Transcript 5) doğrusal denklem sistemlerinin sayısal çözümleri
5) DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ
a 11 x 1 =b 1 x 1 a 11 x 1 +a 12 x 2 +……….a
1n x n =b 1 . . x 1 , x 2 ,….x
n . . f(x 1 )= a 11 x 1 -b 1 =0 . . a n1 x 1 + a n2 x 2 +……….a
nn x n =b n Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 1
Karşılaştığımız pek çok sistem; •Hareket Denklemleri, kimyasal denklemler, ısı yasaları, akım-gerilim yasaları, birbirine bağlı olarak değişen değişkenlerle ve bunların oluşturduğu denklemlerle ifade edilirler. 10 + 1000 V I 1 25 I 4 10 A 20 I 2 4 25 I 3 8 5 I 1 -25I -37I -25I 3 1 -4I -4I 4 4 3 =-200 = -250 +29I 4 =100 Doğrudan ve iteratif çözüm yöntemleri Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 2
5.1. DOĞRUDAN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ
• 5.1.1. Ters Matris Yöntemi
a 11 a 21 a 31 x 1 +a 12 x 1 +a 22 x 1 +a 32 x 2 +a 13 x 3 =b 1 x 2 + a 23 x 3 =b 2 x 2 + a 33 x 3 =b 3
a
11
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33
x x
1 2
b b
1 2 3
b
3 [A] [X]=[B] [A] -1 [A] [X]= [A] -1 [B] [I] [X]= [A] -1 [B] (Hatırlatma: Matrisin tersi A -1
Adj A A
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 3
Örnek: Aşağıda verilen denklemlerde bilinmeyen olarak tanımlanan x 1 , x 2 ve x 3 değerlerini ters matris yöntemini kullanarak bulunuz.
• • 2 x 1 -3x 2 +2 x 3 =-11 x 1 + x 2 + -2 x 3 =8 • 3 x 1 -2x 2 - x 3 =-1 Çözüm 2 1 3 3 1 2 2 2 1
x x
1 2 11 8 1
A
= +a 11
a
22
a
32
a a
23 33 -a 12
a a
21 31
a a
23 33 + a 13
a a
21 31
a a
22 32
A
= a 11 (a 22 a 33 -a 23 a 32 )-a 12 (a 21 a 33 -a 31 a 23 )+a 13 (a 21 a 32 -a 31 a 22 )
A
= 2[1 (-1)-(-2) (-2)]-(-3)[1(-1)-3(-2)]+2[1(-2)-3(1)] =2(-1-4)+3(-1+6)+2(-2-3) = 2(-5)+3(5)+2(-5)
A
=-5 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 4
C(a 11 ) =(-1) 1+1 M 11 =(-1) 2 C(a 12 ) =(-1) 1+2 M 12 =(-1) 3 C(a 13 ) =(-1) 1+3 M 13 =(-1) 4 1 1 3 1 3 2 = (+1) ((1*-1)-(-2*-2))=-5 1 2 1 1 =(-1) ((1*-1)-(3*-2))=-5 =(+1) ((1*-2)-(3*1))=-5 2 C(a 21 ) =(-1) 2+1 M 21 =(-1) 3 3 2 1 =(-1) ((-3*-1)-(-2*2))=-7 C(a 22 ) =(-1) 2+2 M 22 =(-1) 4 C(a 23 ) =(-1) 2+3 M 23 =(-1) 5 C(a C(a 31 ) =(-1) 3+1 M 31 =(-1) 4 32 ) =(-1) 3+2 M 32 =(-1) 5 2 3 2 3 2 1 3 =(+1) ((2*-1)-(3*2))=-8 =(-1) ((2*-2)-(3*-3))=-5 3 2 2 2 1 2 2 =(+1) ((-3*-2)-(1*2))=4 =(-1) ((2*-2)-(1*2))= 6 1 2 C(a 33 ) =(-1) 3+3 M 33 =(-1) 6 2 1 3 1 Blm,2007 =(+1) ((2*1)-(1*-3))=5 KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab 5
C[A]=
5 7 4 5 8 6 5 5 5 Ek Matris (yani Adjoint[A])=(C[A]) T
Adjoint[A])=
5 5 5 7 8 4 6 5 5 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 6
[A]
-1
=
A
1 1 1 1.4
1.6
1
0.8
1.2
1
x
1
1 1 1 1.4
1.6
1
0.8
1.2
1
11 8
1
=
11 11
11 11 .
