Transcript Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru (metoda

Rovnice a nerovnice v
součinovém a podílovém tvaru
(metoda nulových bodů)
Seminární práce číslo: 7
Zpracoval : Vladimír KORDÍK T-4.C
Rovnice v součinovém tvaru
• Rovnice ve tvaru ,,součin dvou nebo více lineárních
dvojčlenů rovná se nule“. Při hledání kořenů budeme
řešit lineární rovnice.
• ,,Klíčem“ k řešení bude skutečnost:
Součin několika čísel se rovná nule právě tehdy, když
alespoň jeden z činitelů se rovná nule.
Rovnice v součinovém tvaru
• Příklad :
Řešte rovnici
(x-2)*(2x-3)=0
řešení:
Číslo x je řešením dané rovnice právě tehdy, když
x-2=0
nebo
2x+3 =0
tj.
x= -2
nebo
x= -3/2
Množina všech řešení dané rovnice je {2,-3/2} – je to
sjednocení množin všech řešení rovnic x-2=0 a 2x-3=0.
Rovnice v součinovém tvaru
• Příklad:
9-t² = t+3
Řešení:
9-t²=t-3
(3+t)*(3-t) = t+3
(3-t)*(t+3)-(t+3)=0
(t+3)*(3-t-1)=0
(t+3)*(2-t) =0
t = -3 nebo t = 2
Rovnice v součinovém tvaru
• Příklady na procvičení :
a) x*(x+2) = 0
b) (2x+1)*(1/2*x-4)=0
c) (4-2y)*(-3y-4) =0
d) (2*√3 -6y)*(3y+3/4)=0
Nerovnice v součinovém tvaru
• Nerovnice, mají podobný tvar ,jako rovnice
pouze místo znaku rovnosti je v nich
některý ze znaků nerovnosti(<,>,<=,>=).
Půjde tedy o nerovnice tvaru ,,součin dvou
nebo více lineárních dvojčlenů je větší než
nula“. Při řešení budeme používat také
metodu nulových bodů.
Nerovnice v součinovém tvaru
1. Způsob řešení
Součin dvou čísel je větší než nula, právě tehdy, když
jsou buď oba činitelé větší něž nula, nebo oba menší než
nula. Proto číslo x je řešením nerovnice (x-2)(2x+3)>0
právě tehdy, když
x-2>0
x–2<0
a současně
nebo
a současně
2x +3 > 0
2x +3 < 0
Nerovnice v součinovém tvaru
Z první soustavy dostaneme
x>2
x > -3/2
přitom 2 > -3/2, takže množinou všech řešení této
soustavy je interval L1 = (2,+∞)
Z druhé soustavy vypočteme
x<2
x < -3/2
a protože -3/2<2, je množinou všech řešení této
soustavy interval L2 = (-∞, -3/2).
Množinou K všech řešení dané nerovnice je
K = (-∞, -3/2) sjednocení (2,+∞).
Nerovnice v součinovém tvaru
Metoda nulových bodů
Je použitelná pro řešení libovolné nerovnice v
součinovém tvaru, v níž se vyskytují pouze lineární
dvojčleny. Kromě toho, že součin několika čísel, z nichž
alespoň jedno je 0, je nulový, při ní využíváme rovněž
tuto vlastnost:
Součin několika nenulových čísel je záporný právě tehdy,
když lichý počet činitelů je záporný – jinak je součin
kladný.
Nerovnice v součinovém tvaru
• Nulovým bodem lineárního dvojčlenu ax+b, kde
a,b Є R, a se nerovná 0, je číslo –b/a. V žádném z
intervalů (-∞, -b/a), (-b/a,+∞) nemění dvojčlen ax+b
znaménko. Jestliže a > 0, je v prvním z těchto intervalů
záporný a ve druhém kladný, jestliže a < 0, je to
obráceně. Znaménka lze zjistit dosazením libovolného
konkrétního čísla z některého z obou intervalů do
příslušného dvojčlenu.
Nerovnice v součinovém tvaru
• Příklad nerovnice (4-7x)(x+1)(10x-7)(π-x)=<0
• Řešení: Nulové body lineárních dvojčlenů na levé straně
dané nerovnice , jsou postupně 4/7, -1, 7/10, π.
