Transcript الزوايا المركزية و الزوايا المحيطية المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي 1 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي زاوية مركزية نشاط تمهيدي : 1 في هذا الشكل الزاوية BÔA رأسها هومركز.

‫الزوايا المركزية‬
‫و الزوايا المحيطية‬
‫المادة ‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى ‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫‪1‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاوية مركزية‬
‫نشاط تمهيدي‪: 1‬‬
‫في هذا الشكل الزاوية ‪ BÔA‬رأسها هومركز الدائرة )‪(C‬‬
‫‪C‬‬
‫و ]‪ [OA‬و ]‪ ]OB‬شعاعان للدائرة )‪.(C‬‬
‫الزاوية ‪BÔA‬تسمى الزاوية المركزية‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪o‬‬
‫التي تحصر القوس ‪AB‬‬
‫حدد زوايا مركزية أخرى في هذا الشكل ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاوية مركزية‬
‫‪ ‬الزاوية ‪BÔD‬زاوية مركزية‬
‫‪C‬‬
‫‪ ‬الزاوية ‪ DÔC‬زاوية مركزية‬
‫‪ ‬الزاوية ‪ BÔC‬زاوية مركزية‬
‫‪ ‬الزاوية ‪ AÔB‬زاوية مركزية‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪o‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ‬الزاوية ‪ AÔC‬زاوية مركزية‬
‫‪3‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاوية مركزية‬
‫لتكن )‪ (C‬دائرة مركزها ‪ O‬و ‪ A‬و ‪ B‬نقطتان من هذه الدائرة‬
‫‪B‬‬
‫‪oO‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AÔB‬تسمى الزاوية المركزية التي تحصر القوس ‪AB‬‬
‫‪4‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاوية محيطية‬
‫نشاط تمهيدي‪: 2‬‬
‫الزاوية ‪ CÂE‬تسمى زاوية محيطية في الدائرة‬
‫‪C‬‬
‫وتحصر القوس ‪CE‬‬
‫الزاوية ‪ CÂE‬تسمى أيضاالزاوية المحيطية‬
‫‪A‬‬
‫‪oO‬‬
‫‪E‬‬
‫المرتبطة بالزاوية المركزية ‪CÔE‬‬
‫‪ -1‬أنشئ زاوية محيطية مرتبطة بالزاوية المركزية ‪CÔE‬‬
‫‪ -2‬أنشئ زاوية محيطية في الدائرة تحصر القوس ‪CE‬‬
‫‪5‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاوية محيطية‬
‫الزاوية المحيطية المرتبطة بالزاوية‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫^‬
‫المركزية ‪ CÔE‬هي ‪.CPE‬‬
‫الزاوية المحيطية التي تحصر‬
‫^‬
‫القوس ‪ CE‬هي ‪.CME‬‬
‫‪A‬‬
‫‪oO‬‬
‫‪E‬‬
‫‪P‬‬
‫‪6‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاوية محيطية‬
‫لتكن )‪ ( C‬دائرة مركزها ‪.O‬‬
‫‪ A‬و ‪ B‬و ‪ M‬نقط من الدائرة )‪,( C‬الزاوية ‪ MÂB‬تسمى زاوية محيطية‬
‫‪A‬‬
‫تحصر القوس ‪.MB‬‬
‫‪M‬‬
‫القوس المحصورة ‪MB‬‬
‫‪.O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪7‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاوية محيطية‬
‫المماس للدائرة )‪ ( C‬في النقطة ‪A‬‬
‫الزاوية المحيطية ‪ TÂB‬تحصر القوس‬
‫‪AB‬‬
‫‪.O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪T‬‬
‫‪8‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاوية محيطية والزاوية‬
