmek de
alternatif bir modelleme yöntemi olarak
kullanılabilir;
dX1

 a1x1  b1x 2 

dt
DinamikDenklemler
dX 2
 a 2 x1  b 2 x 2 

dt
Serhat
YILMAZ,
Çözüm kümesi
Y
C
.
X
2
[email protected], 2008
3
• Durum değişkeni adını vereceğimiz bu gösterim
zaman düzlemi yöntemlerini kullandığı için, ek
işlemler gerektirmediğinden ve gerçek zamanda
işlem yaptıkları için bilgisayarda
programlanmaya, bilgisayar çözümlerine oldukça
elverişlidir. Ayrıca zaman düzlemi yöntemleri
doğrusallaştırma, dönüşüm gerektirmediğinden,
transfer fonksiyonu gibi tek girişe karşılık tek bir
çıkış arasındaki bağıntıyı belirlemekle sınırlı
kalmadıklarından, lineer olmayan, zamanla
değişen veya çok değişkenli sistemlerde de eş
zamanlı olarak kullanılabilirler. Kontrol
sistemlerinin zaman düzleminde gösterimi, bu
düzlemdeki analizler üzerine kurulmuş olan
modern kontrol kuramı ve optimal kontrol kuramı
için oldukça önemlidir.
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
4
Dinamik sistemlerin durum değişkenleri
• Kontrol sistemlerinin zaman düzleminde analizi
•
•
ve tasarımı, sistemin durumunu bilmekten yola
çıkılarak yapılır.
Eğer bir giriş karşısında sistemin her bir
durumunun dinamik davranışının ne olacağını
betimleyen denklemleri önceden elde etmişsek
ve değişkenlerin şu anki durumunu biliyorsak bir
giriş karşısında bir sonraki durumlarının ne
olacağını kestirebiliriz.
Bu değişkenlerden hangisini çıkış olarak
gözlemlemek istiyorsak da onu mercek altına alıp
sistemin gelecekteki yanıtını (y(t)=v(t) veya
y(t)=x(t)…gibi) çözebiliriz. Bu gerçekten zaman
düzleminde yapabileceğimiz iyi bir modelleme
şeklidir.
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
5
X(0)
Girişler
U(t)
Durumlar
X(t)
Çıkışlar
Y(t)
• Şekildeki dinamik sistemin (x1, x2,….xn) durum değişkenleri
•
kümesi, bu değişkenlerin başlangıç değerleri [ x1(t0), x2(t0),
…xn(t0) ] ve tt0 zamanında uygulanan u1(t), u2(t) gibi
girişleri bilindiğinde değişkenlerin ve dolayısıyla ilgilendiğimiz
çıkış veya çıkışların gelecekteki değerlerini belirlemek
mümkündür
örnek olarak lambanın açma-kapama düğmesi veya tükenmez
kalem ucu gibi elemanların iki konumlu durumunu verebiliriz.
Eğer düğmenin başlangıçtaki (t0) durumunu (konumunu)
bilirsek düğmeye basıldığında gelecekteki durumunun açık mı
yoksa kapalı mı olacağını tespit edebiliriz.
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
6
Peki durum değişkenleri nasıl seçilebilir? Bu
konuda belirli tek bir kural yok
Kaç tane durum değişkeni seçmemiz
kütle-yay-sönümleyiciyi
gerekir?
• Sistemimiz kaçıncı
hatırlarsanız sistem davranışı;
dereceden ise o kadar
sayıda 1. dereceden
durum denklemiyle
modellememiz gerekir.
Çözüm için denklem sayısı
kadar da durum değişkeni
tanımlamamız gerekir.
İhtiyacımızdan fazla
durum değişkeni
tanımlamaktan
kaçınmalıyız.
k
Duvar sürtünmesi
b
M
u(t)
y(t)
Şekil.4.3. Kütle-y ay -sönümley ici sistemi
dy
d2y
u ( t )  k.y( t )  b.
M 2
dt
dt
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
7
• denklemiyle ifade edilmişti. Bu denklem 2.
•
dereceden bir denklemdir. Oysa durum
denklemleri 1. dereceden doğrusal iki tane
durum denklemine ihtiyacımız var.
Kütlenin konumu ve hızından oluşan bir durum
değişkeni kümesi (x1, x2) bu sistemin dinamik
davranışını betimlemek için yeterli olacaktır.
x1  y(t)
x2 
dy
 v( t )
dt
• Çünkü böylece 1. denklemi zaten kendiliğinden
oluşturmuş oluruz.
dy
 v( t )
dt

