Transcript المثلثات المتشابهة
Slide 1
المثلثات المتشابهة
المادة :
الرياضيات
المستوى :الثالثة ثانوي إعدادي
1
Slide 2
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
نشـــاط : 1
B
في الشكل التالي.(AB)//(CD) :
30°
A
O
^
أحسب قياس الزاوية .ABO
40°
D
C
^
ثم أحسب قياس الزاوية .AOC
2
Slide 3
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
الحل:
حساب : ABO
B
باعتبار المتوازيين ) (ABو )(CD
30°
O
و القاطع )(CB
^
^
لدينا ABO :و BCDمتبادلتان داخليا
إذن :
A
40°
D
C
^
ABO = 40°
3
Slide 4
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
قاعـــدة 1
إذا كان مستقيمان متوازيين،فإنهما يحددان مع كل قاطع لهما
زاويتين متبادلتين داخليا متقايستين
4
Slide 5
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
^
حساب AOC
في المثلث ABOلدينا
ولدينا :
إذن :
ومنه :
^
^
^
ABO + BOA + OAB = 180°
^
^
^
^
BOA + AOC = 180°
^
^
^
ABO + BOA + OAB = BOA + AOC
^
^
^
AOC = ABO + OAB = 40° + 30° = 70°
5
Slide 6
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
قاعـــدة 2
مجموع قياسات زوايا مثلث تساوي 180°
6
Slide 7
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
نشـــاط : 2
في الشكل التالي.(EF)//(BC) :
و BC = 5و EF = 3و .AF = 8
E
B
A
F
C
أحسب المسافة .AC
7
Slide 8
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
حساب : AC
لدينا:
5
3
BC
AB
EF
AE
AC
AF
E
إذن :
5
3
أي :
AF
A
F
5
3
ومنه :
AC
5
B
C
AC
8
AC 8
3
8
Slide 9
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
نشـــاط : 3
ليكن ABCDمتوازي األضالع.
A
B
بين أن المثلثين BADو BCD
متقايسان.
C
D
9
Slide 10
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
قاعـــدة 3
إذا قايست أضالع مثلث أضالع مثلث آخر فإن المثلثين متقايسان
لدينا:
AB = DC
AD = BC
إذن :المثلثان BADو BCDمتقايسان
BD = BD
10
Slide 11
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
قاعـــدة 4
إذا قايس ضلعان لمثلث والزاوية المحصورة بينهما ،على التوالي ،ضلعين
لمثلث آخر والزاوية المحصورة بينهما فإن هذين المثلثين متقايسان
لدينا:
AB = DC
و
BD = BD
^
^
و ABD = BDC
إذن:
(متبادلتان داخليا)
المثلثان BADو BCDمتقايسان
11
Slide 12
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
قاعـــدة 5
إذا قايست زاويتان لمثلث والضلع المحاذي لهما ،على التوالي ،
زاويتين لمثلث آخر والضلع المحاذي لهما فإن هذين المثلثين متقايسان.
لدينا:
^
^
ADB = DBC
^
^
ABD = BDC
إذن :المثلثان BADو BCDمتقايسان
BD = BD
12
Slide 13
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
مفهوم التشابه
نشاط تمهيدي: 1
O
نعتبر الشكل التالي حيث(AB)//(EF) :
B
A
بين أن كل زاوية من المثلث OAB
E
تقايس زاوية من المثلث .OEF
F
الزوايا المتناظرة في المثلثين OABو OEFمتقايسة.
نقول إن المثلثين OABو OEFمتشابهان
13
Slide 14
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
مفهوم التشابه
O
الحل:
B
^
^
لديناAOB = EOF :
^
^
و OEF = OAB
(متناظرتان)
^
^
OFE = OBA
(متناظرتان)
A
E
F
إذن الزوايا المتناظرة في كل من المثلثين متقايسة
نقول إن المثلثين OABو OEFمتشابهان.
