Transcript Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou

Leoš Turnovský
Rovnice a nerovnice s
neznámou pod odmocninou
Při řešení rovnic, v nichž neznámá je pod odmocninou, budeme
někdy obě strany rovnice umocňovat na druhou. Jedná se o
důsledkovou úpravu, při níž se sice žádné řešení neztratí, ale některá
řešení můžou přibýt. Zda vypočtená řešení jsou vskutku řešeními
výchozí rovnice, budeme zjišťovat zkouškou.
Ovšem v případě, kdy pro všechny hodnoty neznámé z
množiny čísel, v níž rovnici řešíme, jsou obě její strany nezáporné
nebo obě nekladné, je umocnění obou stran rovnice úpravou
ekvivalentní. V takovém případě proto není zkouška nutná.
Příklad 1
Řešte rovnici
Řešení
1. způsob řešení
/2
Jediným možným kořenem dané rovnice je číslo
.
Zkouška
Zkouška prokázala, že číslo
danou rovnici opravdu splňuje.
Příklad 1
Řešte rovnici
Řešení
2. způsob řešení
Odmocnina na levé straně je definovaná pouze tehdy, když
, tj. pro
. Rovnici tedy řešíme v
intervalu
. Pro každé číslo x z tohoto intervalu jsou obě
strany dané rovnice nezáporné, jejich umocnění na druhou je
proto v intervalu
ekvivalentní úpravou.
Stejně jako v 1. způsobu řešení vypočteme
. Protože
, je číslo
(jediným) kořenem dané rovnice.
(Po předchozích úvahách zkoušku dělat nemusíme.)
Příklad 2
Řešte rovnici
Řešení
1. způsob řešení
/2
Zkouška
Jediným možným kořenem dané rovnice je číslo
.
Příklad 2
Řešte rovnici
Řešení
2. způsob řešení
Danou rovnici řešíme v intervalu
. Levá strana má
pro každé
nezápornou hodnotu, rovnici proto
nemůže splňovat žádné číslo x, pro které je pravá strana záporná,
tj. žádné
. Pro všechna řešení dané rovnice musí tedy
platit
. Proto stačí, budeme-li rovnici řešit v intervalu
Pro
jsou obě strany nezáporné, umocnění na druhou
je tedy v intervalu
ekvivalentní úpravou. Z vypočtených
kořenů
,
patří do intervalu
pouze druhý.
Daná rovnice má jediné řešení
.
Příklad 3
Řešte rovnici
Řešení
1. způsob řešení
/2
Zkouška
Při provádění zkoušky zjistíme, že pro y = 2 nejsou odmocniny
v dané rovnici definovány, výrazy 5 – 5y a 3y – 11 mají totiž
pro y = 2 zápornou hodnotu -5.
Daná rovnice nemá žádné řešení.
Příklad 3
Řešte rovnici
Řešení
2. způsob řešení
Aby byly obě odmocniny definovány, musí platit
a
zároveň
, tj.
a zároveň
, což však neplatí
pro žádné číslo y.
Nemusíme tedy nic počítat a můžeme rovnou prohlásit, že daná
rovnice nemá žádné řešení.
Příklad 4
Řešte rovnici
Řešení
/2
/2
Zkouškou zjistíme, že kořenem dané rovnice je pouze číslo
.
Příklad 5
Řešte rovnici
Řešení
Protože výraz
je definován pro každé
a protože
pro každé
jsou obě strany rovnice nezáporné, je
tentokrát umocnění na druhou ekvivalentní úpravou:
/2
Příklad 6
Řešte rovnici
Řešení
1. způsob řešení
Umocněním na druhou a jednoduchou úpravou dostaneme
rovnici
. Jejím řešením je každé
. Avšak
ne každé reálné číslo x je řešením dané rovnice. Zkoušku
dosazováním jednotlivých čísel
tentokrát provést nelze
(těchto čísel je nekonečně mnoho).
Pokračování na další straně.
Příklad 6
Řešte rovnici
Řešení
1. způsob řešení
Uvažujeme takto:
Kvadratický trojčlen pod odmocninou má dvojnásobný
kořen , jeho rozklad na kořenové činitele je
,
proto je nezáporný pro všechna
definovaná.
Levá strana je pro každé
nezáporná, řešením proto
mohou být pouze ta čísla x, pro něž je nezáporná i pravá
strana, tj. pouze čísla
. Můžeme tedy omezit na
řešení dané rovnice v tomto intervalu, který je zároveň jejím
řešením.
Příklad 6
Řešte rovnici
Řešení
2. způsob řešení
Upravíme levou stranu:
Daná rovnice je tedy ekvivalentní s rovnicí
tj.
Řešením jsou právě všechna čísla x, pro která platí
tj,
Pokračování na další straně.
Příklad 6
Řešte rovnici
Řešení
2. způsob řešení
Nyní přikročíme k nerovnicím s neznámou pod odmocninou. Nejprve si
rozmyslíme, jak je to u nich s umocňováním na druhou.
Je jasné, že pro libovolná dvě nezáporná čísla a, b platí a < b právě tehdy,
když a2 < b2 , a pro libovolná dvě nekladná čísla c, d platí c < d právě
tehdy, když c2 > d2 .
Proto v případě, kdy pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž
nerovnici řešíme, jsou obě její strany nezáporné, resp. obě nekladné, je
umocnění obou stran nerovnice na druhou ekvivalentní úpravou; v případě
nezápornosti obou stran se znak nerovnosti nemění, v případě jejich
nekladnosti musíme znak nerovnosti obrátit.
Jestliže je jedna strana nerovnice nezáporná a druhá nekladná, vidíme na
první pohled, je-li nerovnice splněna , nebo ne.
Příklad 7
Řešte rovnici
Řešení
Kvadratický trojčlen pod odmocninou má záporný diskriminant a kladný
koeficient kvadratického členu, proto je kladný a odmocnina je definovaná
pro každé
. Levá strana dané rovnice je vždy kladná. Podle znaménka
pravé strany rozlišíme dva případy.
a) Pro všechna
je levá strana kladná a pravá strana záporná,
všechna tato x proto danou nerovnici splňují.
b) Pro
jsou obě strany nerovnice nezáporné. Umocněním obou
stran na druhou (v intervalu
jde o ekvivalentní úpravu) dostaneme
nerovnici
jejímž řešeními jsou všechna
. Množina všech řešení dané
nerovnice v intervalu
je
Množina všech řešení dané rovnice v R je
Danou rovnici splňuje každé reálné číslo
Příklad 8
Řešte rovnici
Řešení
Kvadratický trojčlen pod odmocninou je nezáporný pro
.
Pouze pro tato u je odmocnina definovaná. Danou nerovnici
tedy řešíme v intervalu
. Pro všechna
je levá
strana nezáporná a pravá strana kladná. Umocnění na druhou je
proto pro
ekvivalentní úpravou:
/2
Množina všech řešení dané nerovnice je
Úlohy