dx 1
 x2
dt
(Denklem.1)
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
8
• Asıl denklemde de
•
yerine koyarak (yani dx 1
dt
x
yerine 2 koyarak ) yine 1. dereceden diğer
denklemi elde etmiş oluruz.
dx 2
dv
u
(
t
)

kx

bx

M
Buradan;
u ( t )  k.y( t )  b.v  M
1
2

dy
dt
dt
dt
dx 2
dt
’yi çekersek 2.dif. denklem elde edilir;
dx 2
k
b
1
  x1  x 2  u(t)
dt
M
M
M
Böylece sistemin davranışını temsil eden durum
denklemi takımı;
dx 1
 x2
dt
dx 2
k
b
1
  x1 
x2 
u(t)
dt
M
M
M
olur.
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
9
Hangi değişkenleri seçmeliyiz?
• Enerji depolayan
elemanlara ait
değişkenleri seçmeliyiz.
Çünkü bunların değerleri
enerji depolanırken ve
tekrar boşaltılırken tanımlı
olduğu diferansiyel
denkleme göre değişir.
Güç harcayan direnç
elemanlarındaki akım gibi
değerler ise formülden de
görüleceği gibi, değişken
değil sabit değere
sahiptir.
•Örnek olarak RLC
devresini ele alalım;
iL
u(t)
akım
kaynağı
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
+
vc
ic
L
C
v0
-
+
R
-
Şekil.4.4. RLC Devresi
10
• Durum değişkeni sayısı sistemde bulunan
•
•
bağımsız enerji depolayıcı eleman sayısı kadardır.
Sistemin durumu (x1,x2) durum değişkeni
kümesiyle tanımlanabilir.
Enerjiler kondansatör ve indüktans üzerinde
toplanacağından, sitemin toplam enerji
denklemi;
1
1
2
  L.iL  C.vc 2 ’dir. Bu nedenle;
2
2
• x1: vc(t) kondansatör gerilimi ve x2: iL(t)
•
indüktans akımı olarak alınır
1. denklemi Kirschoff’un akım yasasından
dv c’yi çekerek oluşturalım;
dt
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
11
ic  C.
dv c
 u (t )  iL
dt
x1  v c x 2  i L

dv c
1
1
 u(t)  i L
dt
C
C

dx 1 1
1
 u(t)  x 2
dt C
C
2. denklem de gerilim yasasından;
elde edilir.
di L
vc  L.
 R.iL
dt

di L 1
R
 v c  .i L
dt
L
L
x1  v c x 2  i L

dx 2 1
R
 x1  x 2
dt
L
L
di L
dt
çekilerek
Sonuç olarak durum denklemleri;
dx 1 1
1
 u(t)  x 2
dt C
C
dx 2 1
R
 x1  x 2
dt
L
L
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
12
şeklindedir ki çıkışta neyi gözlemlemek istiyorsak
çıkış denklemimizide ona göre yazabiliriz.
Diferansiyel Denklem Takımları, Matrisel
Gösterimleri, Dinamik Davranışı
Modellemek için Oluşturulan Sistemin
Dinamik Denklemleri
dX n
 a 11 x 1  a 12 x 2      a 1n x n  b 11 u n  b 12 u n      b 1n u n
dt
dX 2
 a 21 x 1  a 22 x 2      a 2 n x n  b 21 u n  b 22 u n      b 2 n u n
dt

dX n
 a n1 x 1  a n 2 x 2      a nn x n  b n1 u n  b 22 u n      b nn u n
dt
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
13
• Durum denklemlerini oluşturan dif. denklem takımları bu
şekilde yazılabildiği gibi, bilgisayar ortamına aktarmaya
uygun olsun diye matrisel formda da yazılabilir.
x 1  a 11 a 12    a 1n 
  

d x 2  a 21 a 22    a 2 n 



 
  
dt 
  

x
a
a



a
n
n1
n2
nn 





X
A
x 1  b11 b12    b1n 
 x  b b    b 
2n 
 2    21 22
   
  
  