14
Slide 15
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
مفهوم التشابه
سؤال:1
O
هل المثلثان OABو OEFمتقايسان ؟
B
جواب:1
ال ألن األضالع المتناظرة ليست متقايسة.
سؤال:2
A
E
F
متى نقول عن مثلثين أنهما متشابهان؟
جواب:2
إذا كانت زواياهما المتناظرة متقايسة.
15
Slide 16
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
مفهوم التشابه
تعريف
يكون مثلثان متشابهين إذا كانت زواياهما المتناظرة متقايسة
مالحظة
مثلثان متقايسان هما مثلثان متشابهان
16
Slide 17
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
مفهوم التشابه
تمرين تطبيقي1
A
E
في الشكل جانبه :
G
F
N
C
ABCو EFGمثلثان متشابهان
M
B
AM = EF
Mنقطة من القطعة ] [ABبحيث:
الموازي للمستقيم ) (BCوالمار من يقطع ] [ACفي النقطة N
أ -بين أن المثلثين AMNو EFGمتقايسان
ب -إستنتج ان :
FG
BC
EG
AC
EF
AB
17
Slide 18
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
مفهوم التشابه
الحل:
A
E
^
^
أ -لديناAMN = ABC :
G
F
(متناظرتان محددتان بمتوازيين و قاطع)
^ = EFG
^
ABC
و
إذن
N
C
M
B
^ = EFG
^
AMN
^ = FEG
وحيث إن AM = EF :و ^
MAN
فإن AMN :و EFGمتقايسان.
18
Slide 19
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
مفهوم التشابه
E
ب -في المثلث ABC
MN
لدينا
BC
AN
G
AC
A
F
AM
N
C
M
B
AB
وحيث إن AM = EF :و AN = EGو MN = FG
( أضالع متناظرة في مثلثين متقايسن )
فإن:
FG
BC
EG
AC
EF
AB
19
Slide 20
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
مفهوم التشابه
خاصية1
إذا كان ABCو EFGمثلثان متشابهين فإن أطوال أضالعهما
المتناظرة متناسبة.
أي :
k
FG
BC
EG
AC
EF
AB
العدد kيسمى نسبة التشابه
20
Slide 21
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
أ -حالة التشابه األولى
نشاط تمهيدي: 2
ليكن ABCو EFGمثلثين.
^
^
^
^
بحيث ABC = EFGو ACB = EGF
ماذا يمكن ان نقول عن هذين المثلثين ؟
21
Slide 22
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
الجواب:
لدينا:
^
^
و
^
^
^
BAC + ABC + ACB = 180°
^
FEG + EFG + EGF = 180°
إذن:
^
^
^
أي:
^
^
^
وبالتالي:
)BAC = 180° - (ABC + ACB
)BAC = 180° - (EFG + EGF
^
^
BAC = FEG
ومنه فإن المثلثين ABCو EFGمتشابهان
22
Slide 23
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
خاصية2
إذا قايست زاويتان من مثلث زاويتين من مثلث آخر
فإن هذين المثلثين متشابهان.
23
Slide 24
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
ب -حالة التشابه الثانية
نشاط تمهيدي: 3
ليكن ABCو ' A'B'Cمثلثين.
^
^
بحيثABC = A'B'C’:
و
' B 'C
BC
' A 'B
AB
لتكن Mنقطة من القطعة ] [ABبحيث،AM = A´B´ :
الموازي للمستقيم ( )BCالمار من Mيقطع القطعة ] [ACفي .N
-1بين أن AMNو ´A´B´C
متقايسان .
-2إستنتج أن ´ A´B´Cو ABCمتشابهان .
24
Slide 25
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
الجواب:
-1لنبين أن المثلثين AMNو ' A'B'Cمتقايسان
C
A
N
'C
^
^
لدينا :من جهة )1( B'A'C' = BAC:و ')2(AM = A'B
و من جهة اخرى:
حسب المعطيات إذن :
' B 'C
BC
' B 'C
AM
BC
M
'B
' A 'B
AB
'A
B
AB
وفي المثلث ABCلدينا :
MN
BC
AM
AB
إذن :
(3) B'C' = MN
من ( )1و ( )2و ( )3نستنتج أن المثلثين AMNو ' A'B'Cمتقايسان
25
Slide 26
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
حاالت التشابه
-2لنستنتج أن ´ A´B´Cو ABCمتشابهان.