‫المركزية المرتبطة بها‬
‫نشاط تمهيدي‪:3‬‬
‫في هذا الشكل نضع ‪ OÂI = a‬و ‪ AĤO = b‬و ‪OÎH = c‬‬
‫‪(1‬حدد عالقة بين ‪ a‬و ‪ b‬و ‪.c‬‬
‫‪(2‬أحسب ‪ AÔI‬بداللة ‪.a‬‬
‫‪(3‬استنتج أن ‪.AÔI = 2AĤI‬‬
‫‪A‬‬
‫‪I‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪O.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪H‬‬
‫‪9‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاوية محيطية والزاوية‬
‫المركزية المرتبطة بها‬
‫‪ OAI(1‬مثلث متساوي الساقين في النقطة ‪O‬‬
‫يعني أن ‪OÂI = AÎO = a‬‬
‫‪ OAH‬مثلث متساوي الساقين في النقطة ‪O‬‬
‫يعني أن ‪OÂH = AĤO = b‬‬
‫‪ OIH‬مثلث متساوي الساقين في النقطة ‪O‬‬
‫يعني أن ‪OÎH = OĤI = c‬‬
‫إذن ‪a+b+b+c+c+a=180° :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪I‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪O.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2a+2b+2c=180°‬‬
‫‪2(a+b+c)=180°‬‬
‫‪a+b+c=90°‬‬
‫‪H‬‬
‫‪10‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاوية محيطية والزاوية‬
‫المركزية المرتبطة بها‬
‫‪ (2‬نعلم أن مجموع قياسات زوايا مثلث هو ‪180°‬‬
‫إذن‬
‫‪AÔI = 180°- 2a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ (3‬لدينا‪:‬‬
‫‪AÔI = 180°- 2a‬‬
‫‪= 2(a + b + c) - 2a‬‬
‫‪= 2a + 2b + 2c - 2a‬‬
‫‪I‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪O.‬‬
‫‪b‬‬
‫)‪=2(b + c‬‬
‫‪= 2AĤI‬‬
‫‪H‬‬
‫‪11‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاوية محيطية والزاوية‬
‫المركزية المرتبطة بها‬
‫نشاط تمهيدي‪:4‬‬
‫في هذا الشكل )‪ (AT‬مماس للدائرة )‪(c‬‬
‫‪O‬‬
‫و ‪ x= AÔB‬و ‪ a = OÂB‬و ‪t =TÂB‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ -1‬أحسب ‪ x‬بداللة ‪a‬‬
‫‪ -2‬بين أن ‪ AÔB = 2TÂB‬أي ‪x = 2t‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪T‬‬
‫‪12‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاوية محيطية والزاوية‬
‫المركزية المرتبطة بها‬
‫‪ OAB -1‬مثلث متساوي الساقين في ‪O‬‬
‫يعني أن زاويتي قاعدته متقايستان‬
‫إذن‬
‫‪x + a + a = 180°‬‬
‫يعني أن ‪x + 2a = 180°‬‬
‫يعني أن‬
‫‪O‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x = 180° - 2a‬‬
‫‪T‬‬
‫‪13‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫‪-2‬‬
‫زاوية محيطية والزاوية‬
‫المركزية المرتبطة بها‬
‫‪x = 180° - 2a‬‬
‫‪= t + a + 90° - 2a‬‬
‫‪O‬‬
‫‪= t + 90°- a‬‬
‫‪=t+t‬‬
‫إذن‬
‫‪AÔB = 2TÂB‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪T‬‬
‫‪14‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاوية محيطية والزاوية‬
‫المركزية المرتبطة بها‬
‫خاصية‪1‬‬
‫قياس زاوية مركزية ‪ BÔM‬يساوي ضعف قياس أية زاوية محيطية‬
‫‪A‬‬
‫‪ BÂM‬تحصر نفس القوس ‪BM‬‬
‫نكتب‬
‫‪BÔM = 2 BÂM‬‬