x
b
b



b
n
n1
n2
nn 





X
B
u 1 
u 
 2
 
 
un 

U
Sistemin Dinamik Denklemleri
• A ve B; katsayı matrisleri, X ; bilinmeyenler (veya durum)
•
vektörü, U ise giriş vektörüdür. Her bir durumda
meydana gelen yeni değişiklik (dxi/dt) girişler ve önceki
durumlar tarafından belirleniyordu.
Bu durumda sistemin dinamik denklemleri durum ve çıkış
Serhat YILMAZ,
denklemleri ç[email protected],
oluşur.
2008
14
• Kısaca sistemin dinamik davranışını, bu iki
denklemi aynı anda incelersek anlayabiliriz.
Benzer şekilde C ve D; katsayı matrisleri, y; tek
ise çıkış değişkeni, birden fazla ise Y; çıkış
vektörü’dür.
d
x ( t )  Ax( t )  Bu ( t )
dt
y( t )  Cx ( t )  Du( t )
• Sistemin dinamik denklemlerinden oluşan bu
modele durum uzayı gösterimi (veya durum
değişkeni) gösterimi adı verilir.
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
15
Örnek\ Kütle-yaysönümleyici
sisteminin durum
değişkeni modeli ile
matrisel formda
gösterimi:
1  x   0 
d  x1   0
1
k
b



  1 u (t )






x
dt  x2  
M   2   M 
 M
 x1  0
y  1 0     u (t )
 x2  0
Örnek\RLC devresinin
sisteminin durum
değişkeni modeli ile
matrisel formda
gösterimi:
1

1
0

 x 1   
d x 1  
C

 C u(t)





dt x 2   1  R  x 2   
0

L L 
 x1 
y  0 R   
x 2 
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
16
Durum Geçiş Matrisi
• Durum denkleminin çözümü, 1. dereceden adi
diferansiyel denklemlerin sayısal çözümüne benzer bir
yöntemle de çözülebilir.
• Birinci dereceden dif denklemin
=ax+bu
şeklinde olduğunu düşünelim. ( x : 1.türev, x(t)
ve u(t) zamanın skaler (!) fonksiyonları olsun.
Sonuçta eat şeklinde exponansiyel bir çözüm
bulacağız. Denklemin Laplace dönüşümünü
alacak olursak;

x

sX(s)-x(0)=aX(s)+bU(s)
• ve buradan;
 s  a X(s)  x(0)  b U(s)
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
17
•
x 0 
b

U (s) veya X(s)= s  a 1 x(0)  s  a 1 bU(s)
X(s)=
sa sa
• olur. Tekrar ters Laplace’nı alırsak
t
xt   e at x0   e a ( t ) bu()d
0
• Eğer bu değişkenler skaler değil de vektörel olsaydı a’da A
•
gibi bir matris çıkacaktı. 1 de I birim matrisine dönüşecektir.
Benzer şekilde denklemin çözümü de;
t
•
xt   e At x0   e A ( t ) BU()d olacaktır.
0
Denklemin Laplace dönüşümünü alırsak benzer şekilde;
• X(s)= sI  A
1
X(0)  sI  A BU(s)
1
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
bulunur.
18
• Dikkat edilirse gerek önceki durumlardan, şimdiki
durumlara geçiş, gerekse girişlerle şimdiki
durumlar arasındaki geçiş bağıntısı zaman
düzleminde eAt , s düzleminde ise eAt’nin
Laplace karşılığı olan sI  A1 ile ya da bilinen
adıyla durum geçiş matrisi (s) ile
sağlanmaktadır. Bu nedenle sI  A1gördüğümüz
yere  (s) eat veya eAt gördüğümüz yerlere de ( t )
yazabiliriz.Örneğin;
t
x t   ( t ) x 0   ( t  ) Bu ()d
0
Zorlamasız (u=0) sistemlerde integralli terim
ortadan kalkacağından çözümler şu şekilde
olacaktır;
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
19
 x 1 ( t )   t   t ........ t    x 1 (0) 
12
1n
 x 2 ( t )   11
 x 2 (0) 


  21 t   22 t ........ 2 n t  

.
 . 



..........
..........
..........
.....
 .
 