من خالل السؤال السابق نستنتج أن :
^
^
^
^
A'B'C' = AMN
C
A
N
A'C'B' = ANM
'A
'C
(الزوايا المتناظرة في مثلثين متقايسين)
M
^ = NAM
^
'C'A'B
'B
B
^
^
وباعتبار المتوازيين ) (MNو ) (BCوالقاطع ) (ABلدينا ( AMN = ABCزاويتان متناظرتان)
^ = ACB
وباعتبار المتوازيين ) (MNو ) (BCوالقاطع ) (ACلدينا ^
( ANMزاويتان متناظرتان)
26
Slide 27
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
وحسب المعطيات لدينا :
حاالت التشابه
^ = BAC
^
'B'A'C
C
^
^
^
^
^
^
A
N
'C
A'C'B' = ACB
إذن:
M
A'B'C' = ABC
C'A'B' = CAB
'A
'B
B
ومنه فإن ´ A´B´Cو ABCمتشابهان .
27
Slide 28
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
خاصية3
إذا قايست زاوية من مثلث زاوية من مثلث آخر وكانت أطوال
األضالع المحادية لهاتين الزاويتين متناسبة
فإن هذين المثلثين متشابهان.
28
Slide 29
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
نشاط تمهيدي: 4
ليكن ABCمثلثا.
-1أنشئ مثلثا EFGبحيث :
k
FG
BC
EG
AC
EF
AB
-2بين أن المثلثين ABCو EFGمتشابهان.
29
Slide 30
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
الجواب:
A
-1الشكل
G
E
M
N
B
F
C
30
Slide 31
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
حاالت التشابه
-2لنبين أن المثلثين ABCو EFGمتشابهان.
^
^
A'C'B' = ANM
بما أن التماثل المركزي يحافظ على قياس الزوايا فإن :
^ = AMN
^
'A'B'C
^ = NAM
^
'C'A'B
^ = ABC
وباعتبار المتوازيين ) (MNو ) (BCوالقاطع ) (ABلدينا ^
( AMNزاويتان متناظرتان)
^
^
وباعتبار المتوازيين ) (MNو ) (BCوالقاطع ) (ACلدينا ( ANM = ACBزاويتان متناظرتان)
ومنه فإن ABCو EFGمتشابهان ألن زواياهما متقايسان.
تمرين
برهن عن تشابه ABCو EFGباستعمال حالة التشابه االولى والثانية
31
Slide 32
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
حاالت التشابه
تمريــن
برهن عن تشابه ABCو EFGباستعمال حالة التشابه
االولى والثانية
32
Slide 33
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
خاصية4
إذا كانت أطوال أضالع مثلث متناسبة مع أطوال أضالع
مثلث آخر ،فإن هذين المثلثين متشابهان
33
Slide 34
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
مفهوم التشابه
تمرين تطبيقي3
ليكن ABCمثلثا و Eنقطة من ] [BCو Fنقطة من ][AB
بحيث BC=9 :و AC=4,5و AB=10,5و BE=6و BF=7
-1بين أن المثلثين ABCو FBEمتشابهان
-2أحسب EF
34
Slide 35
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
مفهوم التشابه
الحل:
المعطيات:
A
F
4,50
ABCمثلث و )(EF) // (AC
C
9,00 E
B
AB = 10,5 ; AC = 4,5 ; BC = 9
; BF = 7 ; BE = 6
35
Slide 36
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
مفهوم التشابه
-1لنبين أن المثلثين ABCو FBEمتشابهان
لدينا:
و
2
3
10
15
2
3
ولدينا:
A
F
70
105
6
9
7
10, 5
BE
BF
BA
4,50
C
9,00 E
B
BC
^
^
ABE = FBE
إذن ،حسب حالة التشابه 2نستنتج أن ABCو FBEمتشابهان
36
Slide 37
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
مفهوم التشابه
-2لنحسب EF
A
F
لدينا:
إذن
2
3
EF
AC
3
( نسبة التشابه)
4, 5
2
3
أي
4,50
AC
2
C
9,00 E
B
EF
3
EF = 3
37
Slide 38
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
تمريـــن1
إذا علمت أن المثلثين ABCو EFGمتشابهان ،فاكتب مختلف
المتساويات بين األطوال و الزوايا التي تعبر عن ذلك حسب
الحاالت الممكنة.
