Transcript Diaporama_Math_Techno_1 - Mathématiques académie de Rouen

Scénario Mathématiques – Technologie
autour de la démarche d’investigation
Abdelkébir Assrir
Francis Bernard
Académie de Rouen
Université d’été de mathématiques
« Mathématiques et technologies »
25 août 2011
[email protected] / [email protected]
Découverte de différentes structures
dont la structure en treillis.
Observation d’un
objet technique
construit en
structure treillis.
Étude d’une famille de cadres ayant
une forme quadrilatère.
Modélisation mathématique de la situation.
Comment rendre
le cadre
rectangulaire et
indéformable ?
Quel est le parallélogramme qui présente
une aire maximale ?
Programme
T
Découverte de différentes structures dont la structure en treillis.
T
Observation d’un objet technique construit en structure treillis.
M
Étude d’une famille de cadres ayant une forme quadrilatère.
M
Modélisation mathématique de la situation.
T
Comment rendre le cadre rectangulaire et indéformable ?
M
Quel est le parallélogramme qui présente une aire maximale ?
Découverte de différentes structures
dont la structure en treillis.
Observation d’un
objet technique
construit en
structure treillis.
Étude d’une famille de cadres ayant
une forme quadrilatère.
Pré-requis
Définition du parallélogramme:
quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles
deux à deux.
Modélisation mathématique de la situation
Comment obtenir plusieurs parallélogrammes dont les côtés
gardent toujours les mêmes longueurs ?
OBJECTIFS
Construire un tel parallélogramme à l’aide de
Géogébra.
- Les longueurs ne changent pas lorsque l’on déplace certains
points.
- On obtient toujours un parallélogramme.
- Le logiciel est bien utilisé.
Auto
évaluation
Socle commun
III-2
III-3
IV-3
Réaliser un compte rendu.
- Dessins représentant les situations.
- Explications de la construction.
- Codages (ou légendes).
III-4
Pré-requis
Définition du parallélogramme: quadrilatère dont
les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
●
Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique.
Exemple de construction préalable:
triangle dont les 3 longueurs sont données.
●
Modélisation mathématique de la situation
Un exemple de construction.
On construit un
parallélogramme ABCD.
On déplace un point (par
exemple le point C) …
Modélisation mathématique de la situation
Modélisation mathématique de la situation
Le quadrilatère ABCD n’est plus un parallélogramme !
Construction à l’aide du logiciel Géogébra
Quelques représentations de cette famille de
parallélogrammes
Aides envisageables
Vérification de la bonne compréhension de la situation et de
la consigne:
On pourra encourager les élèves à reformuler la consigne en leur
demandant: quel travail doit-on effectuer ?
Aide à la démarche de résolution:
• Comment se nomme ce type de quadrilatère ?
• Qu’est-ce qui reste inchangé ? Comment réaliser ceci avec le logiciel ?
Apport de connaissances et de savoir-faire:
• Définition et propriétés caractéristiques du parallélogramme.
• Symétrie centrale.
• Cercle.
Conclusions
♦ Un quadrilatère (non croisé) dont les côtés
opposés sont de même longueur deux à
deux est un parallélogramme.
♦ On ne peut obtenir un losange ou un carré
que si toutes les côtés ont la même
longueur.
♦ On peut obtenir des parallélogrammes
aplatis.
Travail de recherche à la maison
Les
élèves
environnement
supports
de
d’utilisations
pourront
rechercher
proche
ou
documentation
techniques
parallélogrammes articulés.
du
dans
leur
dans
différents
des
exemples
principe
des
Exercice
Montrer que si l’on déplace les points C,
D, E ou F, la position du réflecteur reste
inchangée par rapport à la table de travail.
La balance de Roberval
Photo ( Wikipédia - Original uploader was AntonyB at fr.wikipedia )
Certains manèges
La plate-forme élévatrice
Problème à résoudre :
Comment
rendre
le
cadre
rectangulaire et indéformable ?
Comment rendre le cadre rectangulaire et indéformable ?
OBJECTIFS
Auto
évaluation
Socle
commun
Décrire les solutions testées pour stabiliser
le cadre.
- Indication de la résistance à la poussée
- Indication de la résistance à la poussée
- Caractéristiques précisées : facilité de mise en place,
démontage aisé, solidité, etc…
III-3
Réaliser un compte rendu.
- Schémas clairs
- Trace écrite visible de loin
III-4
Les structures en treillis
Les structures en treillis
Quel est le parallélogramme de cette
famille qui présente une aire maximale ?
Pré-requis
●
Savoir calculer l’aire d’un triangle.
Résultat admis (constaté auparavant):
Dans un triangle rectangle, la longueur du côté
opposé à l’angle droit est supérieure à la
longueur de chacun des 2 autres côtés.
●
●
Symétrie centrale.
Construction à l’aide du logiciel Géogébra
Aides envisageables
Vérification de la bonne compréhension de la situation et de
la consigne.
Aide à la démarche de résolution:
• Comment calculer l’aire du parallélogramme ABCD ?
• Comment décomposer le parallélogramme pour calculer son aire ?
• Repérer base et hauteur associée .
Apport de connaissances et de savoir-faire:
• Aire d’un triangle.
• Aire d’un parallélogramme (si déjà vu)
• Symétrie centrale et aire.
Conclusions
♦ Pour cette famille de parallélogrammes le périmètre
reste inchangé, mais l’aire change.
♦ Plus les angles aigus sont petits, plus l’aire est petite.
♦ Dans cette famille de parallélogrammes, c’est le
rectangle qui possède l’aire la plus grande.