 .
 x ( t )  n1 t   n 2 t ........ nn t   x (0)
 n 
 n 
• Durum geçiş matrisi oluşturulurken her bir i.
durumun diğer tüm önceki durumlar sıfırken bir
önceki j. duruma yanıtları olan tüm geçişleri
sırasıyla bulunur. Tıpkı durumlar arasında
oluşturulmuş birer transfer (geçiş) fonksiyonu
gibi. Bunların tümü, durum geçiş matrisini, yani
olası tüm bir önceki durumlarla, bir sonraki
durumlar arasındaki bağıntıyı verir. İlk koşullar
sıfır olursa bu denklem karmaşık düzlemde de
geçerlidir.
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
20
X(s)  s X(0)
Zaman yanıtının sayısal yöntemlerle yaklaşık
çözümleri
• Durum denklemi çözümleri de ayrık zaman yaklaşımı
•
•
kullanılarak çözülebilir. Ayrık zaman yaklaşımı, zaman
eksenini yeteri kadar küçük dilimlere ayırarak, ardışıl
zaman aralıklarında değişkenleri hesaplamaya
dayanmaktadır (t=0, T, 2T, 3T,…). Böylece her =T zaman
artımında bir önceki değer ve durum geçiş matrisini
kullanarak, bir sonraki durumu bulabiliriz.
Bunu istediğimiz süre boyunca yaparak durumların
zamana göre değişimini, yani dif. denklemin çözümünü
buluruz.
Eğer zaman artımı, sistemlerin zaman sabitlerine göre
yeterince küçük olursa, ayrık zamanda sayısal çözüm,
Serhat YILMAZ,
gerçek çözüme oldukça
yakın çıkabilir.
[email protected], 2008
21
Türevin tanımını biliyoruz:
dx
x ( t  t )  x ( t )
 lim
dt
x
t 0
,
çok küçük t =T zaman artımları için türevin sayısal yaklaşımını
dx x ( t  T)  x ( t ) alabiliriz. Bunu dx  Ax ( t )  Bu ( t )

dt
dt
T
durum denkleminde yerine koyacak olursak;
x ( t  T)  x ( t )

T
Ax(t )  Bu(t )  x(t  T)  x(t )  T Ax(t )  Bu(t )
• Bu iteratif işlemi Euler yöntemi olarak görmüştük.Eğer t
•
zamanı:bilgisayar tarafından belirlenen bir T adımının katları
(t=kT) olarak tanımlanacaksa formülü:
x(k  1)T  x(kT)  T Ax(kT)  Bu(kT)
Burdan; xk  1  x(k)  T Ax(k)  Bu(k)
xk  1  TA  I  x(k )  T Bu(k ) (Vektör olduğu için 1 verine I var)
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
22
• Sayısal işaretimizdeki bir önceki x(k) ile bir sonraki x(k+1)
arasındaki durum geçiş matrisi T A I ’e de sürekli durumdaki
t 
‘den farklı bir sembol, örneğin T  diyelim;
xk  1   T  x(k )  T Bu(k )
Transfer Fonksiyonu Modeli ile Durum Denklemi
Modelinin Birbirine Dönüşümlerinde İşaret Akış
Şeması veya Blok Şeması Gösterimlerinden
Yararlanmak
N. dereceden bir transfer fonksiyonuyla modellenebilen bir
dinamik davranışı n tane 1. dereceden durum denklemiyle de
modelleyebiliriz. Aynı sistemi modellediklerine göre bunlar
arasında nasıl bir ilişki olabilir?
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
23
1

1
0

x

 x 1   


d 1
C

 C u(t)

dt  x 2   1  R  x 2   
0 
L
L
U (s)
s-1
1/C
x1
x 
y  0 R   1 
x 2 
s-1
1/L
x2
x1
-1/C
R
x2
Y(s)
R LC
s  R s  1 
L
LC
2
-R/L
T.F. Modeli
D.Uzayı Modeli
Gerektiğinde birbirleri arasında nasıl geçiş yapılabilir?
• 1. DD’den TF’na Geçiş
• RLC devresinin transfer fonksiyonunu ikinci
•
•
dereceden bir transfer fonksiyonuydu
V (s)

burada , ,  R,L ve C’nin
G(s) 

U(s)
s  s  
değerlerine bağlı katsayılar olsun
İşaret Akış Gerektiğinde birbirleri arasında nasıl geçiş
yapılabilir?
Serhat YILMAZ,
o
2
[email protected], 2008
24
• İşaret akış şemalarını Kullanarak DD’den TF’na
Geçiş:
Aynı sistemi durum ve çıkış denklemleri ile de modellemiştik;
1
1
u (t )  x2
C
C
1
R
x 2  x1  x2
L
L
x1 
ve
Vo  R.x2
• Bu durum ve çıkış denklemlerini sırasıyla işaret akış şeması
üzerinde gösterelim.
U (s)
1/C
s-1
x1
1. Denklem
1/L 2. Denklems
x1
-1
x2
-1/C
R
Y(s)
x2
-R/L
• Durum denklemlerinden yola çıkarak elde ettiğimiz bu işaret
akış şemasında Mason kazanç formülünü kullanırsak R, L ve
Serhat
YILMAZ,
C’ye bağlı 2. dereceden bir
transfer
fonksiyonu elde ederiz.
[email protected], 2008
25
R s

