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Parallélogrammes
Remarque
1) Parallélogrammes
2) Parallélogrammes particuliers
3) Aire d’un parallélogramme


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Remarque
B

B

A
A
C
D

ABCD est un quadrilatère
non croisé.

C
D

ABDC est un quadrilatère
croisé.

Dans la suite, nous ne parlerons que de
quadrilatères non croisés.


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1) Parallélogrammes
a) Définition

b) Propriétés

c) Comment reconnaître un parallélogramme


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a) Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère
dont les côtés opposés sont parallèles.


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b) Propriétés

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors
ses diagonales ont le même milieu et ce point
est le centre de symétrie de ce parallélogramme.


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A

B

O

D

O est le centre de symétrie, donc :

C

AB = CD
BC = AD
ABC = CDA
DAB = BCD

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :
• ses angles opposés ont la même mesure;
• ses côtés opposés sont de même longueur.


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c) Comment reconnaître un parallélogramme
Les réciproques de ces propriétés sont vraies.
Exemple :

Si un quadrilatère a ses diagonales
qui se coupent en leur milieu, alors
c’est un parallélogramme.

A

B

Si :
O milieu de [AC] et de [BD].
O

D

Alors :
C

ABCD est un parallélogramme.


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• Si un quadrilatère a
ses côtés opposés égaux, alors c’est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère a
2 côtés opposés parallèles et égaux, alors c’est un parallélogramme..
• Si un quadrilatère a
ses angles opposés de même mesure, alors c’est un parallélogramme.

Ces réciproques peuvent permettre de :
• tracer un parallélogramme ;
• reconnaître un parallélogramme ;
• démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.


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2) Parallélogrammes particuliers

a) Le rectangle
b) Le losange

c) Le carré


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a) Le rectangle
• Propriétés

Si un quadrilatère est un rectangle, alors :
• il a quatre angles droits ;
• c’est un parallélogramme ;
• ses diagonales ont la même longueur ( et le même milieu ) ;
• il a un centre de symétrie et deux axes de symétrie
(médiatrices des côtés).


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• Comment reconnaître un rectangle
Si un parallélogramme a un angle
droit, alors c’est un rectangle.
Si :
EFGH est un
parallélogramme

dont l' angle Fˆ est droit,

Alors :
EFGH est un rectangle.


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Si un parallélogramme a ses diagonales
de même longueur, alors c’est un
rectangle.
Si :
• AC = BD et
• [AC] et [BD] ont le même milieu,

Alors :
ABCD est un rectangle.


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b) Le losange
• Propriétés

Si un quadrilatère est un losange, alors :
• il a 4 côtés de même longueur ;
• c’est un parallélogramme ;
• ses diagonales sont perpendiculaires ( et ont le même milieu ) ;
• il a un centre de symétrie et deux axes de symétrie (ses
diagonales).


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• Comment reconnaître un losange
Si un parallélogramme a 2 côtés
consécutifs de même longueur,
alors c’est un losange.
Si :
EFGH est un parallélogramme et EF = FG,

Alors :
EFGH est un losange.


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Si un parallélogramme a ses diagonales
perpendiculaires, alors c’est un losange.

Si :
• AC  BD et
• [AC] et [BD] ont le même milieu,

Alors :
ABCD est un losange.


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c) Le carré
• Propriétés

Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
Il a donc toutes les propriétés de ces deux quadrilatères.


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• Comment reconnaître un carré
Pour démontrer qu’un quadrilatère
est un carré, il faut prouver que
c’est à la fois un rectangle et un
losange.
Si :
• [AC] et [BD] ont le même milieu;
• AC = BD;
• (AC)  (BD).

Alors :
ABCD est un carré.


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3) Aire d’un parallélogramme
a) Exemple

b) Formule


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a) Exemple
Soit un parallélogramme tel que :

Côté = 1O cm
Hauteur = 5 cm

En le découpant suivant les pointillés, on obtient la figure
suivante :

C’est un rectangle.
Son aire est 5  10 = 50 cm ².
Donc l’aire de ce parallélogramme est de 5O cm ².


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b) Formule

Côté = c

Hauteur = h

Pour calculer l’aire d’un parallélogramme, on multiplie la
longueur d’un côté par la hauteur relative à ce côté.

Aire d’un parallélogramme
= côté x hauteur correspondante
=cxh