المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي 1 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة نشـــاط : 1 B في الشكل التالي .(AB)//(CD) : 30° A O ^ أحسب قياس الزاوية .ABO 40° D C ^ ثم أحسب.
Download ReportTranscript المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي 1 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة نشـــاط : 1 B في الشكل التالي .(AB)//(CD) : 30° A O ^ أحسب قياس الزاوية .ABO 40° D C ^ ثم أحسب.
المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى :الثالثة ثانوي إعدادي 1 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة نشـــاط : 1 B في الشكل التالي.(AB)//(CD) : 30° A O ^ أحسب قياس الزاوية .ABO 40° D C ^ ثم أحسب قياس الزاوية .AOC 2 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة الحل: حساب : ABO B باعتبار المتوازيين ) (ABو )(CD 30° O و القاطع )(CB ^ ^ لدينا ABO :و BCDمتبادلتان داخليا إذن : A 40° D C ^ ABO = 40° 3 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة قاعـــدة 1 إذا كان مستقيمان متوازيين،فإنهما يحددان مع كل قاطع لهما زاويتين متبادلتين داخليا متقايستين 4 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة ^ حساب AOC في المثلث ABOلدينا ولدينا : إذن : ومنه : ^ ^ ^ ABO + BOA + OAB = 180° ^ ^ ^ ^ BOA + AOC = 180° ^ ^ ^ ABO + BOA + OAB = BOA + AOC ^ ^ ^ AOC = ABO + OAB = 40° + 30° = 70° 5 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة قاعـــدة 2 مجموع قياسات زوايا مثلث تساوي 180° 6 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة نشـــاط : 2 في الشكل التالي.(EF)//(BC) : و BC = 5و EF = 3و .AF = 8 E B A F C أحسب المسافة .AC 7 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة حساب : AC لدينا: 5 3 AC AB BC AF AE EF E AC 5 AF 3 إذن : أي : ومنه : B A F C AC 5 8 3 5 3 AC 8 8 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة نشـــاط : 3 ليكن ABCDمتوازي األضالع. A B بين أن المثلثين BADو BCD متقايسان. C D 9 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة قاعـــدة 3 إذا قايست أضالع مثلث أضالع مثلث آخر فإن المثلثين متقايسان لدينا: AB = DC AD = BC إذن :المثلثان BADو BCDمتقايسان BD = BD 10 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة قاعـــدة 4 إذا قايس ضلعان لمثلث والزاوية المحصورة بينهما ،على التوالي ،ضلعين لمثلث آخر والزاوية المحصورة بينهما فإن هذين المثلثين متقايسان لدينا: AB = DC و BD = BD ^ ^ و ABD = BDC إذن: (متبادلتان داخليا) المثلثان BADو BCDمتقايسان 11 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة قاعـــدة 5 إذا قايست زاويتان لمثلث والضلع المحاذي لهما ،على التوالي ، زاويتين لمثلث آخر والضلع المحاذي لهما فإن هذين المثلثين متقايسان. لدينا: ^ ^ ADB = DBC ^ ^ ABD = BDC إذن :المثلثان BADو BCDمتقايسان BD = BD 12 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة مفهوم التشابه نشاط تمهيدي: 1 O نعتبر الشكل التالي حيث(AB)//(EF) : B A بين أن كل زاوية من المثلث OAB E تقايس زاوية من المثلث .OEF F الزوايا المتناظرة في المثلثين OABو OEFمتقايسة. نقول إن المثلثين OABو OEFمتشابهان 13 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة مفهوم التشابه O الحل: B ^ ^ لديناAOB = EOF : ^ ^ و OEF = OAB (متناظرتان) ^ ^ OFE = OBA (متناظرتان) A E F إذن الزوايا المتناظرة في كل من المثلثين متقايسة نقول إن المثلثين OABو OEFمتشابهان. 14 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة مفهوم التشابه سؤال:1 O هل المثلثان OABو OEFمتقايسان ؟ B جواب:1 ال ألن األضالع المتناظرة ليست متقايسة. سؤال:2 A E F متى نقول عن مثلثين أنهما متشابهان؟ جواب:2 إذا كانت زواياهما المتناظرة متقايسة. 