38
Slide 39
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
A→E
)1إذا كانت النقط C ,B ,Aهي على التوالي متناظرة مع G ,F ,Eونكتب
B→F
C→G
A→E
فإن:
BC
FG
)2إذا كانت
AC
EG
AB
B→F
و
EF
C→G
A→F
A→F
B→E
C→G
فإن:
BC
EG
AC
FG
AB
FE
و
B→E
C→G
39
Slide 40
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
)3إذا كانت
المثلثات المتشابهة
A→E
A→E
B→G
فإن:
GF
C→F
)4إذا كانت
BC
AC
EF
AB
و
EG
C→F
A→F
A→F
B→G
C→E
B→G
فإن:
BC
GE
AC
FE
AB
FG
و
B→G
C→E
40
Slide 41
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
تمريـــن2
EFGو RSTمثلثان متشابهان بحيث ] [EFو ] [EGمتناظران
على التوالي مع ] [RTو ][RS
-1أذكر الزوايا المتناظرة في هذين المثلثين.
-2أحسب RTو RSإذا علمت أن:
ST = 16و FG = 32و EG = 24و .EF = 20
41
Slide 42
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
^
^
^
^
-1الزوايا المتناظرة هي GEF ≡ SRT :
^ ≡ RST
^
EGF
EFG ≡ RTS
T
G
E
-2حساب RTو RS
R
لدينا:
FG
TS
إذن:
ومنه:
2
2
EG
RS
32
EF
RT
24
16
RS
20
أي:
RT
F
S
20
RT
R T 10
و
2
24
RS
أي:
R S 12
42
Slide 43
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
تمريـــن3
ليكن ABCمثلثا.
المنصف الداخلي للزاوية ^
ABCيقطع ACفي .M
Hالمسقط العمودي للنقطة Aعلى ).(BM
Kهي المسقط العمودي للنقطة Cعلى (.)BM
-1بين أن المثلثين BCKو BAHمتشابهان.
-2بين أن المثلثين MCKو MAHمتشابهان.
-3بين أن.BK × MH = BH × MK :
43
Slide 44
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
-1لنبين أن المثلثين BCKو BAHمتشابهان.
A
K
لدينا (BK) :منصف الزاوية ^
ABC
M
H
^ = KBC
إذن ^ :
ABH
^
^
ولدينا BKC = AHB = 90° :
B
C
إذن BCK :و BAHمتشابهان
) -2لنبين أن المثلثين MCKو MAHمتشابهان.