2 12 .
8
8
1 0 1 .
.
8 2
a 11 x 1 +a 12 x 2 +……….a
1n x n =b 1 . . . . . . a n1 x 1 + a n2 x 2 +……….a
nn x n =b n x 1 , x 2 ,….x
n
x
1
=1, x
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 2
=3 ve x
3
=-2
7
5.1.2. Cramer Yöntemi:
x
k
=
det
A k
det
A
1........
k
[Ak]= .
.
a
11
a
21
a n
1
b b b
1 2
a
13
a
23
a nn
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 8
Örnek: Aşağıda verilen denklem takımını Cramer kuralıyla çözün.
3 x 1 + 4 x 2 -5 x 3 = -47 -2 x 1 -5 x 2 + 7 x 3 = 56 -7 x 1 +2x 2 - 3 x 3 = 15
• Çözüm:
3 2 7 4 5 2 5 7 3
x x
1 2 47 56 15
A
=3(15-14)-4(6+49)-5(-4-35)=3-220+195=-22 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 9
E= 56 15 47 x 1 = 1 22 47 56 15 4 5 2 5 7 3 1 22 [-47(15-14)-4(-168-105)-5(112+75)] = 1 22 (110) =-5 Benzer biçimde x 2 ve x 3 elemanları da bulunur. 3 47 5 x 2 = 1 22 2 7 56 15 7 3 1 22 [3(-168-105)+47(6+49)-5(-30+392)] = 1 22 (-44) =2 x 3 = 1 22 3 2 7 4 5 2 47 56 1 22 [3(-75-112)-4(-30+392)-47(-4-35)] = 1 22 (-176) =8 bulunur. 15
x
1
=-5, x
2
=2 ve x
3
=8
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 10
Problemin Matlab’ta çözümü:
Kaçıncı bilinmeyen bulunacaksa girilir. k=?
Katsayı matrisi ve eşitlik vektörü girilir Bu kısımda, A matrisinin k.
sütunu E vektörü ile değiştirilir i=1 Matrisin k. sütununun i.
satırı, eşitlik vektörünün i. satırı ile değiştirilir.
i=i+1 i > matrisin satır sayısı?
H E bilinmeyen hesaplanır xk=det(Ak)/det(A); Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 11
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 12
5.1.3. Gauss-Yoketme Yöntemi
3x + 4y + 2z= 71 x + 2y + 6z= 73 4x + 12y + 5z=180 uygun katsayılarla çarpma,bölme -3 3x + 4y + 2z= 71 x + 2y + 6z= 73 taraf tarafa toplama, çıkarma
+
3x + 4y + 2z= 71 -3x -12y - 18z=-219 -8y+16z=-148 Denklemde yerine koyma y=(148-16z)/8 Adım adım
a
11 0 0
a
12
a
22 0
a
13
a
23
a
33
x x
1 2
b b
1 2 3
b
3 a 33 x 3 =b 3 x 3 = b 3 /a 33 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 x 3, , x 2 , x 1 13
• Gauss yoketme işlemi için; •Genişletilmiş matris: W=[A|b] Bu durumda
a
11
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33
b b
2
b
1 3 a a a 11 21 31 a 12 a 22 a 32 a a a 13 23 33 w w w 11 21 31 w 12 w 22 w 32 w w 23 w 13 33 b b b 1 2 3 w w w 14 24 34 W w w w 11 21 31 w 12 w 22 w 32 w 13 w 23 w 33 w w 24 w 14 34 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 14
N=M+1 i=k+1,k+2,….,M W w w w w 11 21 31 M 1 j=1,2,…N w w w 12 22 32 w M 2 w w w 13 33 k=1,2,…M-1 w 23 M 3 .........
.........