15 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي مفهوم التشابه تعريف يكون مثلثان متشابهين إذا كانت زواياهما المتناظرة متقايسة مالحظة مثلثان متقايسان هما مثلثان متشابهان 16 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة مفهوم التشابه تمرين تطبيقي1 A E في الشكل جانبه : G C ABCو EFGمثلثان متشابهان Mنقطة من القطعة ] [ABبحيث: F N M B AM = EF الموازي للمستقيم ) (BCوالمار من يقطع ] [ACفي النقطة N أ -بين أن المثلثين AMNو EFGمتقايسان EF EG FG ب -إستنتج ان : AB AC BC 17 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي مفهوم التشابه الحل: A E ^ ^ أ -لديناAMN = ABC : G F (متناظرتان محددتان بمتوازيين و قاطع) ^ = EFG ^ ABC و إذن N C M B ^ = EFG ^ AMN ^ = FEG وحيث إن AM = EF :و ^ MAN فإن AMN :و EFGمتقايسان. 18 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي مفهوم التشابه E ب -في المثلث ABC G A F AM AN MN AB AC BC لدينا N C M B وحيث إن AM = EF :و AN = EGو MN = FG ( أضالع متناظرة في مثلثين متقايسن ) فإن: EF EG FG AB AC BC 19 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي مفهوم التشابه خاصية1 إذا كان ABCو EFGمثلثان متشابهين فإن أطوال أضالعهما المتناظرة متناسبة. أي : EF EG FG k AB AC BC العدد kيسمى نسبة التشابه 20 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي حاالت التشابه أ -حالة التشابه األولى نشاط تمهيدي: 2 ليكن ABCو EFGمثلثين. ^ ^ ^ ^ بحيث ABC = EFGو ACB = EGF ماذا يمكن ان نقول عن هذين المثلثين ؟ 21 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي حاالت التشابه الجواب: لدينا: ^ ^ و ^ ^ ^ BAC + ABC + ACB = 180° ^ FEG + EFG + EGF = 180° إذن: ^ ^ ^ أي: ^ ^ ^ وبالتالي: )BAC = 180° - (ABC + ACB )BAC = 180° - (EFG + EGF ^ ^ BAC = FEG ومنه فإن المثلثين ABCو EFGمتشابهان 22 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي حاالت التشابه خاصية2 إذا قايست زاويتان من مثلث زاويتين من مثلث آخر فإن هذين المثلثين متشابهان. 23 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي حاالت التشابه ب -حالة التشابه الثانية نشاط تمهيدي: 3 ليكن ABCو ' A'B'Cمثلثين. ^ ^ بحيثABC = A'B'C’: 'A 'B' B'C و AB BC لتكن Mنقطة من القطعة ] [ABبحيث،AM = A´B´ : الموازي للمستقيم ( )BCالمار من Mيقطع القطعة ] [ACفي .N -1بين أن AMNو ´A´B´C متقايسان . -2إستنتج أن ´ A´B´Cو ABCمتشابهان . 24 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي حاالت التشابه الجواب: -1لنبين أن المثلثين AMNو ' A'B'Cمتقايسان C A N 'C ^ ^ لدينا :من جهة )1( B'A'C' = BAC:و ')2(AM = A'B و من جهة اخرى: ' A 'B ' B 'C AB BC حسب المعطيات إذن : ' AM B 'C AB BC AM MN إذن : وفي المثلث ABCلدينا : AB BC 'A M 'B B (3) B'C' = MN من ( )1و ( )2و ( )3نستنتج أن المثلثين AMNو ' A'B'Cمتقايسان 25 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة حاالت التشابه -2لنستنتج أن ´ A´B´Cو ABCمتشابهان. من خالل السؤال السابق نستنتج أن : ^ ^ ^ ^ A'B'C' = AMN C A N A'C'B' = ANM 'A 'C (الزوايا المتناظرة في مثلثين متقايسين) M ^ = NAM ^ 'C'A'B 'B B ^ ^ وباعتبار المتوازيين ) (MNو ) (BCوالقاطع ) (ABلدينا ( AMN = ABCزاويتان متناظرتان) ^ = ACB وباعتبار المتوازيين ) (MNو ) (BCوالقاطع ) (ACلدينا ^ ( ANMزاويتان متناظرتان) 26 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي وحسب المعطيات لدينا : حاالت التشابه ^ = BAC ^ 'B'A'C C ^ ^ ^ ^ ^ ^ A N 'C A'C'B' = ACB إذن: M A'B'C' = ABC C'A'B' = CAB 'A 'B B ومنه فإن ´ A´B´Cو ABCمتشابهان . 27 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي حاالت التشابه خاصية3 إذا قايست زاوية من مثلث زاوية من مثلث آخر وكانت أطوال األضالع المحادية لهاتين الزاويتين متناسبة فإن هذين المثلثين متشابهان. 28 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي حاالت التشابه نشاط تمهيدي: 4 ليكن ABCمثلثا. -1أنشئ مثلثا EFGبحيث : EF EG FG k AB AC BC -2بين أن المثلثين ABCو EFGمتشابهان. 