Transcript Slide 1

ÖNERME ANALİZİ
VE
YÜKLEM MANTIĞI
Yılmaz KILIÇASLAN
Daha Yüksek Bir İfade Gücü! (1)

1.
2.
L0 dili yardımıyla bir önceki dersimizdeki (7. ve 8. çıkarımların
yanında) 1. ve 2. çıkarımların geçerliliğini formelleştirebiliriz:
p q
¬p
------q
p q
¬r  ¬ p
¬r
------q
Daha Yüksek Bir İfade Gücü! (2)

3.
4.
İhtiyacımız olan yalnızca aşağıdaki iki çıkarım
şemasıdır:
A B
¬A
------B
AB
A
------B
Daha Yüksek Bir İfade Gücü! (3)

5.
6.
Fakat, 3., 4. ve 5. çıkarımları L0 diline dönüştürmek
geçerliliklerini sağlayan anlamın önemli bir bölümünü
kaybetmemize yol açacaktır. Benzer bir durumu aşağıdaki
örnek üzerinde görebiliriz:
Muhammed Ali, Richard Nixon’dan uzundur.
Richard Nixon, Noam Chomsky’den uzundur.
------------------------------------------------------------Muhammed Ali, Noam Chomsky’den uzundur.
p
q
------r
Önermelerin İçsel Yapısı


7.
L0 dili ile ilgili sorun önermelerin içsel yapısına
erişim olanağı vermemesidir.
İhtiyacımız olan en azından önermelerin ilişkiargüman analizini sağlayabilecek bir yaklaşımdır:
U(m, r)
U(r, n)
------U(m, n)
Ancak, bu bile yeterli değildir. Neden?
L1 Dili (1)

SÖZDİZİM:
A. Temel İfadeler
Kategori
İsimler
Tek-argümanlı yüklemler
Çift-argümanlı yüklemler
Temel İfade
d, n, j, ve m
M, B
K, L
B. Oluşum Kuralları
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Eğer δ bir tek-argümanlı yüklem ve α bir isimse, δ(α) bir cümledir.
Eğer γ bir çift-argümanlı yüklem ve α ve β isim iseler, γ(α, β) bir
cümledir.
Eğer φ bir cümleyse, ¬φ bir cümledir.
Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir.
Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir.
Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir.
Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir.
L1 Dili (2)

SEMANTİK:
A. Temel İfadeler:
[d] = Richard Nixon
[n] = Noam Chomsky
[j] = Jacque Chirac
[m] = Muhammad Ali
[M] = Bütün bıyıklı insanlar kümesi
[B] = Bütün sarışın insanlar kümesi
[K] = Birincinin ikinciyi tanıdığı bütün yaşayan insan çiftleri kümesi
[L] = Birincinin ikinciyi sevdiği bütün yaşayan insan çiftleri kümesi
B. Semantik Kurallar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
δ bir tek-argümanlı yüklem ve α bir isimse, δ(α) ancak ve ancak [α]  [δ] ise doğrudur.
γ bir çift-argümanlı yüklem ve α ve β isim iseler, γ(α, β) ancak ve ancak <[α], [β]>  [γ]
ise doğrudur.
φ bir cümleyse, ¬φ ancak ve ancak φ doğru değilse doğrudur.
φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] ancak ve ancak hem φ hem ψ doğru ise doğrudur.
φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] ancak ve ancak φ veya ψ doğru ise doğrudur.
φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] ancak ve ancak φ yanlış veya ψ doğru ise doğrudur .
φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] ancak ve ancak ya hem φ hem ψ doğru ise yada hem φ
hem ψ yanlış ise doğrudur.
Birinci Dereceden Yüklem Mantığı (1)

5. çıkarıma geri dönecek olursak, bu çıkarımın
geçerliliğine ulaşmamızı sağlayan açıkça ifade
edilmemiş olan fakat bizim genel bir bilgi olarak
sahip olduğumuz aşağıdaki genellemedir:
“Eğer a b’den uzunsa ve b de c’den uzunsa, a c’den uzundur.”

Daha doğrusu, ‘uzun olma’ ilişkisinin geçişken bir
ilişki olduğuna dair sahip olduğumuz bilgi söz
konusu çıkarımı yapmamızı mümkün kılar.
Birinci Dereceden Yüklem Mantığı (2)

‘Uzun olma’ ilişkisinin geçişkenliğinin örneğe konu olan
şahıslarla sınırlı olmadığı, ilişkiye argüman olabilecek bütün
varlıklar için geçerli olduğu açıktır. Yani aşağıdaki türden bir
genelleme yapmamız gerekmektedir:
“Bütün a, b ve c’ler için, eğer a b’den uzunsa ve
c’den uzunsa, a c’den uzundur.”


b de
Bu tür genellemeleri ifade edebilmek için, formel dilimize
değişkenler ve niceleyiciler ekleyeceğiz.
Değişkenlerimiz, değer olarak bireyleri alabilen değişkenler,
niceleyicilerimiz ise varoluş niceleyicisi ve evrensel
niceleyici olacaktır. Bu da bizi, Birinci Dereceden Yüklem
Mantığına götürecektir.
L2 Dili (1)