Seřaďme je podle velikosti -1<4/7<7/10<π
Těmito nulovými body je množina reálných čísel R
rozdělena na pět intervalů. Sestavíme tabulky
zachycující ,,chování“ všech čtyř lineárních dvojčlenů i
jejich součinu [označme ho jako L(x) ] v těchto intervalech
a v nulových bodech:
Nerovnice v součinovém tvaru
x
(-∞,-1)
-1
4 - 7x
+
+
+
0
-
-
-
-
-
x+1
-
0
+
+
+
+
+
+
+
10x - 7
-
-
-
-
-
0
+
+
+
π -x
+
+
+
+
+
+
+
0
-
L(x)
+
0
-
0
+
0
-
0
+
(-1,4/7) 4/7 (4/7,7/10) 7/10
(7/10,π)
π (π,+∞)
Nerovnice v součinovém tvaru
• Při vyplňování posledního řádku tabulky
jsme vycházeli z toho, že součin čtyř čísel,
z nichž alespoň jedno je nula, je nulový a
že součin čtyř nenulových čísel je záporný
tehdy, když lichý počet těchto čísel je
záporný.
• Z tabulky vidíme, že číslo x splňuje danou
nerovnici, tj. L(x)<=0; právě tehdy, když
x є <-1,4/7>υ<7/10,π >
Nerovnice v součinovém tvaru
• Řešte nerovnice:
a) (x-2)*(x+1) > 0
b) (y+3)*(y-1/2) >= 0
c) (z+1/2)*(z-1/2) <=0
d) (1-x)*(x+√2) > 0
e) (3-5y)*(3+5y)<= 0
Rovnice v podílovém tvaru
• Rovnice budou mít tvar ,,zlomek, v jehož čitateli i
jmenovateli je lineární dvojčlen nebo součin
několika lineárních dvojčlenů, rovná se nule“.
• Budeme používat ekvivalentní úpravu:
vynásobení obou stran rovnice (vynásobení
rovnice) stejným výrazem obsahujícím
neznámou, který je definován a různý od nuly
pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel,
v níž rovnici řešíme.
Rovnice v podílovém tvaru
• Příklad: (2x+5) /(3x-6) = 0
Aby měl zlomek smyl, musí jeho jmenovatel být
různý od nuly. V našem případě musí být 3x – 6
≠ 0, tj. x ≠2. Zlomek se rovná nule právě tehdy,
když se rovná nule právě tehdy, když se rovná
nule jeho čitatel. Proto jediným kořenem dané
rovnice je číslo x = -5/2; je totiž řešením rovnice
2x+5=0 a je různé od čísla 2.
Rovnice v podílovém tvaru
• Rovnice (3x-2)/(x+5) = 2
1. způsob řešení –Ekvivalentními úpravami
dostaneme : (3x-2)/(x+5) =2
(3x-2)/(x+5)-2 =0
(3x-2-2(x+5)) /x+5 =0
(x-12)/(x+5) =0
Daná rovnice mají jediné řešení x = 12.
Rovnice v podílovém tvaru
• 2. způsob řešení – Aby zlomek v dané
rovnici měl smysl, musí být x ≠-5. Rovnici
tedy řešíme v množině R \ {-5}.
Vynásobíme ji výrazem x+5, který je pro
každé x є R\ {-5} různý od nuly (v množině
R \ {-5} jde proto o ekvivalentní úpravu):
(3x-2) /(x+5) = 2
/*(x+5)
3x-2 = 2*(x+5)
x = 12
Rovnice v podílovém tvaru
• Příklady:
a) (7x+3)/(x+√2) =0
b) (x-3)/(x-4) = ½
c) (x-3)/(x-4) = 1
d) (x-√5)/(x+√5) = √5
Nerovnice v podílovém tvaru
• Půjde o nerovnice ve tvaru ,,zlomek, v jehož
čitateli i jmenovateli je lineární dvojčlen nebo
součin několika lineárních dvojčlenů, je větší než
nula“
• Ekvivalentní úpravy:
- vynásobení obou stran nerovnice stejným
výrazem obsahující neznámou, který je
definován a kladný pro všechny hodnoty
neznámé z množiny čísel, v níž nerovnici řešíme
(znak nerovnosti se nemění)
Nerovnice v podílovém tvaru
- vynásobení obou stran nerovnice
stejným výrazem obsahujícím neznámou,
který je definován a záporný pro všechny
hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž
nerovnici řešíme, a současné obrácení
znaku nerovnosti v nerovnici.