^
^
لدينا AMH=KMC :ألنهما متقابلتان بالرأس
^
^
و MAH = CKMألنهما قائمتان
إذن MCK :و MAHمتشابهان
44
Slide 45
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
-3لنستنتج العالقة .BK × MH = BH × MK :
A
B→B
^ ≈ BAH
لدينا^ :
BCK
و
K
M
C→A
H
K→H
B
C
BH
إذن:
AH
^
BC
ومنه:
CK
^
لدينا MCK ≈ MAH :و
AH
CK
CK
M→M
C→A
إذن:
MH
MK
MH
MK
K→H
من العالقتين ( )1و ( )2نستنتج :
BH
)(1
BH
BK
AC
)(2
CK
وبالتالي.BK × MH = BH × MK :
45
المثلثات المتشابهة
المادة :
الرياضيات
المستوى :الثالثة ثانوي إعدادي
1
Slide 2
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
نشـــاط : 1
B
في الشكل التالي.(AB)//(CD) :
30°
A
O
^
أحسب قياس الزاوية .ABO
40°
D
C
^
ثم أحسب قياس الزاوية .AOC
2
Slide 3
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
الحل:
حساب : ABO
B
باعتبار المتوازيين ) (ABو )(CD
30°
O
و القاطع )(CB
^
^
لدينا ABO :و BCDمتبادلتان داخليا
إذن :
A
40°
D
C
^
ABO = 40°
3
Slide 4
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
قاعـــدة 1
إذا كان مستقيمان متوازيين،فإنهما يحددان مع كل قاطع لهما
زاويتين متبادلتين داخليا متقايستين
4
Slide 5
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
^
حساب AOC
في المثلث ABOلدينا
ولدينا :
إذن :
ومنه :
^
^
^
ABO + BOA + OAB = 180°
^
^
^
^
BOA + AOC = 180°
^
^
^
ABO + BOA + OAB = BOA + AOC
^
^
^
AOC = ABO + OAB = 40° + 30° = 70°
5
Slide 6
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
قاعـــدة 2
مجموع قياسات زوايا مثلث تساوي 180°
6
Slide 7
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
نشـــاط : 2
في الشكل التالي.(EF)//(BC) :
و BC = 5و EF = 3و .AF = 8
E
B
A
F
C
أحسب المسافة .AC
7
Slide 8
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
حساب : AC
لدينا:
5
3
BC
AB
EF
AE
AC
AF
E
إذن :
5
3
أي :
AF
A
F
5
3
ومنه :
AC
5
B
C
AC
8
AC 8
3
8
Slide 9
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
نشـــاط : 3
ليكن ABCDمتوازي األضالع.
A
B
بين أن المثلثين BADو BCD
متقايسان.
C
D
9
Slide 10
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
قاعـــدة 3
إذا قايست أضالع مثلث أضالع مثلث آخر فإن المثلثين متقايسان
لدينا:
AB = DC
AD = BC
إذن :المثلثان BADو BCDمتقايسان
BD = BD
10
Slide 11
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
قاعـــدة 4
إذا قايس ضلعان لمثلث والزاوية المحصورة بينهما ،على التوالي ،ضلعين
لمثلث آخر والزاوية المحصورة بينهما فإن هذين المثلثين متقايسان
لدينا:
AB = DC
و
BD = BD
^
^
و ABD = BDC
إذن:
(متبادلتان داخليا)
المثلثان BADو BCDمتقايسان
11
Slide 12
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
قاعـــدة 5
إذا قايست زاويتان لمثلث والضلع المحاذي لهما ،على التوالي ،
زاويتين لمثلث آخر والضلع المحاذي لهما فإن هذين المثلثين متقايسان.
لدينا:
^
^
ADB = DBC
^
^
ABD = BDC
إذن :المثلثان BADو BCDمتقايسان
BD = BD
12
Slide 13
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
مفهوم التشابه
نشاط تمهيدي: 1
O
نعتبر الشكل التالي حيث(AB)//(EF) :
B
A
بين أن كل زاوية من المثلث OAB
E
تقايس زاوية من المثلث .OEF
F
الزوايا المتناظرة في المثلثين OABو OEFمتقايسة.
نقول إن المثلثين OABو OEFمتشابهان
13
Slide 14
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
مفهوم التشابه
O
الحل:
B
^
^
لديناAOB = EOF :
^
^
و OEF = OAB
(متناظرتان)
^
^
OFE = OBA
(متناظرتان)
A
E
F
إذن الزوايا المتناظرة في كل من المثلثين متقايسة
نقول إن المثلثين OABو OEFمتشابهان.
14
Slide 15
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
مفهوم التشابه
سؤال:1
O
هل المثلثان OABو OEFمتقايسان ؟
B
جواب:1
ال ألن األضالع المتناظرة ليست متقايسة.
