Transcript *************?***D

CİSİMLERİN
MUKAVEMETİ
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
Çevirenler:
Ömer Rıza Akgün
Osman Yazıcıoğlu
Temel Kotil
Gerilme Kavramı
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
Gerilme Kavramı
• Mukavemet dersinin temel amacı, çeşitli makinaları ve yük taşıyan
yapıları analiz etmede ve tasarlamada mühendise yöntem sağlamasıdır.
• Bir yapının hem analizi ve hem de tasarımı, gerilmelerin ve şekil
değiştirmelerin belirlenmesini içine almaktadır. Bu bölüm gerilme
kavramına ayrılmıştır.
1-2
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
1.2. Kuvvetler ve Gerilmeler
• Şekildeki sistem, B noktasından
uygulanan 30 kN’luk bir yükü
taşımak için tasarlanmıştır.
• Sistem; bağlantı noktalarında ve
mesnetlerde pimlerle bağlanan,
AB ve CD çubuğundan
oluşmaktadır.
• Her bir elemandaki iç kuvvetleri
ve mesnetlerdeki reaksiyon
kuvvetlerini belirlemek için
statik analiz yapılması gerekir.
1-3
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
1.2. Kuvvetler ve Gerilmeler
• İncelenen sistemin serbest cisim
diyagramı çizilir ve reaksiyon kuvvetleri
gösterilir.
• Statik denge koşulları yazılırsa;
 M C  0  Ax 0.6 m   30 kN 0.8 m 
Ax  40 kN
 Fx  0 Ax  C x
C x   Ax  40 kN
 Fy  0  Ay  C y  30 kN  0
Ay  C y  30 kN
• Ay ve Cy bu eşitliklerden belirlenemez.
1-4
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
1.2. Kuvvetler ve Gerilmeler
• Bütün sistem yanında, her bir eleman da
statik denge koşullarını sağlamalıdır.
• AB bumunun serbest cisim diyagramından:
 M B  0   Ay 0.8 m 
Ay  0
Bu değer, sistemin tamamının denge
denkleminden elde edilen eşitlikte yerine
konursa,
C y  30 kN
• Sonuç olarak:
Ax  40 kN  C x  40 kN  C y  30 kN 
A  40 kN  C  50 kN
• Hem AB ve hem de BC çubuğu iki kuvvet
elemanı olduğundan, reaksiyon kuvvetleri AB
ve BC çubukları doğrultusunda etki eder.
1-5
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
1.2. Kuvvetler ve Gerilmeler
• Acaba sistem 30 kN’luk yükü emniyetli
biçimde taşıyabilir mi?
• Statik analizden,
FAB = 40 kN (bası)
FBC = 50 kN (çeki) olarak bulunmuştu.
• BC elemanı boyunca herhangi bir kesitte 50
kN’luk bir iç kuvvet oluşur ve bu iç kuvvet
toplam kesit alanı üzerinde yayılı elemanter
kuvvetlerin bileşkesini temsil eder.
• Birim alana düşen kuvvete veya verilen bir
kesitteki yayılı kuvvetlerin şiddetine gerilme
denir ve σ sembolü ile gösterilir.
N
  (N/m2 =Pa)
A
FBC (N), A(m2) → σ (Pa)
1 kPa = 103 Pa
1 MPa = 106 Pa
1 GPa = 109 Pa
1-6
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
1.2. Kuvvetler ve Gerilmeler
• BC çubuğunun kırılıp kırılmayacağı, sadece
FBC iç kuvvetinin büyüklüğüne bağlı olmayıp,
aynı zamanda çubuğun kesit alanına ve
çubuğun imal edildiği malzemeye de bağlıdır.
• Çapı 20 mm olan BC çubuğunu çelik olarak
seçtiğimizi kabul edelim.
• BC çubuğundaki gerilme;
 BC
FBC
50 103 N
6



159

10
Pa  159 MPa
6
2
A
314 10 m
• Çeliğin malzeme özelliklerinden, müsaade
edilebilir en büyük gerilme,
 em  165 MPa
• Sonuç: σBC ≤ σem olduğundan, BC elemanının
mukavemeti yeterlidir.
1-7
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
1.2. Kuvvetler ve Gerilmeler
• Sistemlerin tasarımı; sistemden istenen işlevin
elde edilebilmesi için, uygun malzeme seçimini
ve elemanların uygun boyutlarda belirlenmesini
de gerektirir.
• Fiyatı, hafifliği ve temin edilebilirliği nedeniyle
BC çubuğunu alüminyum olarak seçtiğimizi
kabul edelim. Alüminyum için em= 100 MPa).
Bu durumda uygun çubuk çapı ne olmalıdır?
 em
N