Exercice
On considère le cadre rectangulaire ci-dessous.
Pour le consolider on a fixé deux tiges :
- la première est représentée par la diagonale [BD],
- la seconde est représentée par le segment [MN] où M
est un point de [AB] et N un point de [CD].
Que peux-tu dire des aires de MID et NIB ?
Proposition pour une évaluation:
des tubes qui coulissent.
Énoncé élève
On considère le dispositif ci-dessous, dans lequel les deux
tubes ont la même longueur, et peuvent se déplacer sur deux
axes parallèles.
On veut étudier ce dispositif pour savoir ce qui change et ce
qui reste invariable.
Quels quadrilatères obtient-on ?
Que se passe-t-il si les supports des tubes sont des droites ?
Que peut-on dire du périmètre et de l’aire des quadrilatères
de cette famille ?
Compétences visées
1° Dans le programme de la classe de cinquième
CONNAISSANCES
- Notion de droites parallèles,
perpendiculaires.
CAPACITÉS
- Tracer par un point donné, la
perpendiculaire ou la parallèle à une droite
donnée.
- Constructions géométriques.
- Construire des figures en respectant des
contraintes.
- Propriétés des parallélogrammes :
parallélogrammes particuliers.
- Reconnaître :
- un parallélogramme
- un parallélogramme particulier :
rectangle, losange, carré.
- Symétrie centrale.
- Reconnaître un centre de symétrie.
- Reconnaître le parallélogramme comme
quadrilatère à centre de symétrie.
2°Pour l’acquisition des connaissances et des capacités du socle commun
► Compétence 3 : Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique
et technologique.
PRATIQUER UNE DÉMARCHE
SCIENTIFIQUE, RÉSOUDRE DES
CAPACITÉS ÉVALUÉES
PROBLÈMES
Rechercher, extraire et
organiser l’information utile.
- Réaliser, manipuler,
mesurer, calculer, appliquer
des consignes.
- Raisonner, argumenter,
pratiquer une démarche
expérimentale ou
technologique, démontrer.
Extraire les informations
utiles.
- Mesurer des longueurs.
- Utiliser des instruments de
construction.
- Emettre des conjectures.
- Confronter ses conjectures
avec les résultats obtenus.
Présenter la démarche suivie, - Présenter un résultat par
les résultats obtenus,
une représentation adaptée.
communiquer à l’aide d’un
langage adapté.
EXEMPLES D’INDICATEURS
DE RÉUSSITE
Repérer l’invariance de la
base et de la hauteur.
- Construire différents
parallélogrammes ayant
même hauteur et même base.
- Faire des propositions sur
la nature du quadrilatère.
- Interpréter les résultats
obtenus en lien avec ses
conjectures.
- Illustrer ses propos par des
figures (éventuellement à
main levée).
- Expliquer la démarche
engagée.
2°Pour l’acquisition des connaissances et des capacités du socle commun
► Compétence 3 : Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique
et technologique.
SAVOIR UTILISER DES
CONNAISSANCES ET DES
COMPÉTENCES
CAPACITÉS ÉVALUÉES
EXEMPLES D’INDICATEURS
DE RÉUSSITE
MATHÉMATIQUES
Géométrie.
Connaitre et représenter
des figures géométriques.
Utiliser leurs propriétés.
Grandeurs et mesures.
- Réaliser des mesures de
longueurs, d’angles,
d’aires.
- Calculer des valeurs en
utilisant différentes unités.
- Dessiner avec précision
des parallélogrammes ayant
la même base et la même
hauteur.
- Coder correctement la
figure.
- Les mesures réalisées sont
correctes et correspondent
aux situations proposées
par l’élève.
- Bon choix de l’unité dans
les calculs.
2°Pour l’acquisition des connaissances et des capacités du socle commun
► Compétence 7 : L’autonomie et l’initiative.
ÊTRE CAPABLE DE MOBILISER SES
RESSOURCES INTELLECTUELLES
ET PHYSIQUES DANS DIVERSES
CAPACITÉS ÉVALUÉES
EXEMPLES D’INDICATEURS DE
RÉUSSITE
SITUATIONS
- Être autonome dans son travail :
savoir l’organiser, le planifier,
l’anticiper, rechercher et
sélectionner des informations
utiles.
FAIRE PREUVE D’INITIATIVE
- S’engager dans un projet
individuel.
- S’intégrer et coopérer dans un
projet collectif.
- Prise d’initiative pour
l’utilisation de la démarche.
- Organiser son travail.
- Sélectionner l’information
utile.
CAPACITÉS ÉVALUÉES
- Se mettre au travail de
façon autonome.
- Travailler en groupe.
- Choix d’une démarche
appropriée.
- Travail avec méthode.
- Bonne exploitation des
données du problème.
EXEMPLES D’INDICATEURS DE
RÉUSSITE
- Etre actif, entreprendre,
choisir sa démarche de
résolution.
- Coopérer avec ses camarades
pour réaliser une partie du
travail demandé.
Les élèves sont amenés à constater que :
Ces quadrilatères ont deux côtés opposés parallèles et de
même longueur. Il s’agit d’une famille de parallélogrammes.
●
Tous ces parallélogrammes ont :
la même base et la même hauteur.
●
Ce sont des parallélogrammes de même aire.
Le parallélogramme de cette famille ayant un périmètre
minimal est le rectangle.
●
Les élèves pourraient également observer que cette famille :
●
Contient toujours un rectangle.
●
Peut éventuellement contenir un losange, un carré.
Conséquence : le rectangle, le losange et le carré sont des
parallélogrammes (particuliers).
●