29 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي حاالت التشابه الجواب: A -1الشكل G E M N B F C 30 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة حاالت التشابه -2لنبين أن المثلثين ABCو EFGمتشابهان. ^ ^ A'C'B' = ANM بما أن التماثل المركزي يحافظ على قياس الزوايا فإن : ^ = AMN ^ 'A'B'C ^ = NAM ^ 'C'A'B ^ = ABC وباعتبار المتوازيين ) (MNو ) (BCوالقاطع ) (ABلدينا ^ ( AMNزاويتان متناظرتان) ^ ^ وباعتبار المتوازيين ) (MNو ) (BCوالقاطع ) (ACلدينا ( ANM = ACBزاويتان متناظرتان) ومنه فإن ABCو EFGمتشابهان ألن زواياهما متقايسان. تمرين برهن عن تشابه ABCو EFGباستعمال حالة التشابه االولى والثانية 31 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة حاالت التشابه تمريــن برهن عن تشابه ABCو EFGباستعمال حالة التشابه االولى والثانية 32 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي حاالت التشابه خاصية4 إذا كانت أطوال أضالع مثلث متناسبة مع أطوال أضالع مثلث آخر ،فإن هذين المثلثين متشابهان 33 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة مفهوم التشابه تمرين تطبيقي3 ليكن ABCمثلثا و Eنقطة من ] [BCو Fنقطة من ][AB بحيث BC=9 :و AC=4,5و AB=10,5و BE=6و BF=7 -1بين أن المثلثين ABCو FBEمتشابهان -2أحسب EF 34 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة مفهوم التشابه الحل: المعطيات: A F 4,50 ABCمثلث و )(EF) // (AC C 9,00 E B AB = 10,5 ; AC = 4,5 ; BC = 9 ; BF = 7 ; BE = 6 35 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي مفهوم التشابه -1لنبين أن المثلثين ABCو FBEمتشابهان لدينا: و ولدينا: 2 10 70 BF 7 3 15 BA 10, 5 105 BE 6 2 BC 9 3 A F 4,50 C 9,00 E B ^ ^ ABE = FBE إذن ،حسب حالة التشابه 2نستنتج أن ABCو FBEمتشابهان 36 المثلثات المتشابهة المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي مفهوم التشابه -2لنحسب EF A F لدينا: إذن أي EF 2 AC 3 4,50 ( نسبة التشابه) 2 2 AC 4, 5 3 3 3 C 9,00 E B EF EF = 3 37 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة تمريـــن1 إذا علمت أن المثلثين ABCو EFGمتشابهان ،فاكتب مختلف المتساويات بين األطوال و الزوايا التي تعبر عن ذلك حسب الحاالت الممكنة. 38 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة A→E )1إذا كانت النقط C ,B ,Aهي على التوالي متناظرة مع G ,F ,Eونكتب B→F C→G A→E فإن: )2إذا كانت AB AC BC EF EG FG و B→F C→G A→F A→F B→E C→G فإن: AB AC BC FE FG EG و B→E C→G 39 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي )3إذا كانت المثلثات المتشابهة A→E A→E B→G فإن: C→F )4إذا كانت AB AC BC EG EF GF و C→F A→F A→F B→G C→E B→G فإن: AB AC BC FG FE GE و B→G C→E 40 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة تمريـــن2 EFGو RSTمثلثان متشابهان بحيث ] [EFو ] [EGمتناظران على التوالي مع ] [RTو ][RS -1أذكر الزوايا المتناظرة في هذين المثلثين. -2أحسب RTو RSإذا علمت أن: ST = 16و FG = 32و EG = 24و .EF = 20 41 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة ^ ^ ^ ^ -1الزوايا المتناظرة هي GEF ≡ SRT : ^ ≡ RST ^ EGF EFG ≡ RTS T G E -2حساب RTو RS R لدينا: EF EG FG RT RS TS إذن: 20 24 32 2 RT RS 16 20 2 أيRT 10 : RT ومنه: F و S 24 2 RS أي: RS 12 42 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة تمريـــن3 ليكن ABCمثلثا. المنصف الداخلي للزاوية ^ ABCيقطع ACفي .M Hالمسقط العمودي للنقطة Aعلى ).(BM Kهي المسقط العمودي للنقطة Cعلى (.)BM -1بين أن المثلثين BCKو BAHمتشابهان. -2بين أن المثلثين MCKو MAHمتشابهان. -3بين أن.BK × MH = BH × MK : 43 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة -1لنبين أن المثلثين BCKو BAHمتشابهان. A K لدينا (BK) :منصف الزاوية ^ ABC M H ^ = KBC إذن ^ : ABH ^ ^ ولدينا BKC = AHB = 90° : B C إذن BCK :و BAHمتشابهان ) -2لنبين أن المثلثين MCKو MAHمتشابهان. ^ ^ لدينا AMH=KMC :ألنهما متقابلتان بالرأس ^ ^ و MAH = CKMألنهما قائمتان إذن MCK :و MAHمتشابهان 44 المادة : الرياضيات المستوى : الثالثة ثانوي إعدادي المثلثات المتشابهة -3لنستنتج العالقة .BK × MH = BH × MK : A B→B ^ ≈ BAH لدينا^ : BCK و K C→A M H K→H B C BC BH CK AH إذن: ^ ^ لدينا MCK ≈ MAH :و ومنه: BH AH CK CK )(1 M→M C→A إذن: AC MH )( 2 CK MK K→H BH MH من العالقتين ( )1و ( )2نستنتج : وبالتالي.BK × MH = BH × MK : BK MK 45