Transcript PPT prezentace

Matematické programování
Ekonomický x matematický model úlohy
Formulace matematického modelu úlohy LP
Grafické řešení úloh LP a základní pojmy
Simplexová metoda
Interpretace výsledků
Formulace typických úloh LP
1
Úvod
Matematický model úlohy MP:
maximalizovat (minimalizovat)
z  f( x1 , x 2 ,..., x n )
za podmínek
g 1 ( x1 , x 2 ,..., x n )  0 ,
g 2 ( x1 , x 2 ,..., x n )  0 ,
:
g m ( x1 , x 2 ,..., x n )  0 ,
x j  0 , j  1, 2 ,..., n .
2
Příklad – ekonomický model
Balírny a pražírny kávy DE, a.s., plánují na následující období výrobu dvou směsí
kávy Mocca a Standard. Pro výrobu obou směsí mají přitom na toto období
smluvně k dispozici od dodavatelů tři druhy kávových bobů K1, K2 a K3
postupně v kapacitě 40, 60 a 25 tun, které se navzájem liší kvalitou a
samozřejmě i nákupní cenou. Na základě přímých a nepřímých nákladů
souvisejících s výrobou a vzhledem k předpokládané ceně obou směsí byl
vykalkulován zisk, který činí 20 000 Kč resp. 14 000 Kč na jednu tunu směsi
Mocca resp. Standard. Management firmy DE, a.s., chce samozřejmě naplánovat
produkci firmy tak, aby byl její celkový zisk maximální.
Směs
Kapacita
Kompon
enta
K1
Mocca
Standard
[tuny]
0.5
0.25
40
K2
0.5
0.5
60
K3
-
0.25
25
3
Příklad – matematický model
maximalizovat
z = 20 000x1 + 14 000x2 ,
za podmínek
0.5x1 + 0.25x2 ≤ 40 , (K1)
0.5x1 + 0.5 x2 ≤ 60 , (K2)
0.25x2
≤ 25 ,(K3)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 .
(zisk)
• účelová (kriteriální) funkce (=zisk)
• vlastní omezení úlohy (= K1, K2, K3)
• podmínky nezápornosti.
4
Přípustné a nepřípustné programy
program
1
2
3
4
5
směsi
[tuny]
Moc
Std
0
0
80
0
0
100
50
50
80
20
zbytek(+),
zisk
nedostatek(-) kapacit [tis. Kč]
K1
K2
K3
40
60
25
0
0
20
25
1600
15
10
0
1400
25
10 12.5
1700
-5
10
20
1880
5
Ekonomický model
•
cíl optimalizace (maximalizace zisku)
• procesy, které probíhají v systému a jejich intenzita (výroba
obou druhů směsí),
činitelé, které ovlivňují provádění procesů (omezená
zásoba surovin)
•
Matematický model
účelová (kriteriální) funkce = lineární fce n-proměnných
• strukturní proměnné modelu (x1, x2,…, xn)
• vlastní omezení ve formě lineárních rovnic/ nerovnic a
podmínky nezápornosti.
•
6
Obecný matematický model úlohy LP
maximalizovat (minimalizovat)
z = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn ,
za podmínek
a11x1
a21x1
+ a12x2 + . . . + a1nxn ≤
b1 ,
+ a22x2 + . . . + a2nxn ≤ b2 ,
.
:
am1x1
+ am2x2 + . . . + amnxn ≤ bm ,
xj ≥ 0 , j = 1, 2, ..., n .
n
m
cj ,
bi ,
aij ,
počet strukturních proměnných modelu,
počet vlastních omezení,
j = 1,2,...,n - cenový koeficient příslušející j-té proměnné,
i = 1,2,...,m - hodnota pravé strany příslušející i-tému omezení,
i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n - strukturní koeficient vyjadřující vztah mezi itým činitelem a j-tým procesem.
7
MM úlohy LP – sumace, matice
maximalizovat (minimalizovat)
n
z 
za podmínek
 c jx j
j1
n
 a ij x j  bi ,
i = 1,2,..., m
j 1
xj  0 ,
j = 1,2,..., n ,
maximalizovat (minimalizovat)
z = cTx ,
za podmínek
Ax ≤ b ,
x≥0,
cT = (c1, c2, ..., cn) je n - složkový řádkový vektor cenových koeficientů,
x = (x1,x2,...,xn)T je n-složkový sloupcový vektor strukturních proměnných modelu,
b = (b1, b2, ..., bm)T je m - složkový sloupcový vektor hodnot pravé strany,
0 = (0, 0, ..., 0)T je n - složkový sloupcový nulový vektor a
A je matice strukturních koeficientů o rozměru m x n .
8
Typické úlohy LP
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů)
Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia)
Plánování reklamy (media selection problem)
Nutriční problém
Směšovací problém
Rozvrhování pracovníků
Úlohy o dělení materiálu
Distribuční úlohy LP
9
Základní pojmy LP
Přípustné řešení úlohy LP je takové řešení, které vyhovuje všem
podmínkám úlohy, tzn. všem vlastním omezením i podmínkám nezápornosti.
Optimální řešení úlohy LP je přípustné řešení s nejlepší hodnotou
účelové funkce (s nejvyšší hodnotou v případě maximalizace a nejnižší
hodnotou v případě minimalizace účelové funkce).
Základní (přípustné) řešení úlohy LP je takové přípustné řešení, které
má maximálně tolik nenulových složek, kolik je lineárně nezávislých řádků
ekvivalentní soustavy rovnic.
Ekvivalentní soustava rovnic vznikne převedením původní soustavy
nerovnic na rovnice pomocí doplňkových proměnných, které se označují
jako přídatné proměnné (slack variables).
10
Ekvivalentní soustava rovnic
Přídatné proměnné
0.5x1 + 0.25x2 ≤ 40 ,
0.5x1 + 0.5 x2 ≤ 60 ,
0.25x2
≤ 25 ,
(K1)
(K2)
(K3)
0.5x1 + 0.25x2 + x3
0.5x1 + 0.5 x2
0.25x2
= 40 ,
typ
omezení
"≤"
"≥"
"="
+ x4
+ x5
= 60 ,
= 25 .
přídatná
proměnná
+x
x
11
Základní pojmy LP – grafické znázornění
x
x
2
x
[tun]
2
[tu n]
2
[tun]
160
0.25 x 2  