A

A
N
 em
d2

 500  10 6 m 2
4
d 

4 500  10 6 m 2

50  103 N
6


500

10
m
6
100  10 Pa
  0.0252m  25.2 mm
• BC çubuğunun alüminyum olması durumunda,
çapının en az 26 mm olması gerekir.
1-8
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
1.3. Eksenel Yükleme; Normal Gerilme
• Eksenel yüklemeye maruz bir çubuktaki iç kuvvetlerin
bileşkesi, çubuğun kesitine diktir (yani çubuğun ekseni
doğrultusundadır).
• Bu kesitteki kuvvet yoğunluğu normal gerilme
olarak tanımlanır.
• Kesit üzerindeki belirli bir noktadaki normal
gerilme, ortalama gerilmeye eşit olmayabilir.
• Gerçekte, verilen bir kesitteki detaylı gerilme
dağılımı statik açıdan belirsizdir (yalnızca
statikten bulunamaz).
1-9
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
1.3. Eksenel Yükleme; Normal Gerilme
• İki kuvvet elemanında üniform bir gerilme
dağılımı, sadece N tekil yüklerinin etki
çizgisinin
incelenen
kesitin
ağırlık
merkezinden geçmesi halinde mümkündür.
Böyle yüklemeye merkezi yükleme denir.
• Bununla birlikte, eğer iki kuvvet elemanı
eksenel fakat ağırlık merkezinden kaçık
olarak yüklenmişse, kuvvet dağılımı ve buna
tekabül eden gerilme dağılımı ne üniform ve
ne de simetrik olur. Böyle yüklemeye ise
eksantrik yükleme denir.
1 - 10
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
1.2. Kuvvetler ve Gerilmeler
• İncelemenin tamamlanabilmesi için, AB çubuğundaki basma gerilmesinin
yanında, pim de ortaya çıkan gerilmelerin de belirlenmesi gerekir.
• Ayrıca, verilen yüklemede ortaya çıkan şekil değiştirmelerin kabul edilebilir
olup olmadığının da belirlenmesi gerekir.
1 - 11
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
1.4. Kayma Gerilmesi
• AB elemanına P ve P’ kuvvetleri şekildeki gibi
enlemesine uygulansın.
• Bu durumda C kesit düzleminde oluşan elemanter iç
kuvvetler kesme kuvvetleri , bunların bileşkesinin
şiddeti ise kesme kuvveti (V) diye adlandırılır.
• İlgili kesitteki ortalama kayma gerilmesi, kesme
kuvveti V’nin kesit alanı A’ya bölünmesiyle elde
edilir ve τ sembolü ile gösterilir.
 ort
V
V

A
• Kayma gerilmesinin gerçek değeri, elemanın yüzeyinde
sıfır, kesit ortasında ortalama değerinden daha büyük
olan bir τmax değerine kadar değişir.
• Normal gerilmelerin aksine, kesit boyunca kayma
gerilmeleri dağılımı üniform kabul edilemez.
1 - 12
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
1.4. Kayma Gerilmesi
Tek kesme
 ort
Çift kesme
V F
 
A A
1 - 13
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
1.6. Basit Yapıların Analizine Uygulama
Şekildeki yapının bağlantıları
ve elemanlarındaki gerilmeler
belirlenmek istensin.
•
Statik analizden;
FAB = 40 kN (bası)
FBC = 50 kN (çeki)
• AB ve BC’deki maksimum
normal gerilmeler ile her bir
pim bağlantısındaki kayma
gerilmeleri dikkate alınmalıdır.
1 - 14
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
1.6. Basit Yapıların Analizine Uygulama
• BC Çubuğu 50 kN’luk bir eksenel yükle çekmeye
zorlanmaktadır.
• Çubuk merkezinde, A = 314x10-6 m2 dairesel kesit
alanındaki ortalama normal gerilme BC = +159
MPa’dır.
• Çubukların uç kısımlarında (pim merkezlerinin olduğu
yerde) kesit alanı en küçüktür.
A  20 mm 40 mm  25 mm   300 mm 2  300  10 6 m 2
FBC
50 10 3 N
 BC,uç 