Y(s)
LC

U(s) 1  R s  1 s
L
LC
2
1
2

s2
R LC 
 R s  1  s
L
LC
2

 s  
• Durum Geçiş Matrisinden Yararlanarak DD’den TF’na
•
•
geçiş:
Amaç, sistemin dinamik denklemlerinden
yararlanarak transfer fonksiyonu modeline geçiş için
sistematik olarak kullanabileceğimiz bir formül
bulmaktır.
X  AX (t )  BU denkleminden(ilk koşulların hepsi sıfır);
Y  Cx(t )  DU
sX ( s)  AX ( s)  BU ( s)
Y ( s)  Cx( s)  DU ( s)
 s 0 0  x1 ( s) 
1 0 0  x1 ( s) 
 0 s 0   x ( s )   s 0 1 0   x ( s ) 

 2 

 2 
0 0 s   x3 ( s) 
0 0 1  x3 ( s) 

Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
I
26
SI  AX(s)  BU(s)
1 BU(s) 
X(s)  
SIA
X(s) 
(s)



1 BU(s)
SIA
durum geçiş matrisi
durum geçiş matrisi
• X(s) çıkış denkleminde yerine konursa;
•
Y(s)  C(s) * BU(s)  DU(s) Sağ tarafı U(s) parantezine alırsak;
Y(s)  [C(s) * B  D]U(s)
Buradan giriş ile çıkış arasındaki
bağıntı bulunur;
G( s) 
Y ( s)
 C ( s ) * B  D
U ( s)
• Örnek: RLC Devresinin Transfer Fonksiyonu
1

1 
0



c x   c  u (t )
 
x
1
R
 



0


L
L




Serhat YILMAZ,
A
B
y  0 R X  0

[email protected], 2008
C
27
 (s)  SI  A1  ?

 s 0  0
0 s    1

 
L
  s2 
1 
  s
c 
R 1
  
L L
1 
C 
R
s 
L

1
 R
s



1 L
1
C
 (s)  SI  A  

 1
s  bulunur.
 L

R
1 ‘dir
s
L
LC
 R
s  L
G (s)  0 R   

 1L
 
G( s) 

1 C  1 / C
 R L Rs  1 / C

    
 0 
0



 
s  
 
R
C
R
1
s  s
L
LC
2
bulunur.
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
28
• Ama daha çok tercih edilen yol transfer fonksiyonunu
bulup, buradan durum denklemlerine geçmektir.
2. TF’dan DD’e Geçiş
• Bir transfer fonksiyonunun en genel şekli;
m
m1
1
b
s

b
s

........

b
s
Y(s) m
m1
1  b0
G(s) 
 n
U(s) s  a n 1s n 1  ...........  a 1s1  a 0
• Buradan n  m tüm katsayılar gerçel sayılardır.
Pay ve paydayı s-n ile çarparsak;
b m s ( n m)  b m1s ( n m1)  ........ b1s ( n 1)  b 0 s  n
G(s) 
1  a n 1s 1  ...........  a 1s ( n 1)  a 0 s n
• Denklem bu haliyle Mason kazanç formülüne
benzemiştir.Mason kazanç formülünün payı ve paydası;
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
29
Y(s) 1  ileri yol bilesenlerinin toplami
=
G(s) 