.........
w w w 1 N 2 N 3 N ......
w MN w ij w ij -
w ik w kk w kj
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 15
w ij
w ij -
w ik w kk w kj
k=1, w kk =w 11 i=2 W j=1 w 0 w w 11 ....
21 31 M 1 j=2 w 12 w w 22 32 w M 2 w w j=3 w 13 23 33 w M 3 j=N .........
.........
.........
......
w w w w 1 N 2 N 3 N MN Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 16
w ij
w ij -
w ik w kk w kj
k=1, w kk =w 11 i=3 W w w 11 0 ....
0 ....
M 1 w w w 12 22 32 w M 2 w w w 13 23 33 w M 3 .........
.........
.........
w w w 1 N 2 N 3 N ......
w MN Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 17
w ij
w ij -
w ik w kk w kj
k=1, w kk =w 11 i=M W w 11 0 ....
0 0 ....
....
w w w 12 22 32 w M 2 w w w 13 23 33 w M 3 .........
.........
w 2 N .........
......
w w w 1 N 3 N MN Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 18
w ij
w ij -
w ik w kk w kj
k=2, w kk =w 22 i=3 W w 11 0 ....
0 0 ....
....
w w ..
12 22 0 ..
w M 2 w w w 13 23 33 w M 3 .........
.........
w 2 N .........
......
w w w 1 N 3 N MN Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 19
w ij
w ij -
w ik w kk w kj
k=2, w kk =w 22 i=M W w 11 0 ....
0 0 ....
....
.
w 12 w 22 ..
0 ..
0 ..
w 13 w 23 w 33 w M 3 .........
.........
w 2 N .........
......
w w w 3 N MN 1 N Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 20
w ij
w ij -
w ik w kk w kj
k=3, w kk =w 33 i=M W w 11 0 ....
0 0 ....
....
.
w 12 w 22 ..
0 ..
0 ..
w w w 13 23 33 ...
0 ...
.........
w .........
w 2 N .........
........
w w 1 N 3 N MN Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 21
Adım adım
a
0 0 11
a a
0 12 22
a a a
13 23
x x
1 2 bulmak ve yerine koymak için
b b b
1 2 3 a 33 x 3 =b 3 x 3 = b 3 /a 33 x 3, , x 2 , x 1
idi
W w 11 0 ....
0 0 ....
....
w 12 w 22 ..
0 ..
.
0 ..
w w w ...
0 13 23 33 .....
w ..........
..........
MM w w ...
w 1 N 2 N ..........
.
w 3 N MN w MM x M =w MN w (M-1)(M-1) x M-1 +w (M-1)M x M =w (M-1)N x M-1 = w 1 M 1 M 1 w M 1 N x M = w MN w MM w (M 1)M x M x k = w 1 w kN j Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 M k 1 w kj x j (k=M-1, M-2, …..,1) 22
Örnek: Yanda verilen 4 bilinmeyenli denklem takımını Gauss-Yoketme yöntemiyle çözünüz.
1 2 4 5 3 4 3 3 4 6 1 2 5 8 1 3
x x x x
3 4 1 2 11 42 11 38 Çözüm Bu denklem takımını sağa genişlemiş matris olarak yazalım ve köşegenin altını sıfırlamak üzere önce birinci satırı esas alarak a sıfırların çarpıldığı sayılardır.
21 , a 31 ve a 41 elemanlarını adım adım sıfırlayalım. Kutuların sol tarafındaki sayılar, Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 23
2/1 k=1.
i=2.
satırlar 4/1 k=1.
i=3.
satırlar 5/1 k=1.
i=4.
satırlar 15/10 k=2.
i=3.
satırlar
0 0 0 0 5 1 4 5 1 0 4 5 1 0 1 2
-
-3 4 3 3 -3 10 3 3 -3 10 -15 3 -3 10 15 18 4 6 2 1 4 -2 2 1 4 2 14 1 4 -2 -14 -19 -5 8 1 -3 -5 18 1 -3 -5 -18 -21 -3 -5 18 21 22 -11 42 -11 -38 -11 64 -11 -38 -11 -64
18/10 k=2.
i=4.
satırl ar 77/55 k=3.
