Transcript Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Panjang Garis Singgung
Persekutuan Dalam Dua
Lingkaran
Neng Siva Afni Nuraeni 0704318
Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran,
dapat memanfaatkan Teorema Pythagoras.
Misalkan terdapat dua buah lingkaran L1 dan L2 masing-masing
berpusat di P dan Q
Jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = k
A
L1
L2
R
P
d
Q
k
r
B
Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah AB = d
Jari-jari lingkaran yang berpusat di P = R
Jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r
S
d
A
L1
L2
R
P
d
Q
k
r
B
Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh
garis SQ
Garis SQ sejajar AB, sehingga PSQ = PAB = 90 (sehadap)
S
A
L1
R
Perhatikan segi empat ABQS
d
L2
d
Q
P
k
Garis AB//SQ
r
dan AS//BQ
B
S
Jadi, segi empat ABQS merupakan
A
persegi panjang dengan panjang AB = d
dan lebar BQ = r
d
Q
r
B
S
Perhatikan bahwa  PQS siku-siku di titik S
d
A
L1
L2
d
R
Q
k
P
r
B
S
dengan menggunakan teorema pythagoras
diperoleh:
QS
2
QS 
QS 
 PQ  PS
2
PQ  PS
2
2
2
PQ  ( R  r )
2
P
2
Q
S
d
A
L1
R
L2
d
Q
P
QS 
d 
PQ  ( R  r )
2
k  (R  r)
2
k
r
B
2
2
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah:
Dengan:
d = panjang garis singgung persekutuan dalam
d 
k  (R  r)
2
2
k = jarak kedua titik pusat lingkaran
R = jari-jari lingkaran pertama L1
r = jari-jari lingkaran kedua L2
Contoh
Soal
1
Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan 4 cm. Tentukan
panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut
jika jarak antara kedua titik pusatnya adalah 30 cm.
Penyelesaian:
Soal tersebut dapat disajikan dalam gambar berikut.
Diketahui:
R = 4 cm
r = 14 cm
k = 30 cm
Sehingga diperoleh:
d 
k  (R  r)
2
2

30  ( 4  14 )

30  (18 )

900  324

576
2
2
2
2
 24
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua
lingkaran tersebut adalah 24 cm.
Contoh
Soal
2
Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm
dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jarijari salah satu lingkaran adalah 3 cm, tentukan panjang jari-jari
lingkaran yang lain.
Penyelesaian:
Diketahui:
d = 15 cm
k = 17 cm
panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm, maka R = 3 cm
Sehingga diperoleh:
d 
k  (R  r)
2
15 
17  ( 3  r )
2
2
2
15  17  3  r 
2
2
2
225  289  3  r 
3  r 2  289
3  r 2  64
2
 225
3 r  8
r 5
Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 5 cm.
Contoh
Soal
3
Panjang PQ = 20 cm, AB = 25 cm, dan AP = 9 cm. Tentukan
perbandingan luas lingkaran 1 yang berpusat di A dengan luas
lingkaran 2 yang berpusat di B.
Penyelesaian:
PQ 
AB  ( AP  BQ )
20 
25  ( 9  BQ )
2
2
20  25  9  BQ
2
2
400  625  9  BQ
9  BQ 2  625
9  BQ 2  225
9  BQ  15
BQ  6
 400
2
2
2
2
Sehingga diperoleh:
Jari-jari L1 yang berpusat di titik A adalah 9, dan
Jari-jari L2 yang berpusat di titik B adalah 6
Perbandingan Luas L1 dan L2 adalah:
L1 : L2
  r1  :   r2 
2
 9  :   6 
2
2
2
81  : 36 
9:4
Jadi, perbandingan luas L1 dan luas L2 adalah 9:4
Terima Kasih
Neng Siva Afni Nuraeni 0704318