U(s) 1  döngü bilesenlerinin toplami
P = 
k
k

k
k
Pk  k
N
1   Lq
q 1
• Denklemin payda kısmına (1-döngüler) determinant
(  ) adını veriyorduk.
k. ileri yol ( Pk ) kaldırıldığında geriye kalan yolların
determinantına (1-kaldıysa* geriye kalan döngüler)
da k. yolun kofaktörü (  k ) adını veriyorduk.
* : Transfer fonksiyonunun yapısı ve bizim onu işaret akış
şemasına aktarış biçimindeki tercihimiz gereği, döngüler bir
diğerine değecek ve bütün ileri yollar da bu döngülere
değdiğinden, ilgili ileri yol kaldırıldığında döngüler ortadan
kalkacak ve kofaktörler  k =1-0=1 olacaktır. Bu nedenle
transfer fonksiyonumuzu Mason kazanç formülünün özel bir
durumu gibi düşünebiliriz;
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
30
G (s) 
P
1 L
k
N
q 1
k
q
• Transfer fonksiyonlarını farklı şekilde durum denklemi
biçimiyle gösterebiliriz. Bunlardan belli başlıları; faz
değişkeni kanonik biçimi ve girişleri ileri bildiren kanonik
biçim modelleridir. Burada kanonik; uygun, kabul görmüş
anlamındadır. Ayrıca sistemlere ait fiziksel değişkenleri
baz alarak yapılan alternatif gösteriş biçimleride
bulunmaktadır.
Faz Değişkeni Kanonik Biçim: Fazları (durumları)
girişe ve çıkışa bildirir
Örnek: Dördüncü dereceden bir transfer fonksiyonu
b0
Y(s)
G(s) 
 4
U(s) s  a 3s 3  a 2 s 2  a 1s1  a 0
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
31
• Transfer fonksiyonundan durum denklemini bulmak için
önce işaret akış şemasını elde etmeliyiz. Çünkü işaret
akış şemalarında her bir düğümü bir durumu temsil
edecek şekilde kurgulayabiliriz.
• Bunun için transfer fonksiyonunun payındaki ileri yolları
ve paydasındaki döngüleri, birbirinin 1. dereceden
türevleri (s) veya integralleri (s-1) formuna sokmamız
gerekir. Denklemin pay ve paydasını s4’e bölersek payda
Mason kazanç formülündeki gibi 1+…şeklini alır;
Y(s)
b0s4

• G(s) 
=
1
2
3
4
U(s) 1  a 3s  a 2s  a1s  a 0s
 P
1 L
k
N
q 1
olur.
k
q
• Sistem 4. dereceden olduğu için 4 tane durum değişkeni
(x1, x2, x3, x4) ve dolayısıyla 4 tane durum denklemimiz
olacaktır;
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
32
• dx1/dt=…..,
dx2/dt=….. ,
dx4/dt=…..
dx3/dt=…..,

• dx/dt’leri diğer gösteriş biçimi olan x ile temsil edelim.
• Çıkışın arasına bu türevleri, bunların bir integral (s-1)
ilerilerine de integrallerini yani kendilerine ait durum
değişkenlerini yerleştirelim.Durumları temsil eden gerçek
düğümleri yuvarlak ile, bunların türevlerini ise kare ile
gösterelim.

x 4 s-1
U(s)
x4
•
x3
x1
s-1
s-1
x3
x2
x2
Y(s)
s-1
x1
4
b
s
i) Önce 0
ileri yolunu yerleştirelim: U(s)’ten Y(s)’e
ileri yol ardı ardına 4 tane s-1 =s-4 ile büyük ölçüde
oluşturulmuş. Düğümleri bir etki oluşturmaksızın birbirine
1 kazancıyla bağlayabiliriz. Bir de en başa veya en sona
b0 kazancını eklersek ileri
yol
oluşur.
Serhat
YILMAZ,
[email protected], 2008
33
U(s)

U(s)
1
x 4 s-1
s-1
1
x4
s
1
x3
-1
x2
x3
x1
1
b0
s-1
x2
Y(s)
x1
ii) Payda kısmı olan (1+….)’ da: 1- (negatif geribildirimler
toplamı şeklinde oluşturulabilir)
1-(-a3 s-1+ -a2s-2…..) gibi. Burada da örneğin –a3s-1
döngüsü başta veya sonda olabilir.

U(s) 1
x 4 s-1
s-1
1
- a3
x4
x3
s-1
1
x3
- a2
x2
1
x2
x1
b0
s-1
Y(s)
x1
- a1
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
- a0
34
• Her durum (faz-evre) değişkeninden giriş veya çıkışlara
doğru bir bilgi akışı varsa, bu tür modellere faz değişkeni
modeli denir.
• Her bir durum denklemi şu şekilde oluşturulur: denklemin
bulunduğu düğüm (örneğin dx4/dt=…) değişkenlere ve
girişlere hangi katsayılarla bağlıysa bu ilişki ister doğrudan
yazılarak ister matrisel formda yazılarak kurulur. Burada
dx4/dt , x1’e –a0 katsayısıyla, x2’ye –a1 katsayısıyla….., u(t)
girişine 1 katsayısıyla ….vs. bağlıdır. Benzer şekilde diğer
durum denklemleri de hangi değişkenlerden
etkileniyor,örneğin dx1/dt ye nereden geliş var (sadece
x2’den) ona bakıyoruz.
1
0
0   x1  0
 x1   0
  x  0 
x   0
0
1
0
d
  2    u (t )
Y ( s)   2   
0
0
1   x3  0
dt  x3   0
   