i=4.
satırl ar
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 -3 10 0 18 -3 10 0 0 -3 10 4 -2 -11 -19 4 -2 -11 -77/5 4 -2 -5 18 -6 22 -5 18 -6 -52/5 -5 18 -11 64 -63 17 -11 -64 -63 -491/5 -11 64 -33 0 0 -11 -6 -63 -38 -11 0
x 4 = 10 2
0
5
0 64 33 17
x 3 = 3 64 11 x 2 = 10 x 1 = Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 1 2 4*3
-2 -10
4 24
Pivot (referans eksen) Seçimi
3x + 4y + 2z= 71 x + 2y + 6z= 73 4x + 12y + 5z=180 3x + 4y + 2z= 71 4x + 12y + 5z=180 x + 2y + 6z= 73 0 1 0 0 0 0 1 ...
0 0 0 10 5 0 1 1 0 5 20 0 1 5 1 0 10 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 1 0 0 0 0 ...
0 5 0 0 1 10 20 0 1 5 0 1 1 5 0 1 0 10 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 25
Gauss-Yoketme Yönteminin Matlab’ta Çözümü
W=
i
1 x M =
w MM w MN
j
.
.
a
11
a
21
a M
1 ..........................
.
a
22 ....................
b n
x k =
k
1 w kk
a kk
w kN
a a
1 2
N N a MN
idi j M k 1 w kj x j (k=M-1, M-2, …..,1) Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 26
a) Algoritmayı daha önce çözdüğümüz örneğe uygulayacak olursak, birinci yordam aşağıdaki denklem takımına karşılık gelen matrisi bulacaktır. w 11 x 1 +w 12 x 2 +w 13 x 3 +w 14 x 4 =b 1
(=w 15 )
0 * x 1 +w 22 x 2 +w 23 x 3 +w 24 x 4 =b 2
(=w 25 )
0* x 1 +0* x 2 +w 33 x 3 +w 34 x 4 =b 3
(=w 35 )
0* x 1 +0* x 2 +0* x 3 +w 44 x 4 =b 4
(=w 45 )
b) İkinci yordam bu denklemlerden bilinmeyenleri çeker. Sonuncu bilinmeyenden başlayarak bulduğu bilinmeyeni bir önceki denklemde yerine koyarak tüm bilinmeyenleri bulur. x 4 =w 45 /w 44
x
3 1
w
33
w
35
w x
34 4
x
2 1
w
22
w
25
w x
23 3
w x
24 4
x
1 1
w
11
w
15
w x
12 2
w x
13 3
w x
14 4 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 27
Program Algoritması (Yok etme yordamı) Sabitler ve ilk değerler girilir:
Matris, Matrisin boyutları
k=1 i=k+1 katsayi=w(i,k)/w(k,k) j=1 w(i,j)=w(i,j)-katsayi*w(k,j); j > N? H j=j+1 E i > M? H i=i+1 E k > M-1? E Yoketme İşlemi Sonrasında Elde Edilen Matrisi göster H k=k+1
1
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 28
1
Son bilinmeyen: x(M)=w(M,N)/w(M,M); k=M-1 Bilinmeyenlerin geriye doğru çözümü Toplam=0 j=k+1 Toplam=Toplam+w(k,j)*x(j) j> M? E x(k)=1/w(k,k)*(w(k,N)-Toplam) H j=j+1 k < 1? H k=k-1 E Bilinmeyenleri göster (x 1 ,x 2 …..) Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 29
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 30
Çıkışlar: Yok etme islemi sonrasinda matris: w = 1.0000 -3.0000 4.0000 -5.0000 -11.0000 0 10.0000 -2.0000 18.0000 64.0000 0 0 -11.0000 -6.0000 -63.0000 0 0 0.0000 -2.0000 -10.0000 Bilinmeyenler x1,x2......xM sırasıyla; x = -4.0000 -2.0000 3.0000 5.0000 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 31
( Örnek: Şekildeki devrede bilinmeyen i12,i52, i32, i65, i54 ve i43 akımlarını Gauss Yoketme yöntemi ile bulun İpucu: ilk 4 denklemi Kirchoff’un akım yasasından, kalan 2 denklemi de her iki kapalı çevrime gerilim yasasını uygulayarak elde edebilirsiniz .