SÖZDİZİM:
A. Temel İfadeler
Kategori
İsimler
Birey değişkenleri
Tek-argümanlı yüklemler
Çift-argümanlı yüklemler
Temel İfade
d, n, j, ve m
v1, v2, v3, ...
M, U
K, L
B. Oluşum Kuralları
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Eğer δ bir tek-argümanlı yüklem ve α bir isimse, δ(α) bir cümledir.
Eğer γ bir çift-argümanlı yüklem ve α ve β isim iseler, γ(α, β) bir cümledir.
Eğer φ bir cümleyse, ¬φ bir cümledir.
Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir.
Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir.
Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir.
Eğer φ ve ψ cümle iseler, [φ  ψ] bir cümledir.
Eğer φ bir formül, ve u bir değiken ise, u φ bir formüldür.
Eğer φ bir formül, ve u bir değişken ise, u φ bir formüldür.
L2 Dili (2)

SEMANTİK:
A. Temel İfadeler
1.
2.
Eğer u L2’nin bir değişkeni ise, [u]M, g = g(u)’dur.
Eğer  L2’nin mantıksal olmayan bir sabiti ise, []M, g = F()’dır.
B. Semantik Kurallar
1.
2.
3.
Eğer  tek argümanlı bir yüklem ve  bir terim ise,
[()] M, g = []M, g([]M,g)’dir .
Eğer  iki argümanlı bir yüklem,  ve  birer terim ise,
[( ,)] M, g = ([]M, g ([]M,g))([]M,g)’dir .
Eğer  bir formül ise, [] M, g = 1 eğer [] M, g = 0 ise; diğer
durumlarda [] M, g = 0. Benzer yöntem (  ), (  ), ( 
), ve (  ) formülleri için de geçerlidir.
L2 Dili (3)
B. Semantik Kurallar (Devam)
4.
5.
Eğer  bir formül ve u bir değişken ise,
u değişkenine atanan değer dışında diğer her
durumda g ile aynı olan her g’ değer atama
fonksiyonu için [] M,g’ = 1 ise
[u] M,g = 1’dir.
Eğer  bir formül ve u bir değişken ise,
u değişkenine atanan değer dışında diğer her
durumda g ile aynı olan bir g’ değer atama
fonksiyonu için [] M,g’ = 1 ise
[u] M,g = 1’dir.
L2 Dili (4)
C.
1.
2.
M’ye göre L2 formüllerinin doğruluk
tanımlaması olarak aşağıdakiler kabul edilir:
L2’nin herhangi bir  formülü için,
eğer tüm g değer atama fonksiyonları için
[]M, g = 1 ise []M = 1’dir.
L2’nin herhangi bir  formülü için,
eğer tüm g değer atama fonksiyonları için
[]M, g = 0 ise []M = 0’dır.
Birinci Dereceden Yüklem Mantığı
Her köpek bir kediyi kovaladı.
x  köpek ( x)  y  kedi( y )  kovaladı( x, y ) 
y  kedi ( y )  x  köpek ( x)  kovaladı( x, y ) 
14
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 1

 Bağlacı İçin Ekleme Kuralı:
1.
.
.
.
m.
[a/x]φ
.
.
.
n.
xφ E , m
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 2

 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı:
1.
.
.
.
m.
xφ
.
.
.
n.
[a/x]φ
Ç, m
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 3

 Bağlacı İçin Ekleme Kuralı:
1.
.
.
.
m.
[a/x]φ
.
.
.
n.
xφ E, m
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 4

 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı:
1.
m1 .
.
.
.
xφ
.
.
.
m2 .
[a/x]φ  ψ
.
.
.
n.
ψ
E , m1, m2
Birinci Dereceden Yüklem Mantığında Bir İspat
4.
x(akıllı(x))
akıllı(a)
x(akıllı(x))
akıllı(a)
5.
┴
1.
2.
3.
6.
7.
8.
x(akıllı(x))
akıllı(a)  x(akıllı(x))
x(akıllı(x))
Varsayım
Varsayım
Varsayım
Ç , 3
Ç , 2, 4
E
E
Ç , 1, 7
Alıştırmalar - I

E = {1, 2, 3} evrensel kümesine göre
aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini
belirleyiniz.
1.
2.
3.
∃x ∀y [ x2 < y + 1 ]
∀x ∃y [ x2 + y2 < 12 ]
∀x ∀y [ x2 + y2 < 12 ]
Alıştırmalar - II

İfade gücünüzü maksimum tutarak, aşağıdaki cümleleri
birinci-dereceden yüklem mantığı içinde ifade ediniz.
1.
2.
3.
4.
5.
Kimse gülmedi veya alkışlamadı.
Herkes tarafından sevilen bir kişi var.
Eğer Ahmet’in eşekleri varsa, onları döver.
Arabası olmayanın bisikleti vardır.
Herkes, kendisi dışında kimseyi sevmeyen herkesi sever.
Kaynaklar

L.T.F. Gamut (1991), Logic, Language, and
Meaning, Volume 1, The University of
Chicago Press.