100
0.5 x1 + 0.25 x 2  
0 .5 x1 + 0 .5 x 2   
0
80

0
x [tun]
1
x
2
x
0
x [tun]
1
1
[tun]
160
120
100
m no žina
přípustných
řešení
0
80
x [tun]
1
12
Základní pojmy LP – grafické znázornění
x
x
x
[tun]
2
x
řešení
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
7
6
x
5
8
4
x
x
3
x
x
1
hodnoty proměnných
x1
x2
x3
x4
x5
0
0
40
60
25
80
0
0
20
25
40
80
0
0
5
20
100
5
0
0
0
100
15
10
0
0
120
10
0
-5
0
160
0
-20
-15
30
100
0
-5
0
120
0
-20
0
25
při volbě dvojice nezákladních proměnných x2 = x5 =
0 řešení neexistuje
x
2
9
x [tun]
1
13
Grafické řešení úlohy LP
x
2
[tun]
100
x
opt
80
z = 1 920 000
z = 1 400 000
0
40
80
x
1
[tun]
z = 20 0 0 0 x + 14 0 0 0 x = 0
1
2
14
Základní věta LP a její význam
Jestliže má úloha lineárního programování optimální
řešení, potom má také optimální řešení základní.
1.
2.
Jestliže má úloha LP jediné optimální řešení, potom je to řešení
základní.
Jestliže má úloha LP více optimálních řešení, potom alespoň
jedno z nich je základní.
Důsledek:
Optimální řešení stačí hledat mezi řešeními základními, kterých je
konečný počet.
15
Možnosti zakončení výpočtu při řešení úloh LP
x
x
2
.
2
x op t
z
x
X
z
X
0
x
0
x
1
1. Jediné optimální řešení
x
op t
1
2. Alternativní optimální řešení
x
2
2
X
z
z
0
x
0
1
3. neomezená hodnota účelové funkce
x
1
4. neexistuje přípustné řešení
16
Simplexová metoda
ZAČÁTEK
nalezení výchozího
základního řešení
úlohy LP
je to
řešení optim ální ?
(test optim a)
NE
ANO
je to
ANO
jediné optim ální
řešení ?
NE
výpočet nového Z Ř
popis m nožiny
s lepší hodnotou
optim álních řešení
účelové funkce
KONEC
17
Interpretace výsledků
Global optimal solution found.
Objective value:
Total solver iterations:
2
Total constraints:
1920000.
4
Variable
X1
X2
Row
ZISK
K1
K2
K3
Value
40.00000
80.00000
Reduced Cost
0.000000
0.000000
Slack or Surplus
1920000.
0.000000
0.000000
5.000000
Dual Price
1.000000
24000.00
16000.00
0.000000
18
Interpretace výsledků
Hodnoty strukturních proměnných (Value)
Udávají úroveň jednotlivých procesů modelu (objem výroby obou
druhů směsí)
Hodnoty přídatných proměnných (Slack or Surplus)
Udávají rozdíl mezi pravou a levou stranou (případně mezi levou a
pravou stranou) omezujících podmínek (nevyužitá kapacita surovin)
Stínové ceny (shadow/dual price)
Lze interpretovat jako ocenění jedné jednotky pravé strany ve vztahu
k hodnotě účelové funkce. Jedná se tedy vlastně o marginální ocenění
pravých stran (podíl jedné tuny kapacity suroviny K na celkovém zisku)
Redukované ceny (reduced cost)
Udávají, o kolik je třeba zvýšit přínos daného procesu, aby byl efektivní
(aby se daný výrobek vyráběl)
19