Transcript Lomené výrazy

Lomené algebraické výrazy
Rozšiřování lomených výrazů
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozšiřování lomených výrazů.
S pojmem rozšiřování jsme se seznámili již při
početních operacích se zlomky.
Rozšíření znamená násobení čitatele i jmenovatele
stejným číslem, různým od nuly.
2
6
2 .3


3
9
3 .3
Podobně postupujeme i u lomených výrazů.
2x
3
2 x . (3 x ) 6 x 2


;x  0
3 . (3 x )
9x
Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit čitatele
i jmenovatele stejným výrazem, různým od nuly.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozšiřování lomených výrazů.
Tak tedy ještě jednou. Rozšíříme lomený výraz
2x
3y
výrazem
3 xy
2
2 x 2 x . (3 xy )
6x y


3 y 3y . (3 xy )
9 xy 2
U lomených výrazů nesmíte nikdy zapomenout na určení podmínek
řešitelnosti (tedy kdy má výraz smysl)!
9 xy 2  0
x 0
y2  0
y 0
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozšiřování lomených výrazů.
Rozšiřování lomených výrazů budeme potřebovat především při
převádění výrazů na společného jmenovatele.
Vyzkoušejme si tedy příklad rozšíření lomeného výrazu na
požadovaného jmenovatele.
2y
Příklad: Rozšiřte lomený výraz
tak, aby jeho jmenovatel byl 6x2.
3x
6x 2  3x . 2x
6x 2 : 3x  2 x
Daný výraz tedy rozšíříme výrazem 2x.
2 y 2 y . 2 x 4 xy


2
3x 3x .2x
6x
Zapomenout nesmíme na podmínky, pro které proměnné nemá
výraz smysl.
x 0
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozšiřování lomených výrazů.
Z řešení předcházejícího příkladu je zřejmé, že známe-li
jmenovatele, na kterého musíme lomený výraz převést, musíme
zjistit, čím budeme lomený výraz rozšiřovat.
K tomu nám pomůže rozložení jmenovatele lomeného výrazu na
součin v základním tvaru.
8x
Příklad: Rozšiřte lomený výraz
tak, aby jeho jmenovatel byl 7xy+21y.
x 3
7 xy  21y  7y . ( x  3)
Výraz rozšíříme výrazem 7y.
8x
56 xy
8 x . 7y


x 3
7 xy  21y
( x  3) . 7 y
x  3
y 0
Jak je vidět, tak ze součinového tvaru snadno určíme, čím
budeme lomený výraz rozšiřovat, stejně jako podmínky, pro
které má výraz smysl.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozšiřování lomených výrazů.
Jak již bylo řečeno, rozšiřování lomených výrazů budeme potřebovat
především při převádění výrazů na společného jmenovatele.
Společného jmenovatele výrazů musíme nejdříve zjistit. K tomu
opět napomůže rozložení jmenovatelů na součin v základním tvaru.
Příklad: Rozšiřte lomené výrazy tak, aby měly stejného jmenovatele a aby
to byl co nejjednodušší výraz.
x 2  3 x  x . ( x  3)
8x
x
;
x 2  3x x 2  9
x 2  9  ( x  3).(x  3)
společný jmenovatel by tedy mohl být x.(x+3).(x+3).(x-3)
To by ale nebyl jmenovatel v co nejjednodušším tvaru. Proto člen,
který se vyskytuje v obou jmenovatelích, vezmeme vždy do
společného jmenovatele jen jednou.
x .( x  3) .( x  3)
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozšiřování lomených výrazů.
Příklad: Rozšiřte lomené výrazy tak, aby měly stejného jmenovatele a aby
to byl co nejjednodušší výraz.
8x
x
;
x 2  3x x 2  9
Nejjednodušší společný jmenovatel tedy je x.(x+3).(x-3).
8 x .( x  3)
8x
8x


x 2  3 x x .( x  3) x .( x  3).(x  3)
Ve jmenovateli „přibyl“ člen (x-3), tudíž aby došlo k rozšíření
lomeného výrazu, musí tentýž člen „přibýt“ i v čitateli.
x .x
x
x


2
x  9 ( x  3).(x  3) x .( x  3).(x  3)
Ve jmenovateli „přibyl“ člen x, tudíž aby došlo k rozšíření
lomeného výrazu, musí tentýž člen „přibýt“ i v čitateli.
Obě rovnosti platí, jestliže
x 0
x 3  0
x  3
x 3  0
x 3
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozšiřování lomených výrazů – příklady k procvičení.
Rozšiřte lomené výrazy a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál.
3
2 p 
5p
3