سؤال:2
A
E
F
متى نقول عن مثلثين أنهما متشابهان؟
جواب:2
إذا كانت زواياهما المتناظرة متقايسة.
15
Slide 16
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
مفهوم التشابه
تعريف
يكون مثلثان متشابهين إذا كانت زواياهما المتناظرة متقايسة
مالحظة
مثلثان متقايسان هما مثلثان متشابهان
16
Slide 17
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
مفهوم التشابه
تمرين تطبيقي1
A
E
في الشكل جانبه :
G
F
N
C
ABCو EFGمثلثان متشابهان
M
B
AM = EF
Mنقطة من القطعة ] [ABبحيث:
الموازي للمستقيم ) (BCوالمار من يقطع ] [ACفي النقطة N
أ -بين أن المثلثين AMNو EFGمتقايسان
ب -إستنتج ان :
FG
BC
EG
AC
EF
AB
17
Slide 18
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
مفهوم التشابه
الحل:
A
E
^
^
أ -لديناAMN = ABC :
G
F
(متناظرتان محددتان بمتوازيين و قاطع)
^ = EFG
^
ABC
و
إذن
N
C
M
B
^ = EFG
^
AMN
^ = FEG
وحيث إن AM = EF :و ^
MAN
فإن AMN :و EFGمتقايسان.
18
Slide 19
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
مفهوم التشابه
E
ب -في المثلث ABC
MN
لدينا
BC
AN
G
AC
A
F
AM
N
C
M
B
AB
وحيث إن AM = EF :و AN = EGو MN = FG
( أضالع متناظرة في مثلثين متقايسن )
فإن:
FG
BC
EG
AC
EF
AB
19
Slide 20
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
مفهوم التشابه
خاصية1
إذا كان ABCو EFGمثلثان متشابهين فإن أطوال أضالعهما
المتناظرة متناسبة.
أي :
k
FG
BC
EG
AC
EF
AB
العدد kيسمى نسبة التشابه
20
Slide 21
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
أ -حالة التشابه األولى
نشاط تمهيدي: 2
ليكن ABCو EFGمثلثين.
^
^
^
^
بحيث ABC = EFGو ACB = EGF
ماذا يمكن ان نقول عن هذين المثلثين ؟
21
Slide 22
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
الجواب:
لدينا:
^
^
و
^
^
^
BAC + ABC + ACB = 180°
^
FEG + EFG + EGF = 180°
إذن:
^
^
^
أي:
^
^
^
وبالتالي:
)BAC = 180° - (ABC + ACB
)BAC = 180° - (EFG + EGF
^
^
BAC = FEG
ومنه فإن المثلثين ABCو EFGمتشابهان
22
Slide 23
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
خاصية2
إذا قايست زاويتان من مثلث زاويتين من مثلث آخر
فإن هذين المثلثين متشابهان.
23
Slide 24
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
ب -حالة التشابه الثانية
نشاط تمهيدي: 3
ليكن ABCو ' A'B'Cمثلثين.
^
^
بحيثABC = A'B'C’:
و
' B 'C
BC
' A 'B
AB
لتكن Mنقطة من القطعة ] [ABبحيث،AM = A´B´ :
الموازي للمستقيم ( )BCالمار من Mيقطع القطعة ] [ACفي .N
-1بين أن AMNو ´A´B´C
متقايسان .
-2إستنتج أن ´ A´B´Cو ABCمتشابهان .
24
Slide 25
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
الجواب:
-1لنبين أن المثلثين AMNو ' A'B'Cمتقايسان
C
A
N
'C
^
^
لدينا :من جهة )1( B'A'C' = BAC:و ')2(AM = A'B
و من جهة اخرى:
حسب المعطيات إذن :
' B 'C
BC
' B 'C
AM
BC
M
'B
' A 'B
AB
'A
B
AB
وفي المثلث ABCلدينا :
MN
BC
AM
AB
إذن :
(3) B'C' = MN
من ( )1و ( )2و ( )3نستنتج أن المثلثين AMNو ' A'B'Cمتقايسان
25
Slide 26
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
حاالت التشابه
-2لنستنتج أن ´ A´B´Cو ABCمتشابهان.