‫‪O‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪15‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاوية محيطية والزاوية‬
‫المركزية المرتبطة بها‬
‫خاصية‪2‬‬
‫ليكن (∆) المماس للدائرة (‪)C‬عند النقطة ‪A‬‬
‫‪ BÂM‬و ‪ T‬نقطة من (∆) لدينا ‪AÔB = 2 TÂB :‬‬
‫نكتب‬
‫‪B‬‬
‫‪BÔM = 2 BÂM‬‬
‫‪O‬‬
‫‪T‬‬
‫‪A‬‬
‫‪16‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاويتان محيطيتان تحصران‬
‫نفس القوس‬
‫نشاط تمهيدي‪:5‬‬
‫‪I‬‬
‫نعتبر الشكل التالي‪:‬‬
‫‪.O‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫بين أن ‪ AÎB = AĤB‬واستنتج الخاصية‬
‫‪17‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاويتان محيطيتان تحصران‬
‫نفس القوس‬
‫لدينا ‪ AÎB = 2AÔB‬و ‪AĤB = 2AÔB‬‬
‫نستنتج إذن أن ‪AÎB = AĤB‬‬
‫إذن الزاويتان المحيطيتان ‪ AÎB‬و ‪AĤB‬‬
‫‪I‬‬
‫‪.O‬‬
‫‪H‬‬
‫اللتان تحصران نفس القوس ‪AB‬‬
‫هما زاويتان مقايستان ‪AĤB = AÎB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪18‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاويتان محيطيتان تحصران‬
‫نفس القوس‬
‫خاصية‪3‬‬
‫إذا حصرت زاويتان محيطيتان في دائرة نفس القوس‬
‫فإنهما تكونان متقايستين‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫زاويتان محيطيتان تحصران‬
‫نفس القوس‬
‫حالة خاصة‪:‬‬
‫خاصية‪4‬‬
‫ليكن (∆) المماس للدائرة (‪)C‬عند النقطة‬
‫‪B‬‬
‫‪ A‬و ‪ T‬نقطة من (∆) لدينا ‪AÎB = TÂB‬‬
‫‪I‬‬
‫‪O‬‬
‫‪T‬‬
‫‪A‬‬
‫(∆ )‬
‫‪20‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للبحث‬
‫تمرين‪1‬‬
‫لتكن(‪ )C‬دائرة مركزها ‪O‬‬
‫‪ D‬و‪ T‬و‪ C‬و‪ F‬نقط من (‪ )C‬كما هو مبين في الشكل‪.‬‬
‫‪ )1‬حدد قياس الزاوية ‪ˆ T‬‬
‫‪ FD‬و قياس الزاوية ‪DTˆ C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪48°‬‬
‫‪.O‬‬
‫‪T‬‬
‫‪25°‬‬
‫‪ )2‬حدد قياس الزاوية ‪.DÔC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪21‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للبحث‬
‫‪ -1‬لدينا ‪ FDˆ T‬و ‪ TCˆ F‬زاويتان محيطيتان‬
‫في نفس الدائرة تحصران نفس القوس ‪FT‬‬
‫إذن فهما متقايستان‪.‬‬
‫يعني أن‬
‫‪ˆ F  25‬‬
‫‪ˆ T  TC‬‬
‫‪FD‬‬
‫ لدينا ‪ DTˆ C‬و ‪ DFˆ C‬زاويتان محيطيتان‬‫في نفس الدائرة تحصران نفس القوس ‪FT‬‬
‫إذن فهما متقايستان‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪48°‬‬
‫‪.O‬‬
‫‪T‬‬
‫‪25°‬‬
‫‪C‬‬
‫يعني أن ‪DTˆ C  DFˆ C  48‬‬
‫‪22‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للبحث‬
‫‪ DFˆ C -2‬زاوية محيطية مرتبطة‬
‫‪D‬‬
‫بالزاوية المركزية‬
‫إذن‬
‫‪ˆC‬‬
‫‪DO‬‬
‫‪ˆ C  2DFˆ C‬‬
‫‪DO‬‬
‫‪= 2×48°‬‬
‫‪F‬‬
‫‪48°‬‬
‫‪.O‬‬
‫‪T‬‬
‫‪25°‬‬
‫‪C‬‬
‫‪= 96°‬‬
‫‪23‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للبحث‬
‫تمرين‪2‬‬
‫(‪ )L‬دائرة مركزها ‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬نقط من (‪ )L‬حيث )‪(BC‬‬
‫‪.O‬‬
‫يقطع )‪ (AD‬في ‪E‬‬
‫‪ )1‬أحسب ‪AÔC‬‬