 167  10 6 Pa  167 MPa
ABC 300 10 6 m 2
• AB Çubuğu 40 kN’luk bir eksenel yükle basıya
zorlanmaktadır ve ortalama normal gerilme
σAB = –26.7 MPa’dır.
• AB bası yüküne maruz kaldığından pimleri iter, bu
yüzden A ve B’deki en küçük kesitler gerilme altında
bulunmazlar.
1 - 15
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
1.6. Basit Yapıların Analizine Uygulama
• Pimlerin A, B ve C’deki kesit alanı,
2
 25 mm 
2
6 2
A   r  
  491 mm  491  10 m
 2 
2
• C’deki pim üzerindeki kesme kuvveti, BC
çubuğu tarafından uygulanan kuvvete eşittir.
 C ,ort
V
50 103 N
6
 

102

10
Pa  102 MPa
6
2
A 49110 m
• A’daki pim çift kesmeye maruzdur ve
üzerindeki toplam kuvvet AB bumu tarafından
uygulanan kuvvete eşittir.
 A,ort
V
40 103 N
6



40
.
7

10
Pa  40.7 MPa
6
2
2 A 2  49110 m
1 - 16
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
Örnek Problem 1.1
Şekildeki askının AB kolunun üst kısmı 9
mm kalınlıkta ve alt kısımları 6 mm
kalınlıktadır. Üst ve alt kısımları B’de
birleştirmek
için
epoksi
reçinesi
kullanılmaktadır. A noktasında 9 mm
çapında ve C noktasında 6 mm çapında pim
kullanılmaktadır.
(a) A pimindeki kayma gerilmesi,
(b) C pimindeki kayma gerilmesi,
(c) ABC kolundaki en büyük normal gerilme,
(d) B’deki yapıştırma yüzeylerindeki ortalama
kayma gerilmesi,
1 - 17
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
Problem 1.4
Örnek:
İki silindirik çubuk şekilde görüldüğü gibi B'de
kaynak edilmiştir. AB çubuğundaki çekme
gerilmesi BC çubuğundaki basma gerilmesi ile aynı
olacak şekilde P kuvvetinin şiddetini tayin ediniz.
1 - 19
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
Çözüm
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
Örnek Problem 1.2
ABC dirseğine görüldüğü gibi iki kuvvet uygulanmaktadır. (a) AB kontrol
çubuğunun normal emniyet gerilmesi 181.8 MPa olan çelikten yapılması
durumunda çapını bulunuz. (b) C pimi kayma emniyet gerilmesi 106.1 Mpa
olan çelikten yapılacaktır gerekeli olan çapı bulunuz
1 - 21
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
Örnek
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
Çözüm
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
örnek
Örnek:
Şekilde gösterilen çelik yapıda C’de 6 mm çaplı pim, B ve D de 12 mm çaplı pim
kullanılmaktadır. Bütün bağlantılarda kayma emniyet gerilmesi 150/3 MPa ve
BD kolunda Normal emniyet gerilmesi 400/3 MPa dır. A’ya uygulanabilecek en
büyük P kuvvetini bulunuz.
1 - 25
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
Örnek:
şekilde
gösterilen
sistemdeki elemanlar 8x36 mm
düzgün
dikdörtgen
kesitlidir.
Elemanları biri birine bağlayan
pimler 16 mm çapındadır. BD ve
EC çubuğunda oluşan normal
gerilmeyi bulunuz.
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
Çözüm:
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
Örnek:
22 mm kalınlığında 160 mm genişliğinde iki ahşap plaka şekilde gösterildiği
gibi yapıştırıcı ile birleştirilmiştir. Yapıştırıcının max olarak 820 KPa lık
kayma gerilmesi taşıyabildiği bilindiğine göre, eğer ahşap p= 7.6 KN kuvvete
maruz kalırsa bu yükü taşıyabilmesi için d nin alacağı minimum değeri
bulunuz.
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
Örnek: şekilde gösterilen sistemde AB çubuğu çelikten üretilmiştir ve
taşıyabileceği max normal gerilme128.5 MPa dır . AB çubuğunun kesit alanını
belirleyiniz.
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ
Örnek:
DE çubuğunun konumunu
kısmi olarak kontrol eden
CF
hidrolik
silindiri
şekilde
gösterilen
konumda
kilitlenmiştir.
BD çubuğu 16 mm
kalınlığında olup düşey
silindire 10 mm çapında
vida ile bağlıdır. Bu vidada
oluşan ortalama kayma
gerilmesini bulunuz.
C İSİMLERİN MUKAVEMETİ