Nerovnice v podílovém tvaru
• Příklad : (x-2)/(x+6) >= -2
1. řešení-Ekvivalentními úpravami dostaneme :
(x-2)/(x+6) >= -2
(x-2)/(x+6) + 2 >=0
(x – 2 + 2*(x+6))/(x+6) >=0
(3x+10)/(x+6) >=0
Zlomek je nezáporný právě tehdy, když buď je
čitatel nezáporný a jmenovatel kladný, nebo
čitatel nekladný a jmenovatel záporný. Tak
dostaneme dvě soustavy lineárních nerovnic:
Nerovnice v podílovém tvaru
3x+10 >=0
3x +10<= 0
x +6 > 0
x +6 < 0
Množinou všech řešení první soustavy je
interval L1 = <-10/3,+∞), a druhé soustavy
L2 = (-∞,-6). Množina K všech řešení dané
nerovnice je sjednocení těchto intervalů :
K= L1 υ L2 = (-∞,-6) υ <-10/3,+∞)
Nerovnice v podílovém tvaru
• 2.řešení- Řešení metodou nulových bodů.
Množinu reálných čísel R rozdělíme na tři
intervaly nulovými body -10/3, -6
lineárních dvojčlenů v čitateli a jmenovateli
příslušného zlomku.
V tabulce zachytíme ..chování“ obou
lineárních dvojčlenů i jejich podílu:
Nerovnice v podílovém tvaru
x
(-∞,-6) -6
(-6,10/3) -3 (-10/3, +∞)
3x+10
-
-
-
0
+
x+6
-
0
+
+
+
(3x+10)/(x+6)
+
není
-
0
+
Z posledního řádku tabulky vyčteme, že
zlomek (3x+10)/(x+6) je nezáporný
právě tehdy, když x є (-∞,-6) υ <-10/3,+∞)
Nerovnice v podílovém tvaru
Při řešení nerovnice pomocí metody nulových bodů. Při
vyplňování posledního řádku tabulky jsme vycházeli z
následujících poznatků. Pro zlomek, který má v čitateli i
jmenovateli číslo nebo součin několika čísel ,platí:
• Je-li alespoň jeden z činitelů ve jmenovateli nulový,
není zlomek definován (nemá smysl)
• jsou-li všichni činitelé ve jmenovateli nenuloví a
alespoň jeden činitel v čitateli nulový, je zlomek
roven nule
• Jsou-li všichni činitelé v čitateli i jmenovateli
nenulový, potom zlomek je záporný právě tehdy,
když lichý počet těchto činitelů je záporný – jinak je
zlomek kladný.
Nerovnice v podílovém tvaru
• 3.řešení- Aby měl zlomek v dané nerovnici
smysl, musí být x ≠-6. Nerovnici tedy
řešíme v množině R\{-6}. Chceme-li
,,odstranit“ zlomek, musíme nerovnici
vynásobit výrazem x+6. Abychom to mohli
udělat, musíme vědět, jaké má tento výraz
známého. Proto množinu R\{-6} rozdělíme
na dva diskjunktní intervaly (-∞,-6) a (6,+∞).
Nerovnice v podílovém tvaru
• a) Uvažujeme x є(-∞,-6). Potom x+6 <0 a
při vynásobení dané nerovnice tímto
výrazem musíme obrátit znak nerovnosti:
(x-2)/(x+6) >= -2
/*(x+6)<0
x-2 <= -2*(x+6)
x <= -(10/3)
Z čísel x є(-∞,-6) jsou tedy řešením dané
nerovnice ta, pro která platí x <= -(10/3),
tj.čísla x є(-∞,-6) ∩ (-∞,-10/3> = (-∞,-6).
Nerovnice v podílovém tvaru
• b) Nyní uvažujme x є(-6,+∞). Tentokrát je
x+6>0 a znak nerovnosti zůstane při
násobení výrazem x+6 zachován:
(x-2)/(x+6) >= -2
/*(x+6)>0
x >= -(10/3)
V intervalu (-6, +∞) dostáváme řešení
x є(-∞,-6) ∩ <-10/3, +∞) = <-10/3,+∞).
Nerovnice v podílovém tvaru
Množinou K všech řešení dané nerovnice
získáme jako sjednocení množin jejich
řešení v obou uvažovaných řešení :
K= (-∞,-6) υ <-10/3, +∞)
Nerovnice v podílovém tvaru
• Řešte nerovnice :
a) (x+4)/(2+x) <0
b) (2x+3)/(x-2) >0
c) (5-z)/(z-2π) >=0
d) (z+1)/(√5 -2z) <=0