‫‪ )2‬أحسب ‪.x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪56°‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪24‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للبحث‬
‫‪ ABˆ C )1‬زاوية محيطية في الدائرة (‪.)L‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫و‪ˆC‬‬
‫‪ AO‬الزاوية المركزية المرتبطة بها‬
‫إذن‬
‫‪x‬‬
‫‪ˆ C  2AB‬‬
‫‪ˆC‬‬
‫‪AO‬‬
‫‪= 2×56°‬‬
‫‪= 112°‬‬
‫‪.O‬‬
‫‪56°‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪25‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للبحث‬
‫‪ ADˆ C (2‬و ‪ ABˆ C‬زاويتان محيطيتان‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫في الدائرة )‪ (L‬تحصران نفس القوس ‪AC‬‬
‫إذن‬
‫‪ˆ C  ABˆ C  56‬‬
‫‪x  AD‬‬
‫‪.O‬‬
‫‪56°‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪26‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للبحث‬
‫تمرين‪3‬‬
‫لنعتبر دائرة )‪ (C‬مركزها ‪ B‬و )'‪ (C‬دائرة مركزها '‪.B‬‬
‫مختلفتان وتتقاطعان في نقطة ‪ K‬كما هو مبين في الشكل‬
‫'‪A‬‬
‫‪K‬‬
‫'‪^ = A'B'C‬‬
‫بين أن ^‬
‫‪ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪B'.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪27‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫لدينا‬
‫‪1‬‬
‫'‪ˆ ' C‬‬
‫‪A ' Kˆ C'  A ' B‬‬
‫‪2‬‬
‫تمارين للبحث‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪AKˆ C  ABˆ C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ˆ C'  AK‬‬
‫وبما أن ‪ˆ C‬‬
‫‪( A' K‬زاويتان متقابلتان با لرأس)‬
‫فإن‬
‫‪1‬‬
‫‪ˆ ' C'  1 AB‬‬
‫‪ˆC‬‬
‫‪A' B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫أي أن‬
‫'‪A‬‬
‫‪ˆ ' C'  AB‬‬
‫‪ˆC‬‬
‫‪A' B‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪B'.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪28‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للبحث‬
‫تمرين ‪4‬‬
‫‪ABC‬مثلث محاط بدائرة )‪(C‬مركزها ‪ O‬وشعاعها ]‪[OM‬‬
‫‪A‬‬
‫عمودي على الضلع ]‪.[BC‬‬
‫أثبت أن نصف المستقيم )‪ [AM‬منصف الزاوية ‪BAˆ C‬‬
‫‪.O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪29‬‬
‫المادة‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الثالثة ثانوي إعدادي‬
‫تمارين للبحث‬
‫‪ OBC‬مثلث متساوي الساقين في ‪O‬‬
‫اإلرتفاع ]‪ [OM‬هو كذلك منصف الزاوية ‪BÔC‬‬
‫‪ˆ M  MO‬‬
‫إذن ‪ˆ C‬‬
‫‪BO‬‬
‫الزاوية المحيطية ‪ BÂM‬والزاوية المركزية ‪BÔM‬‬
‫‪A‬‬
‫تحصران نفس القوس ‪.BM‬‬
‫ˆ ‪1‬‬
‫إذن‬
‫‪BAˆ M  BO‬‬
‫‪M‬‬
‫‪2‬‬
‫الزاوية المحيطية ‪ MÂC‬والزاوية المركزية ‪MÔC‬‬
‫تحصران نفس القوس ‪.MC‬‬
‫ˆ ‪1‬‬
‫ˆ‬
‫إذن‬
‫‪MA C  MO C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ˆ  BOM‬‬
‫ˆ‬
‫‪ MOC‬فإن ‪BÂM  MÂC‬‬
‫وبما أن‬
‫‪.O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫أي أن )‪ [AM‬منصف الزاوية ‪BÂC‬‬
‫‪30‬‬