5p
3.2 p


5 p.2 p
6p

10 p 2
p0
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozšiřování lomených výrazů – příklady k procvičení.
Rozšiřte lomené výrazy a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál.
4p
 1
2  3p
4p

2  3p
4 p.(1)


(2  3 p ).(1)
 4p


 2  3p
 4p

3p  2
4p

2  3p
2  3p  0
 3 p  2
3p  2
2
p
3
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozšiřování lomených výrazů – příklady k procvičení.
Rozšiřte lomené výrazy a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak dál.
 7p
 3 p 
5p  4
 7p

5p  4
 7 p.(3 p)


(5 p  4).(3 p)
21p2

 15 p2  12p
21p2

12p  15 p2
p0
5p  4  0
5p  4
4
p
5
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozšiřování lomených výrazů – příklady k procvičení.
Doplňte, aby platila rovnost a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak
dál.
x y
 2
x  y x y2
x y

x  y ( x  y ).(x  y )
x  y ( x  y ).(x  y )

x  y ( x  y ).(x  y )
x  y ( x  y )2
 2
x  y (x  y 2 )
x y 0
x  y
x y 0
xy
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozšiřování lomených výrazů – příklady k procvičení.
Doplňte, aby platila rovnost a určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud nebudete vědět, jak
dál.
2x  5

2 x  5 4 x 2  20 x  25
2x  5

2 x  5 4 x 2  20 x  25
2x  5

2 x  5 (2 x  5 ) 2
2x  5

2 x  5 (2 x  5).(2 x  5)
2 x  5 (2 x  5).(2 x  5)

2 x  5 (2 x  5).(2 x  5)
2x  5
4 x 2  25

2 x  5 4 x 2  20 x  25
2x  5  0
5
5
x
x
2
2
2x  5  0
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozšiřování lomených výrazů – příklady k procvičení.
Najděte společného jmenovatele a rozšiřte. Určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud
nebudete vědět, jak dál.
2 x
;
2
x x
5
4x  4
2 x
2 x

x 2  x x .( x  1)
5
5

4 x  4 4.( x  1)
2 x
4.(2  x )

2
x  x 4. x .( x  1)
5
 5. x

4 x  4 4. x .( x  1)
x 0
x 1 0
x 1
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozšiřování lomených výrazů – příklady k procvičení.
Najděte společného jmenovatele a rozšiřte. Určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud
nebudete vědět, jak dál.
x y
xy
;
2 x  2y 2 x  2 y
xy
x y

2 x  2y 2.( x  y )
x y
x y

2 x  2y 2.( x  y )
x y
( x  y ).(x  y )

2 x  2y 2.( x  y ).(x  y )
x y
( x  y ).(x  y )

2 x  2y 2.( x  y ).(x  y )
xy
( x  y )2

2 x  2y 2.( x 2  y 2 )
x y
( x  y )2

2 x  2y 2.( x 2  y 2 )
x y 0
xy
x y 0
x  y
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozšiřování lomených výrazů – příklady k procvičení.
Najděte společného jmenovatele a rozšiřte. Určete podmínky, kdy má smysl. Klikněte, pokud
nebudete vědět, jak dál.
m 3
7m 2  21
;
3  m m 2  6m  9
m 3
3m
7m 2  21
7.(m 2  3)

m 2  6m  9
( m  3) 2
m 3
m 3
3m


3  m ( 1).(3  m ) m  3
7m 2  21
7.(m 2  3)

m 2  6m  9 (m  3).(m  3)
m  3 (3  m ).(m  3)

3  m (m  3).(m  3)
7m 2  21
7.(m 2  3)

m 2  6m  9 (m  3).(m  3)
m 3  0
m3
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Závěr
Rozšiřování, stejně tak jako krácení lomených výrazů
využijeme především při jejich zjednodušování,
sčítání, odčítání, násobení a dělení.
Proto je důkladně procvičujte.
Připomínám ještě jednu velmi důležitou věc.
Uvádění podmínek, pro které mají lomené výrazy
smysl, jsou nezbytnou a nutnou součástí řešení, i když
to v zadání příkladu nemusí být výslovně uvedeno!
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.