  
a0 Serhat
 a1YILMAZ,
 a2  a3   x4  1
 x4  [email protected],
2008
35
• Çıkış ise x1’e b0 ile bağlıdır (Çıkış x1’in o anki değerinin b0
katıdır)
y  b 0
 x1 
x 
0 0 0  2 
x 3 
 
x 4 
Giriş İleri Bildirimli Kanonik Biçim: Girişten ve
çıkıştan durum değişkenlerine bilgi akışı vardır.
Örnek.2: Dördüncü dereceden bir transfer fonksiyonu
modelini durum uzayı modeline dönüştürelim.
b 3s  b 2 s  b1s  b 0
G(s)  4
s  a 3s 3  a 2 s 2  a 1s1  a 0
3
2
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
1
36
• Denklemin pay ve paydasını en yüksek terime bölerek
düzenliyoruz.
b 3s 1  b 2 s 2  b1s 3  b 0 s 4
Y(s)
G(s) 

U(s) 1  a 3s 1  a 2 s 2  a 1s 3  a 0 s 4
• İşaret akış şemasını elde ediyoruz.
b3
b2
b1
U(s)
b0
s-1
1
x4
s-1
s-1
1
x3
1
x2
Y(s)
s-1
- a3
x1
- a2
- a1
- a0
• Buradan da durum ve çıkış denklemlerini elde ediyoruz.
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
37
 x1   a 3
  
d  x 2   a 2
Y(s) 

dt  x 3    a 1
  
 x 4   a 0
1 0 0  x 1   b 3 
0 1 0  x 2  b 2 

u(t)
0 0 1  x 3   b1 
   
0 0 0  x 4   b 0 
• transfer fonksiyonu karşılığında tek çıkış olduğundan
y  1 0
0
 x1 
x 
0  2   0 u ( t )
x 3 
 
x 4 
• Fiziksel değişkenleri temel alan gösteriş
biçimleri
• Durum uzayı denklemlerine sistemin doğrudan
fiziksel yapısından yararlanıp ta geçilebilir
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
38
• DC Motora ait blok şema;
Alan
gerilimi
Denetleyici
R (s)
G C s  
5(s  1)
(s  5)
U(s)
Motor (Elektrik) Alan
Motor (Mekanik)
akımı
1
G1 s  
s2
6
G 2 s  
s3
I(s)
Hız
Y(s)
Transfer fonksiyonlarını Mason kazanç formülü formatında
düzenlersek;
U(s) 5  5s 1
G D (s) 

R (s) 1  5s 1
I(s)
s 1
GE 

U(s) 1  2s 1
GD(s)
s-1
R(s) 1
x 3
5
GE(s)
U(s)
GM(s)
s-1
1
5
x3
GM
Y(s)
6s 1


I(s) 1  3s 1
1
x2
x2
-2
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
s-1
6
Is
x1
1
Y(s)
x1
-3
39
• Burada x1 değişkenimiz dx1/dt denkleminin bir integral
arkasındaki y(t) hız değişkeni, x2 ; dx2/dt durum denkleminin
bir integral ardındaki i(t) alan akımımızdır. X3; dx3/dt
denkleminin bir integral ardındaki değişkenidir. Büyüklüğünü
ölçebildiğimiz fiziksel değişkenleri durum değişkeni olarak
almanın da bir yöntem olduğu burada görülmektedir.
0   x1  0
 x1   3 6
d   
  x   5u (t )
x

0

2

20
2
 2   
dt   
 x3   0
0
 5   x3  1
 x1 
y  1 0 0  x 2 
 x 3 
Köşegen Kanonik Şekli (Ayrık Yanıt Kipi Modeli)
• Aynı transfer fonksiyonunu kısmi kesirlere ayırıp, her bir
kutbun çıkış yanıtına ne kadar etki ettiğini ayrı ayrı
gözlemleyebileceğimiz biçimde durum denklemlerine
Serhat YILMAZ,
dönüştürebiliriz.
[email protected], 2008
40
• Bunun için bulacağımız rezidüler hesaplanırken transfer
fonksiyonu toplamlar şeklinde yazılacağından bunun işaret
akış şemasındaki karşılığı paralel kollar olacaktır
G(s) 
(30s  30)
A
B
C