w ij (yeni )= w ij (eski)-katsayi*w kj , x M =
w
1
MM w MN
, k = w 1 kk w kN j M k 1 w kj x j (k=M-1, M-2, …..,1) ) b) Problemi çözen programı yazın. Program, ilgili pivot sıfır olduğu sürece (birden fazla sefer de sıfır olabilir) pivotun bulunduğu satırı, bir alt satırla yer değiştirsin. c) Programı anlaşılır şekilde tarif eden bir akış şeması oluşturun .
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 32
Genel olarak devre çözümü yapacak bir programda farklı devrelere karşı esnek olabilmek için her bir direnç arası düğüm olarak tanımlanır. Bu nedenle her düğümü hesaba katmak gerektiği unutulmamalıdır. En genel haliyle çözüm aşağıdaki gibidir. a) Kirscoff’un akım yasası işaretleri göz önüne alındığında 3 noktasındaki akımlar : i 4 noktasındaki akımlar: i 2. düğüme gelen akımlar: i 5. düğüme gelen akımlar: i 43 54 32 65 + (-i + (-i + i + (-i 32 43 52 54 )=0; )=0; +i 12 =0; )+(-i 52 )=0; b) Kirscoff’un gerilim yasasını 1. ve 2. çevreye uygularsak (akım yönlerini saat yönünde seçelim) 1. çevre denklemi: 5 i 43 + 10 i 32 + 5 (-i 52 )=0 2. çevre denklemi: 20 i 65 + 5 i 52 + 5 (-i 12 )=-200 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 33
6 bilinmeyenimiz ve 6 denklemimiz var bu denklemleri yeniden düzenleyip matrisel forma getirirsek (karıştırmamak için sıralamayı küçükten büyüğe olacak şekilde yapabiliriz) 1 i 12 + 1 i 32 + 0 i 43 + 1 i 52 + 0 i 54 + 0 i 65 =0 (2. düğüm) 0 i 12 - 1 i 32 + 1 i 43 + 0 i 52 + 0 i 54 + 0 i 65 =0 (3. düğüm) 0 i 12 +0 i 32 - 1 i 43 + 0 i 52 + 1 i 54 + 0 i 65 =0 (4. düğüm) 0 i 12 +0 i 32 + 0 i 43 – 1 i 52 - 1 i 54 + 1 i 65 =0 (5. düğüm) 0 i 12 +10i 32 + 5 i 43 – 5 i 52 + 0 i 54 + 0 i 65 =0 (1. çevre) -5 i 12 +0 i 32 + 0 i 43 +5 i 52 + 0 i 54 + 20 i 65 =-200 (2. çevre) W= 1 0 0 0 0 5 1 1 0 0 10 0 1 1 0 0 5 0 0 1 5 5 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 200 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 34
W= ( 5 / 1 ) 1 0 0 0 0 1 1 0 0 10 0 1 1 0 5 0 0 1 0 5 1 0 5 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 200 = 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 10 5 0 1 1 0 5 0 0 1 0 1 5 10 0 0 1 1 0 0 1 0 20 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 W= ( 10 / 1 ) 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 5 0 1 1 0 0 5 0 1 5 0 1 1 1 0 0 0 10 0 1 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 200 = 1 0 0 0 0 0 5 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 15 0 1 0 1 5 10 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 20 0 0 0 0 0 200 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 35
6. satır için W= ( 5 / 1 ) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 15 0 1 1 0 0 5 10 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 200 = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 5 1 1 0 15 0 10 5 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 20 0 Adım3: 3. sütunda pivot w 33 =-1’in altında sıfırlanabilecek yine sadece 5. ve 6. satırlar görünüyor. 5. satır için W= ( 15 / 1 ) 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 5 0 1 1 0 10 1 0 0 1 5 0 0 0 1 1 0 0 0 1 20 0 0 0 0 0 0 0 200 = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 5 1 0 0 5 10 0 0 1 1 1 0 1 15 0 0 1 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 200 0 0 0 0 0 200 6. satır için W= ( 5 / 1 ) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 10 0 1 5 0 1 0 1 1 0 15 0 20 0 1 0 0 0 200 0 0 0 0 0 = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 10 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 0 0 1 5 1 1 1 5 0 15 0 1 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 200 36
