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Classe de Tronc commun
Géométrie vectorielle et analytique
1. Construire
1. On donne deux points A et B. Placer C tel que
2. Exprimer
uuur
BC
en fonction de
3. Placer D tel que
de
uuur
2 uuur
AD = − AB .
3
uuur
AB
puis
uuur
AC
Exprimer
uuur 3 uuur
AC = AB .
4
en fonction de
uuur
CD
uuur
BC .
en fonction de
uuur
AB
et
uuur
BD
en fonction
uuur
BC .
2. Triangle facile
Soit un triangle ABC.
1. Placer les points D et E définis par
uuur
uuur uuur
AD = 2 AB + AC
et
uuur 1 uuur
BE = BC .
3
2. Montrer que les points A, D, E sont alignés.
3. Parallélogramme - 1
On considère un triangle ABC et les points D, E, F, G tels que :
uuur uur r uuur 1 uuur
EA + EB = 0 , BF = BC ,
2
uuur uuur
CD = AB ,
G milieu de [BD].
1. Faire la figure.
2. Montrer que EBGF est un parallélogramme.
3. La droite (EG) coupe (BF) en I, (CD) en J et (AC) en K. Montrer que
uuur uuur uuur
JG = GE = EK .
4. Parallélogramme - 2
Soit
un
parallélogramme
ABCD.
On
désigne
par O
le
centre
du
parallélogramme, E le symétrique de A par rapport à B, F le symétrique de B par
rapport à C, G le symétrique de C par rapport à D, H le symétrique de D par
rapport à A.
Exprimer les vecteurs
uuur
uuur
HE et GF à
l’aide des vecteurs
uuur
uuur
AB et AD .
5. Parallélogramme - 3
ABCD est un parallélogramme de centre O. E le point du segment [CD] tel que
uuur
uuur
CD = 3CE
et F donné par
uuur 3 uuur
AF = AE .
2
1. Démontrer que les points B, C et F sont alignés.
2. Construire le point G défini par
uuur 1 uuur
AG = AB .
3
Démontrer que les points E, O et G
sont alignés.
3. Construire les points H et K définis par
uuuur uuur
AH = BD
et
uuur uuur
CK = BD .
Montrer que D est
le milieu de [AK] et de [CH].
uuuur
uuur
4. M, N, P et Q sont les points définis par : AM = 1 AB ,
3
uuuur 1 uuur
DQ = DA .
3
uuur 1 uuur
uuur 1 uuur
BN = BC , CP = CD ,
3
3
Prouver que MNPQ est un parallélogramme.
Parallélogramme - 4
Soit un parallélogramme ABCD.
uuuur
uuur uur r uuur
5 uuur
3 uuur
2 EA + 3 EB = 0 , BF = − BC , et DH = − DA .
4
2
uuur
uuur
fonction des vecteurs AB et BC .
1. Construire les points E, F et H tels que
uuur
uuur
2. Déterminer les vecteurs EF et EH en
uuur
uuur
3. Trouver k réel tel que EH = kEF .Que peut-on en déduire pour les points E, F et
H?
6. Parallélogramme - 5
Soit ABCD un parallélogramme.
1. Placer les points I, J, K et L définis par :
uuur
1 uuur
DL = − AD .
3
uuur 1 uuuur
uur 1 uuur
uuur 2 uuur
DI = DC , BJ = BC , AK = AB ,
4
4
3
uur
2. a. En utilisant la relation de Chasles, exprimer IJ en fonction de
uuur
uuur
uuur
KL en fonction de AB et AD .
b. En déduire que les droites ( IJ ) et ( KL ) sont parallèles.
uuur
uuur
AB et AD ,
puis
7. Parallélisme
uuur
uuur
On donne un triangle ABC et les trois points D, E et F définis par : AD = 3 AB ,
uuur
uuur uuur
uuur
CF = 2CB , AE = −3 AC .
1. Prouver que D,E et F sont alignés.
uuur
uuur
2. On donne le point G tel que : BG = 2 BC . On appelle le point I le milieu de [AC].
Prouver que (DG) est parallèle à (BI).
3. On donne les points H et K tels que
uuur 2 uuur
CH = CA
3
et
uuur 1 uuur
BK = BA .
3
Prouver que (HK)
est parallèle à (BI).
8. Alignement - 1
Soit un parallélogramme non aplati ABCD, E et F deux points de la droite (BD).
uuuur uuur uuur
uuuur uuur uuur
1. Placer les points G et H définis par AG = AB + AE et AH = AB + AF .
2. Montrer que les points C, G et H sont alignés.
uuur
uuur
uuur
uuur
3. On pose BE = x.BD et BF = y.BD Comment choisir les réels x et y pour que :
a. G appartienne à (AB) et H à (DC).
b. C soit le milieu de [GH].
c. G soit le milieu de [CH].
d. H soit le milieu de [CG].
9. Alignement - 2
Soit le rectangle ABCD de centre O, I le milieu du segment [AD].
1. Placer le point J tel que
uur 1 uur
IJ = IB .
3
2. Il semble que les points A, J et C soient alignés. Montrons le en utilisant deux
Démontrer que les points A, J et C sont alignés.
10. Alignement - 3
On donne un triangle ABC.
uuur
uur r
1. Placer le point E tel que EA + 2 EB = 0 (on cherchera d'abord une relation du type
uuur
uuur
AE = k AB ).
uuur
uur
uur
2. F un point quelconque. Montrer que FA + 2 FB = 3 FE . Placer le point H tel que
uuur
uuur
uuuur r
HA + 2 HB + 3 HC = 0 .
3. Quelle conjecture peut-on faire pour les points C, E et H ?. La démontrer.
11. Alignement - 4
uuur
uuur
Soit ABC un triangle, I le milieu de [BC], D et E les points définis par : CD = 1 AB
2
et
uuur 1 uuur
BE = AC .
2
Soit J le milieu de [DE]. Faire une figure.
uuur uuur
uur
uuur uuur uur
1. Montrer l'égalité BE + CD = AI , d'autre part l'égalité BE + CD = 2 IJ .
2. Déduire des questions précédentes que A, I et J sont alignés.
3. Soit F le point défini par
uuur 3 uur
AF = AI .
4
Montrer que F est le milieu de [AJ].
12. Construction de vecteurs
r r
Dans un repère orthonormal ( O ; i , j ) on se donne les vecteurs
r r
r
v = −i + 2 j .
r
r
r
u = 2i + 3 j
et
r
r r
r r r
r
1r
u + 3 v ; − 2u − v ; − 3 u − 2 v ; u + 2 v .
2
r r
2. Construire le vecteur wr = 2ur − vr + 3 i − j . Quelles sont ses coordonnées
r r
une expression vectorielle simple de wr en fonction de i et j .
1. Construire
r
u
et
r
v
puis les vecteurs
? Donner