Transcript DM n° 9 : Sujet AA _ Correction

DM n° 9 : Sujet AA _ Correction
Le petit chaperon rouge
Le petit chaperon rouge rend visite à sa grand-mère dans les bois. Il doit d'abord se rendre au village
pour récupérer un pot de beurre puis passer par la clairière pour faire un bouquet de fleurs.
Dans un repère (O,I,J), on a représenté la maison du petit chaperon rouge par le point D(-1;-2), le
village par le point V(2;1), la clairière par le point C(3;0) et enfin la maison de mère-grand par le point
M(0;-3).
1) Faire une figure qui sera complétée au fur et à mesure.
2) a) Calculer les coordonnées des vecteurs de déplacements du petit chaperon rouge :
⃗ , CM
⃗ et DM
⃗ .
VC
⃗ ,
DV
⃗
DV
⃗ (2−(−1); 1−(−2))⇔ DV
⃗ (3 ; 3) .
a pour coordonnées (x V −x D ; y V − y D )⇔ DV
⃗ (1 ;−1) , CM
⃗ (−3 ;−3) et DM
⃗ (1 ;−1) .
De la même manière on trouve VC
b) Calculer les distances DV, VC, CM parcourues par le petit chaperon rouge depuis le village
jusqu'à la maison de sa mère-grand, ainsi que la distance DM correspondant au trajet direct.
DV =√ ( x V −x D ) ²+( y V − y D ) ² (chapitre 2). D'où
DV = √ (2−(−1))²+(1−(−2))²=√ 3²+3²=√ 9+9=√18=3 √ 2 . De la même manière on trouve
VC =√ (1) ²+(−1) ²=√ 2 , CM =√ (−3) ²+(−3)²=√ 18=3 √ 2 et DM =√(1)²+(−1)²=√ 2 .
c) Montrer que le quadrilatère DVCM sur lequel chemine le chaperon rouge, est un rectangle.
⃗ (ou VC
⃗ et
⃗ =−CM
⃗
⃗ = DM
⃗ ) donc DV
⃗ et CM
D'après la question 2)a) on a DV
(ou VC
⃗
DM ) sont colinéaires. D'après la propriété du cours, DVCM est un parallélogramme.
(ou D'après la question 2)b) on a DV=CM et VC=DM. Or si un quadrilatère a ses côtés
opposés de même longueur alors c'est un parallélogramme. Donc DVCM est un
parallélogramme.)
Pour prouver qu'un parallélogramme est un rectangle, soit on vérifie que les diagonales ont la
même mesure, soit on vérifie qu'on a un angle droit (en utilisant le sens indirect du théorème
de Pythagore).
Exemples : → DC =√ (3−(−1))²+(0−(−2))²=√ 4²+ 2²= √16+ 4= √ 20=2 √ 5 et
VM =√(0−2)²+((−3)−1) ²=√ (−2)²+(−4)²=√ 4+ 16=√ 20=2 √ 5 . Donc DC =VM . Les
diagonales du parallélogramme DVMC ont la même mesure donc DVMC est un rectangle.
→ DC =2 √ 5 . On a d'une part (DC ) ²=(2 √ 5)²=20 et d'autre part
(DM ) ²+( MC )²=( √ 2) ²+(3 √ 2) ²=2+18=20. (DC ) ²=( DM ) ² +(MC ) ² . Donc d'après Pythagore,
le triangle DMC est rectangle en M. Le parallélogramme DVMC possède un angle droit en M
donc DVMC est un rectangle.
Le grand méchant loup fait peur au petit chaperon rouge. Afin de sécuriser la forêt, un chasseur part
à la recherche de la tanière du loup. Une vielle sorcière lui dit qu'elle se situe au point T qui vérifie la
⃗ =2 CM
⃗ −VM
⃗ + 3 DV
⃗ . On cherche maintenant les coordonnées du point T.
relation CT
2
3) a) Placer le point T sur la figure en laissant les traits de construction apparents.
⃗ .
b) Calculer les coordonnées de CT
⃗ (−3 ;−3) donc 2 CM
⃗ (−6 ;−6) . De même DV
⃗ (3 ; 3) donc
D'après la question 2)a) on a CM
3 ⃗ 3
3
3 ⃗ 9 9
DV ( ∗3 ; ∗3)⇔ DV
( ; ) .
2
2
2
2
2 2
⃗
⃗
⃗ ( 2 ; 4) .
VM (0−2 ;−3−1)⇔ VM (−2 ;−4) donc −VM
⃗ (−6+ 9 + 2 ;−6+ 9 +4)⇔ CT
⃗ (1 ; 5) .
Donc CT
2
2
2 2
c) En déduire les coordonnées de T.
⃗ ( x T −x C ; yT − yC )⇔ CT
⃗ ( x T −3 ; y T −0)⇔ CT
⃗ (x T −3 ; y T ) et
CT
Donc
x t−3=
Figure :
5
y t=
2
1
2
7
2 . Donc
5
y t=
2
xt =
T (3,5 ; 2,5) .
⃗ ( 1 ; 5 ) d'après la question 3)b).
CT
2 2