من خالل السؤال السابق نستنتج أن :
^
^
^
^
A'B'C' = AMN
C
A
N
A'C'B' = ANM
'A
'C
(الزوايا المتناظرة في مثلثين متقايسين)
M
^ = NAM
^
'C'A'B
'B
B
^
^
وباعتبار المتوازيين ) (MNو ) (BCوالقاطع ) (ABلدينا ( AMN = ABCزاويتان متناظرتان)
^ = ACB
وباعتبار المتوازيين ) (MNو ) (BCوالقاطع ) (ACلدينا ^
( ANMزاويتان متناظرتان)
26
Slide 27
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
وحسب المعطيات لدينا :
حاالت التشابه
^ = BAC
^
'B'A'C
C
^
^
^
^
^
^
A
N
'C
A'C'B' = ACB
إذن:
M
A'B'C' = ABC
C'A'B' = CAB
'A
'B
B
ومنه فإن ´ A´B´Cو ABCمتشابهان .
27
Slide 28
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
خاصية3
إذا قايست زاوية من مثلث زاوية من مثلث آخر وكانت أطوال
األضالع المحادية لهاتين الزاويتين متناسبة
فإن هذين المثلثين متشابهان.
28
Slide 29
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
نشاط تمهيدي: 4
ليكن ABCمثلثا.
-1أنشئ مثلثا EFGبحيث :
k
FG
BC
EG
AC
EF
AB
-2بين أن المثلثين ABCو EFGمتشابهان.
29
Slide 30
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
الجواب:
A
-1الشكل
G
E
M
N
B
F
C
30
Slide 31
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
حاالت التشابه
-2لنبين أن المثلثين ABCو EFGمتشابهان.
^
^
A'C'B' = ANM
بما أن التماثل المركزي يحافظ على قياس الزوايا فإن :
^ = AMN
^
'A'B'C
^ = NAM
^
'C'A'B
^ = ABC
وباعتبار المتوازيين ) (MNو ) (BCوالقاطع ) (ABلدينا ^
( AMNزاويتان متناظرتان)
^
^
وباعتبار المتوازيين ) (MNو ) (BCوالقاطع ) (ACلدينا ( ANM = ACBزاويتان متناظرتان)
ومنه فإن ABCو EFGمتشابهان ألن زواياهما متقايسان.
تمرين
برهن عن تشابه ABCو EFGباستعمال حالة التشابه االولى والثانية
31
Slide 32
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
حاالت التشابه
تمريــن
برهن عن تشابه ABCو EFGباستعمال حالة التشابه
االولى والثانية
32
Slide 33
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
حاالت التشابه
خاصية4
إذا كانت أطوال أضالع مثلث متناسبة مع أطوال أضالع
مثلث آخر ،فإن هذين المثلثين متشابهان
33
Slide 34
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
مفهوم التشابه
تمرين تطبيقي3
ليكن ABCمثلثا و Eنقطة من ] [BCو Fنقطة من ][AB
بحيث BC=9 :و AC=4,5و AB=10,5و BE=6و BF=7
-1بين أن المثلثين ABCو FBEمتشابهان
-2أحسب EF
34
Slide 35
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
مفهوم التشابه
الحل:
المعطيات:
A
F
4,50
ABCمثلث و )(EF) // (AC
C
9,00 E
B
AB = 10,5 ; AC = 4,5 ; BC = 9
; BF = 7 ; BE = 6
35
Slide 36
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
مفهوم التشابه
-1لنبين أن المثلثين ABCو FBEمتشابهان
لدينا:
و
2
3
10
15
2
3
ولدينا:
A
F
70
105
6
9
7
10, 5
BE
BF
BA
4,50
C
9,00 E
B
BC
^
^
ABE = FBE
إذن ،حسب حالة التشابه 2نستنتج أن ABCو FBEمتشابهان
36
Slide 37
المثلثات المتشابهة
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
مفهوم التشابه
-2لنحسب EF
A
F
لدينا:
إذن
2
3
EF
AC
3
( نسبة التشابه)
4, 5
2
3
أي
4,50
AC
2
C
9,00 E
B
EF
3
EF = 3
37
Slide 38
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
تمريـــن1
إذا علمت أن المثلثين ABCو EFGمتشابهان ،فاكتب مختلف
المتساويات بين األطوال و الزوايا التي تعبر عن ذلك حسب
الحاالت الممكنة.