(s  5)(s  2)(s  3) (s  5) (s  2) (s  3)
A  ( s  5)G ( s )
 2 0
s  5
B  ( s  2)G ( s )
 1 0
G( s) 
s  2
B  ( s  3)G ( s )
 20
 10
30


(s  5) (s  2) (s  3)
 30
s  3
Daha sonra paralel
kollar birleştirilerek
tüm sistemin
durum uzayı
modeli bulunur =>
s-1
x1
-5
x1
-20
1
s-1
R(s)
1
x2
1
Serhat YILMAZ,
3
x
[email protected], 2008
-2
x2 -10
30
s-1
-3
Y(s)
x3
41
Köşegen Kanonik Modeli;
Bu modele köşegen kanonik formu adı da verilmektedir.
0   x1  1
 x1   5 0
d   
  x   1u (t )
x

0

2
0
2
2





dt
 x3   0
0  3  x3  1
 x 1  0 
y   20  10 30  x 2   0 u ( t )
 x 3  0
4.4.1. Durum Değişkeni Modellerinin MATLAB ile
İncelenmesi
ss komutu, A, B, C, D katsayıları verilen bir sistemin
durum uzayı modelini oluşturur
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
42
• Sonuçlar;
a=
x1 x2 x3
x1 -8 -4 -1.5
x2 4 0 0
x3 0 1 0
b=
u1
x1 2
x2 0
x3 0
c=
x1 x2 x3
y1 1 1 0.75
d=
Continuous-time model.
u1
y1 0
• Benzer şekilde, tıpkı tf2ss (transfer funciton to state space,
transfer fonksiyonu modelinden durum uzayı modeline)
komutunun yaptığı gibi, Serhat
verilen
bir transfer fonksiyonunu
YILMAZ,
[email protected],
43
durum uzayı modeline
dönüştürür.2008
• RLC devresinde MATLAB’ı kullanarak transfer fonksiyonundan
durum uzay modeline geçelim.
program kodları ve sonuçlar aşağıdaki
Y(s)
2s 2  8s  6
G(s) 
 3
R (s) s  8s 2  16s  6 gibi olacaktır.
• Aynı denklem olması nedeniyle sonuçlar aynıdır.
a=
x1 x2 x3
x1 -8 -4 -1.5
x2 4 0 0
x3 0 1 0
b=
u1
x1 2
x2 0
x3 0
c=
d=
x1
x3
y1
0.75
x2
1
Continuous-time model.
u1
y1 0
1
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
44
• ss2tf komutu: benzer şekilde Durum Uzayı ifadesini Transfer
fonksiyonuna dönüştürmek için oluşturduğumuz program ve
çıktısı;
pay =
0
6.0000
2.0000
8.0000
payda =
1.0000
6.0000
8.0000
16.0000
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
Transfer function:
2 s^2 + 8 s + 6
---------------------s^3 + 8 s^2 + 16 s + 6
45
•
Aşağıdaki kod satırları da aynı sonucu bulmak için
kullanılabilir
•
Örnek. Aşağıdaki gibi bir sistem düşünelim
1
0
 0
0 
x   0
0
1  x  0 u ( t )
 3  2  5
1

y  1 0 0x
a) tf fonksiyonunu kullanarak sistemin Y(s)/U(s) transfer
fonksiyonunu bulunuz.
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
46
 0
  1
b) Sistemin x(0) =   başlangıç koşullarına yanıtını sn
 1  aralığı boyunca çizdirin.
c) Matlab’taki üstel (exp) komutunun vektör ya da matris
şeklindeki üstel ifadeleri tanımlamak için tanımlanan şekli
olan “expm” fonksiyonunu kullanarak, sistemin durum geçiş
matrisini hesaplayın.
d) b’de verilen başlangıç koşullarını kullanarak x(t)’nin t=10sn.
deki değerinibelirleyin. b’de elde ettiğiniz sistem yanıtının bu
noktadaki sonucuyla karşılaştırın.
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
47
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
48
• Programın sonuçları;
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
49
• Transfer function:
•
1
--------------------s^3 + 5 s^2 + 2 s + 3
• Phi =
•
0.9968 0.1977 0.0146
-0.0439 0.9676 0.1246
-0.3739 -0.2931 0.3444
ans = (x_d (10. saniye) )
-0.2598
0.0105
0.1624
Serhat YILMAZ,
[email protected], 2008
50