W= ( 5 / 1 ) 6. satır için W= ( 10 / 1 ) 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 10 15 5 1 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 200 = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 5 1 0 20 0 1 0 5 20 0 0 0 0 200 0 0 0 = 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 10 1 1 1 20 5 0 0 1 5 20 0 0 0 0 0 0 200 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 20 5 1 0 5 30 0 0 0 0 0 0 0 200 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 37
Adım5: 5. sütunda pivot w 55 =20’nin altında sıfırlanabilecek bir tek 6. satır kalmıştır. 6. satır için W= ( 1 / 4 ) 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 20 1 0 0 5 30 0 0 0 0 0 0 200 = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 d) Bilinmeyenlerin bulunması 28.75* i 65 = -200 i 65 = -6.9565 A 20*i 54 -5*i 65 =0 i 54 = 5 * 6.9565
=-1.7391 A 20 -1*i 52 -1*i 54 +1*i 65 =0 -1*i 43 +1*i 54 =0 -1*i 32 + i 43 =0 1*i 12 +1*i 32 +1*i 52 =0 i 52 = -1*(-1.7391)+1*(-6.9565)=- 5.2174 A i 43 = -1.7391 A i 32 = -1.7391A i 12 = -1*(-1.7391A) -1*(- 5.2174) = 6.9565 1 1 0 0 20 0 1 0 5 0 0 28 .
75 0 0 0 0 0 200 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 38
Sabitler ve ilk değerler girilir:
Matris, Matrisin boyutları
k=1 w(k,k)=0? H i=k+1 E pivot=k pivot=pivot+1 uygun pivot seçip satır değişikliği yap w(pivot,k)=0? H w(k,j) w(pivot,j)uygun pivot için satırların değişimi E katsayi=w(i,k)/w(k,k) j=1 w(i,j)=w(i,j)-katsayi*w(k,j); j > N? H j=j+1 E i > M? H i=i+1 E k > M-1? E Yoketme İşlemi Sonrasında Elde Edilen Matrisi göster H k=k+1
1
Gauss-Yoketme Yönteminin Algoritması (Yok etme yordamı) Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 39
1
Son bilinmeyen: x(M)=w(M,N)/w(M,M); k=M-1 Toplam=0 j=k+1 Toplam=Toplam+w(k,j)*x(j) j> M? E x(k)=1/w(k,k)*(w(k,N)-Toplam) H j=j+1 k < 1? H k=k-1 E Bilinmeyenleri göster (x 1 ,x 2 …..) Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 Gauss-Yoketme Yönt. Algoritması (Bilinmeyenlerin geriye doğru çözümü) 40
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 41
5.2. YİNELEMELİ YÖNTEMLER
• İteratif ve yaklaşık çözümler daha önce anlatılan yerine koyma yöntemlerine bir alternatif oluştururlar.
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 42
5.2.1. Gauss-Siedel Yöntemi
• 3’e 3’lük bir denklem sistemini örnek olarak alalım.
Başlangıç koşulları: x 1 =0; x 2 =0; x 3 =0
x
1
b
1
a x
12 2 0
a x
13 3 0
a
11 0
x
2
b
2
a x
21 1
a x
23 3
a
22
x
3
b
3
a
33
2 n değişken için Gauss-Siedel formülü;
x i k
1
b a i ii
a 11 a 21 a 31 x 1 +a 12 x 1 +a 22 x 1 +a 32 x 2 +a 13 x 3 =b 1 x 2 + a 23 x 3 =b 2 x 2 + a 33 x 3 =b 3
i j
1 1
a a ij ii
Yakınsama koşulu Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007
x j k
1
a ii
j n
i j j n
1
i
1
a ij a a ii ij
43
x k j
Örnek: Gauss-Siedel yöntemini kullanarak aşağıdaki sistemin çözümünü bulun.