38
Slide 39
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
A→E
)1إذا كانت النقط C ,B ,Aهي على التوالي متناظرة مع G ,F ,Eونكتب
B→F
C→G
A→E
فإن:
BC
FG
)2إذا كانت
AC
EG
AB
B→F
و
EF
C→G
A→F
A→F
B→E
C→G
فإن:
BC
EG
AC
FG
AB
FE
و
B→E
C→G
39
Slide 40
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
)3إذا كانت
المثلثات المتشابهة
A→E
A→E
B→G
فإن:
GF
C→F
)4إذا كانت
BC
AC
EF
AB
و
EG
C→F
A→F
A→F
B→G
C→E
B→G
فإن:
BC
GE
AC
FE
AB
FG
و
B→G
C→E
40
Slide 41
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
تمريـــن2
EFGو RSTمثلثان متشابهان بحيث ] [EFو ] [EGمتناظران
على التوالي مع ] [RTو ][RS
-1أذكر الزوايا المتناظرة في هذين المثلثين.
-2أحسب RTو RSإذا علمت أن:
ST = 16و FG = 32و EG = 24و .EF = 20
41
Slide 42
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
^
^
^
^
-1الزوايا المتناظرة هي GEF ≡ SRT :
^ ≡ RST
^
EGF
EFG ≡ RTS
T
G
E
-2حساب RTو RS
R
لدينا:
FG
TS
إذن:
ومنه:
2
2
EG
RS
32
EF
RT
24
16
RS
20
أي:
RT
F
S
20
RT
R T 10
و
2
24
RS
أي:
R S 12
42
Slide 43
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
تمريـــن3
ليكن ABCمثلثا.
المنصف الداخلي للزاوية ^
ABCيقطع ACفي .M
Hالمسقط العمودي للنقطة Aعلى ).(BM
Kهي المسقط العمودي للنقطة Cعلى (.)BM
-1بين أن المثلثين BCKو BAHمتشابهان.
-2بين أن المثلثين MCKو MAHمتشابهان.
-3بين أن.BK × MH = BH × MK :
43
Slide 44
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
-1لنبين أن المثلثين BCKو BAHمتشابهان.
A
K
لدينا (BK) :منصف الزاوية ^
ABC
M
H
^ = KBC
إذن ^ :
ABH
^
^
ولدينا BKC = AHB = 90° :
B
C
إذن BCK :و BAHمتشابهان
) -2لنبين أن المثلثين MCKو MAHمتشابهان.
^
^
لدينا AMH=KMC :ألنهما متقابلتان بالرأس
^
^
و MAH = CKMألنهما قائمتان
إذن MCK :و MAHمتشابهان
44
Slide 45
المادة
:
الرياضيات
المستوى
:
الثالثة ثانوي إعدادي
المثلثات المتشابهة
-3لنستنتج العالقة .BK × MH = BH × MK :
A
B→B
^ ≈ BAH
لدينا^ :
BCK
و
K
M
C→A
H
K→H
B
C
BH
إذن:
AH
^
BC
ومنه:
CK
^
لدينا MCK ≈ MAH :و
AH
CK
CK
M→M
C→A
إذن:
MH
MK
MH
MK
K→H
من العالقتين ( )1و ( )2نستنتج :
BH
)(1
BH
BK
AC
)(2
CK
وبالتالي.BK × MH = BH × MK :
45