• 3 x 1 -0.1 x 2 -0.2 x 3 =7.85
• 0.1 x 1 +7 x 2 - 0.3 x 3 =-19.3
• 0.3 x 1 +0.2x
2 +10 x 3 =71.4
Çözüm: Önce bilinmeyenleri diğerleri cinsinden bulalım. Burada x2 ve x3’ü sıfır varsayarsak
x
1
x
2
x
3
x
2
0.2
x
3
3
x
1
0.3
x
3
x
1
x
2
7
x
1
0.2
x
2
10
x
3 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 3 7 2.616667
2.794524
10 0.2
2.794524
7.005610
44
İkinci iterasyonda aynı süreç tekrarlanarak aşağıdaki değerler hesaplanır:
x
1 2.794524
3 2.990557
Burada
x
2 7 2.499625
x
3 10 0.2
2.499625
7.000291
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 45
Hatayı tahmin etmek için bilinmeyenlerin bağıl yaklaşım yüzde hatalarına bakılır. Örneğin x 1 için:
a
,1 2.990557
2.616667
%100 %12.5
’tir. x 2 ve x 3 için hata tahminleri 2.990557
a
,2 2.499625
%100 %11.8
a
,3 %100 %0.076
7.000291
Bu şekilde tüm hatalar belirlenen bir tolerans sınırı altına düşene kadar iterasyona devam edilir. Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 46
5.2.2. Jacobi Yöntemi
Birinci iterasyon x 1 =(b 1 -a 12 x 2 -a 13 x 3 )/a 11 x 1 =(b 1 -a 12 x 2 -a 13 (a) (b)
Şekil.5.5.
(a) Gauss-Siedel ve (b) Jacobi Yöntemleri x 3 )/a 11 x 2 =(b 2 -a 21 x 1 -a 23 x 3 )/a 22 x 2 =(b 2 -a 21 x 1 -a 23 x 3 )/a 22 x 3 =(b 3 -a 31 x 1 -a 32 x 2 )/a 33 x İkinci iterasyon 3 =(b 3 -a 31 x 1 -a 32 x 2 )/a 33 x 1 =(b 1 -a 12 x 2 -a 13 x 3 )/a 11 x 1 =(b 1 -a 12 x 2 -a 13 x 3 )/a 11 x 2 =(b 2 -a 21 x 1 -a 23 x 3 )/a 22 x 2 =(b 2 -a 21 x 1 -a 23 x 3 )/a 22 x 3 =(b 3 -a 31 x 1 -a 32 x 2 )/a 33 x 3 =(b 3 -a 31 x 1 -a 32 x 2 )/a 33 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 47
Gauss-Siedel yönteminde her x değeri bulundukça, bir sonraki x değerini belirleyen denklemde hemen kullanılır (Şekil.5.5.a). Böylece eğer çözüm yakınsıyorsa her zaman en iyi tahminler kullanılmış olur. Jacobi adı verilen alternatif yöntemde yeni x değerleri toplu olarak eski x değerleri gurubunun denklemde yerine konulmasıyla güncellenir (Şekil.5.5.b). Gauss-Siedel Yönteminin algoritması Şekil.5.6’da, programı ise Şekil.5.7’de verilmiştir. Jacobi yönteminde tek fark, toplam terimleri hesaplanırken, x’lerin son değerleri (x(k+1)), döngü boyunca kendisi haricindeki x’lerin son değerlerine değil, bir önceki değerlerine (x(k)) bağlı olmasıdır. Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 48
Sabitler ve ilk değerler girilir: a(1,2,3), x0(1,2,3), s
a:
a > s? E x önceki x sonraki H Son bulunan x ve değerlerini göster. a
Toplam
1
j i
1 1
a ij a ii x k j
1
Toplam
2
j
n
i
1
a ij a ii x k j x i k
1
b i a ii
Toplam
1
Toplam
2 a , i x i j x i j 1 x i j % 100 E H i >=size(a)? i=i+1 Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 49
Serhat YILMAZ, KocaeliÜn.,Elektronik ve Hab Blm,2007 50